導(dǎo)數(shù)專題三零點(diǎn)問題教師版

1、導(dǎo)數(shù)專題(三)零點(diǎn)問題(2013昌平二模理)(18)(本小題滿分13分)(零點(diǎn)問題)A 已知函數(shù) f (x)- x2 alnx(a 0).2(I)若a 2,求f(x)在(1,f(1)處的切線方程;(n)求f(x)在區(qū)間1,e上的最小值;(III )若f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(18)(本小題滿分13分)2ln x, f '(x)解：(I) a 2.f(x) 2x2f (x)在(1,f(1)處的切線方程為2x2y0.- .3 分a(n)由 f'(x) x -x由a 0及定義域?yàn)?0,)，令 f'(x)0,得x若苗1, 即 0 a1,在(1,e

2、)上, f'(x) 0 ,f(x)在1,e上單調(diào)遞增,1 因此，f(x)在區(qū)間1,e的最小值為f(1)-.2若 1 ja e,即 1 a e2,在(1/a)上, f '(x)0 , f (x)單調(diào)遞減；在(石,e)上，f'(x)0 ,f (x)單調(diào)遞增，因此f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為f(Ja)- a(1 In a).2若 ja e,即a e2,在(1,e)上, f '(x)0 ,f (x)在1,e上單調(diào)遞減,因此，f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為f(e)1綜上，當(dāng) 0 a 1 時(shí)，fmin (x) 1 ；當(dāng) 1 a1 2-e a.22 1e 時(shí)，fmin(

3、x)-a(1 In a);當(dāng)2時(shí)，fmMa.9分(III) 由(II )可知當(dāng)0 a 1或a e2時(shí),能存在兩個(gè)零點(diǎn).f (x)在(1,e)上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可當(dāng)1 a e2時(shí)，要使f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則2a(1In a) 0,0,- f(1)f(e)2 0, ie2 a2a e即 1 2，此時(shí),a - e21 2e a -e 2所以，a的取值范圍為 13 分1 2 (e, e )2(2014西城期末理)18.(本小題滿分13分)(零點(diǎn)問題)已知函數(shù)f(x) (X a)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a R.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng)a 1時(shí)，試確定函數(shù)

4、g(x) f(x a) X2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由18.(本小題滿分13分)(I)解：因?yàn)?f (x) (Xa)eX , X R ,所以 f (x) (x a1)ex . 23分6分(n)解：結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 7令 f(X)0，得 X當(dāng)x變化時(shí)，f(X)和f(X)的變化情況如下:/故f(X)的單調(diào)減區(qū)間為(，a 1)；單調(diào)增區(qū)間為(a 1,理由如下:由 g(x) f (x a) X20，得方程 xeX a x2 顯然X 0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解9分所以X 0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)X 0時(shí)，方程可化簡為exa X.即F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,所以F(X)的最小值F(X)mi

5、nF(a) 1 a.11分設(shè)函數(shù) F(x) ex a X，則 F (X) ex a 1 , 令 F(X)0,得 x a .當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)(x)和F(X)的變化情況如下:/);單調(diào)減區(qū)間為(，a).因?yàn)閍 1 ,所以 F(X)minF(a) 1 a所以對(duì)于任意X R , F(x) 0,因此方程ex ax無實(shí)數(shù)解.所以當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn).綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).分(2015上學(xué)期期末豐臺(tái)理)18.(本小題共13分)(圖像交點(diǎn)、問題轉(zhuǎn)化)已知函數(shù)f (x) X e x 1 .(I)求函數(shù)f(x)的極小值;(n)如果直線y kx 1與函數(shù)f (x)的圖象無交點(diǎn)，求k的取值范

6、圍.18.解：(I)函數(shù)的定義域?yàn)?R 因?yàn)閒 (x) X e x 1 ,所以f (x)x.e1xe6令 f (x)0，則 x 0 .0-0+極小值所以當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)有極小值f(x)極小值=f(0)0 .1(n)函數(shù) f(x)x 1 A當(dāng) x 0時(shí) f(x) 0 11T 0， y k 011，ekx 1與f(x)無交點(diǎn)，等價(jià)于f(x) kx 1恒成立.e綜上所述當(dāng)k (1 e,1時(shí)，ykx 1與f (x)無交點(diǎn).分(2016東城上學(xué)期期末理)(19)(本小題共14分)(零點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化)X已知函數(shù) f(x) a(x In x).x(l) 當(dāng)(n)當(dāng)(m)若解：(I)當(dāng)aa 1時(shí)，試求f(x)在(

7、1,f (1)處的切線方程；a 0時(shí)，試求f (x)的單調(diào)區(qū)間；f (x)在(0,1)內(nèi)有極值，試求a的取值范圍.1 時(shí)，f/(x) e (x2 1) 1 1，f/(1) 0，f(1) e 1 .xx2令 g(x)x 111 (kx e1)，即 g(x)(1k)xxe ,所以g(x)(1 k)ex 1x e.當(dāng)k1時(shí),1g(x)e0 ,滿足ykx1與f (x)無交占-八 、J當(dāng)k1時(shí),g(丄)(1 k)11e11e和1 ,k 1-1k1而10，1尹1，1 k所以g(宀0，此時(shí)不滿足ykx1與f(x)»無交點(diǎn).當(dāng)k1時(shí),令 g(x)(1 k)exxe10 ,則xln(1k),當(dāng)x (,

8、ln(1 k)時(shí),g (x)0 ,g(x)在(,ln(1k)上單調(diào)遞減當(dāng)x (ln(1k),)時(shí),g (x)0 ,g(x)在(ln(1 k),)上單調(diào)遞增當(dāng)xln(1k)時(shí)，g(x)ming(ln(1k)(1k)(1 ln(1k).由(1k)(1ln(1 k)0)得 1 e k1,所以要使y即y kx 1與f (x)無交點(diǎn).00極小值所以當(dāng)a e時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一.當(dāng)a e時(shí)，當(dāng)x (0,1)時(shí)，f'(x) 0恒成立，f(x)單調(diào)遞增，不成立.綜上，a的取值范圍為(e,) . 14分方程為y e 1 .ex(x 1)4 分(n) f (x)2x(ex ax)(x 1

9、)a(1-)xex(x 1) ax(x 1)x2所以所以x20時(shí)，對(duì)于 xf'(x)0 ?x(0,exax(x)0恒成立,(m)若0 ? 0 x 10.)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1).(0,1)內(nèi)有解.單調(diào)增區(qū)間為(1,f(x)在(0,1)內(nèi)有極值，則f'(x)在x8分令 f'(x) (ex ax)(x 1)x20 ? ex axx設(shè) g(x) exx (0,1),ex(x 1)Jx所以g(x)單調(diào)遞減.e,又當(dāng)x所以g'(x)當(dāng) x (0,1)時(shí),g'(x)0恒成立,又因?yàn)間(1) 即g(x)在x0時(shí)，g(x),(0,1)上的值域?yàn)?e,所以當(dāng)ae 時(shí)，f

10、(x) (ex ax)(x有解.設(shè) H (x) ex 所以H (x)在x 因?yàn)镠(0)1所以H (x) ex 所以有：2xax,貝U H (x) ex a 0 x (0,1), (0,1)單調(diào)遞減.0, H (1) e a 0,ax在x (0,1)有唯一解X0.(2015海淀一模理)(18)(本小題滿分13分)(問題轉(zhuǎn)化、零點(diǎn)) 已知函數(shù) f(x) alnx -(a 0).x(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；2分3(0,1).(n)若xf(x) 0 b,c(其中b c ),求a的取值范圍，并說明b,c(18)(共 13 分)解：(I) f'(x)a 1 ax 1, c (X 0).x x

11、 x(i)當(dāng) a0時(shí)，f'(x)0，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,).(ii)當(dāng) a0 時(shí)，令 f'(x) 0 ,得 x5分記為c.因?yàn)樗詘 f(x) 0 b,c.當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f(x)的變化情況如下表極小值所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,丄)，單調(diào)遞增區(qū)間是(丄，).-aa(n)由(I)知:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)是減函數(shù)，所以，函數(shù)f(x)至多存在一個(gè)零不符合題意. 6分當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閒 (x)在(0,-)內(nèi)是減函數(shù),1在(丄，)內(nèi)是增函數(shù)，所以要使a1C-a 0.a0b,c，必須1f (一) 0，即 alnaa所以a e. -

12、7分當(dāng)ae時(shí),f(2)aln (丄)a1f (x)在(0,-)內(nèi)是減函數(shù)，在(-,)內(nèi)是增函數(shù), aa2aln a2a a (a 2ln a).aa令g(x) x21 nx(x e)，則 g'(x)1 -2(x e).xx當(dāng)xe時(shí),g'(x)0 ,所以，g(x')在e,)上是增函數(shù).所以當(dāng)ae時(shí)，g(a) a 2lnag(e) e2 0.所以1f r a)0. -9分因?yàn)閬A2丄1 ,f(-) 0, f(1)1 0 ,aaa所以f(x)在(2,1)內(nèi)存在一個(gè)零丿民不妨i記為b，在(-,1)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨a11分占八、5x f(x)a a綜上所述，a的取值范圍是(e,

13、+ ).12分因?yàn)閎 (丄，丄)，c (-,1)，a aa所以b,c(0,1).13分(2015海淀上學(xué)期期末)(19)(本小題滿分已知函數(shù) f(x) acosx xsinx， x 13分)(零點(diǎn)、三角函數(shù))n n,.2 2判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論;(n)求集合A x| f (x)0中元素的個(gè)數(shù);(rn)當(dāng)1 a 2時(shí)，問函數(shù)f(x)有多少個(gè)極值點(diǎn)(只需寫出結(jié)論)(19)(共 13 分)解：(I)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),證明如下:1分對(duì)于2分因?yàn)閒 ( x) a cos( x)xsin( x) a cosx xsin x f (x)，所以f(x)是偶函數(shù).4 分(n)當(dāng) a0時(shí)，因?yàn)閒 (x)acosx xsinx 0，x -,-恒成立,2 2所以 集合A x| f (x)0中元素的個(gè)數(shù)為0.5分當(dāng) a 0 時(shí)，令 f (x) xsi nx 0，由 x 上,-2 2得x 0.所以集合A x| f (x)0中元素的個(gè)數(shù)為1.6分0 時(shí)，因?yàn)?f '(x) a si nx si nx xcosx (1 a)si nx xcosx 0