藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點55二項分布及其應(yīng)用(理)

1、考點五十五二項分布及其應(yīng)用(理)知識梳理1.相互獨立事件一般地，對于兩個事件 A, B,如果有P(AB)=P(A)P(B),則稱A、B相互獨立.(2)如果A、B相互獨立，則 A與 后、-A與B、云與萬也相互獨立.(3)如果 Al, A2,，An相互獨立，則有：P(AiA2An)= P(Al)P(A2)P(An).2,二項分布如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是 P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生 k 次的概率是P(X=k)=Cnpkqn k,其中k=0, 1, 2, 3,，n, q = 1 P.于是得到隨機變量 X 的概率分布如下：X01knpCnP0qnC1P1qn 1cnpkqn

2、kcnpnq0由于Cnpkqk恰好是二項展開式(P+q)n=C0P0qn+Cnp1qn1+ Cnpkq卜+十Cnpnq0中 的第k+1項(k=0, 1, 2,，n)中的值，故稱隨機變量 X為二項分布，記作 XB(n, P).3 .二項分布特點(1)每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果：“成功”和“失敗”；(2)每次試驗“成功”的概率均為P, “失敗”的概率均為1P;(3)各次試驗是相互獨立的.4 .獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)做的 n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，用 Ai(i=1, 2,，n)表示第i次 試驗結(jié)果,則 P(A1A2A3-An) = P(A1)P(A2)-P(An).典例剖析題型一相互獨

3、立事件例1設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的.(1)求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(2)求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(3)記E表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求E的分布列.解析 記A表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品；記 B表示事件：進入商場的 1位顧客購買乙種商品；記 C表示事件：進入商場的 1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種；記D表示事件：進入商場的 1位顧客沒有購買甲、乙兩種商品中的任

4、何一種. C= A B + A B,P(C)=P(A B + A B)=P(A B)+P( A B)=P(A) P(B)+P(A) P(B)=0.5X 0.4+0.5 X 0.6= 0.5.(2) D = A B ,P(D)=P(A B)=P( A) P(B)=0.5X 0.4= 0.2,P(D) = 1-P(D)=0.8.(3) B(3, 0.8),故E的分布列P( 土 0)=0.23=0.008；P( 2 1)=c3x 0.8 X 0.22= 0.096；P( 土 2)=C3x 0.82x 0.2= 0.384;P( 土 3)=0.83=0.512.0123P0.0080.0960.384

5、0.512變式訓(xùn)練(2015北京理節(jié)選)A, B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位：天)記錄如下：A 組:10,11,12,13,14,15,16B 組：12,13,15,16,17,14, a假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨立，從A, B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.(1)求甲的康復(fù)時間不少于 14天的概率；(2)如果a=25,求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；解析設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人，i=1,2,，7.1由題息可知 P(Ai)= P(Bi)=7, i=1,2,，7.由題意知，事件“甲的康復(fù)時間不少于

6、14天”等價于“甲是 A組的第5人，或者第6人,或者第7人”，所以甲的康復(fù)時間不少于14天的概率是3P(A5U A6 U A7)= P(A5) + P(A6) + P(A7)= 7.(2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”.由題意知，C = A4B1 UA5B1 U A6B1 UA7B1U A5B2 UA6B2U A7B2 UA7B3U A6B6 U A7B6. 因此 P(C)=P(A4Bl)+ P(A5Bi)+ P(A6Bi)+ P(A7Bi)+ P(A5B2)+P(A6B2)+ P(A7B2)+ P(A7B3)+10P(A6B6)+ P(A7B6)= 10P(A4Bi)= 10P(

7、A4)P(Bi)= 49解題要點(1)注意區(qū)分相互獨立事件與n次獨立重復(fù)試驗.獨立重復(fù)試驗是在同一條件下，事件重復(fù)發(fā)生或不發(fā)生.(2)獨立重復(fù)試驗中的概率公式P(X= k)= CnPk(1 P)k表示的是n次獨立重復(fù)試驗中事件 A發(fā)生k次的概率，P與1-P的位置不能互換，否則該式子表示的意義就發(fā)生了改變，變?yōu)槭录嗀有k次不發(fā)生的概率了 .(3) “相互獨立”與“事件互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.兩事件相互獨立不一定互斥.題型二獨立重復(fù)試驗例2(2015新課標I理)投籃測試中，每人投 3次，至少投中2次才能通過測

8、試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為.答案 0.648解析 利用獨立重復(fù)試驗概率公式求解.3次投籃投中2次的概率為P(k = 2) = C2x 0.62X (1 0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63, 所以通過測試的概率為P(k=2) + P(k= 3)=C3x 0.62X (1 0.6)+ 0.63= 0.648.故選 A.變式訓(xùn)練在4次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是65,81則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率是 .,1答案13解析 設(shè)A發(fā)生概率為P, 1-(1-P)4=67，P=1.813解題

9、要點利用獨立重復(fù)試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X= k) = cnPk(1 P)k的三個條件：在一次試驗中某事件 A發(fā)生的概率是 一個常數(shù)P;n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果 是相互獨立的；該公式表示n次試驗中事件 A恰好發(fā)生了 k次的概率.題型三二項分布例3某商場為促銷設(shè)計了一個抽獎模型，一定數(shù)額的消費可以獲得一張抽獎券，每張抽獎券可以從一個裝有大小相同的4個白球和2個紅球的口袋中一次性摸出3個球，至少摸到一個紅球則中獎.(1)求一次抽獎中獎的概率；（2）若每次中獎可獲得10元的獎金，一位顧客獲得兩張抽獎券，求兩次

10、抽獎所得的獎金額 之和X（元）的概率分布.解析（1）設(shè)“一次抽獎中獎”為事件A,則 P(A) = C2CC2c4=C62045.故一次抽獎中獎的概率為4.5(2) X 可取 0, 10, 20, P(X=0)= (0.2)2= 0.04, P(X=10)=C2x 0.8X 0.2 = 0.32,P(X= 20) =(0.8)2= 0.64.X的概率分布列為X01020P0.040.320.64變式訓(xùn)練（2014高考四川卷節(jié)選）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20分，出現(xiàn)三次音

11、樂獲得 100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200分（即獲 1得- 200分）.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 2,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為 X,求X的分布列.解析 X可能的取值為10, 20, 100, - 200.根據(jù)題意，有P(X=10) = c3x 1 1X11-2八21P(X=20) = C2X 21-2_31p(x=100) = c3x 21 X 1-2=8,=8,;=818.11 01P(X=- 200)= C0x 2X1 2所以X的分布列為X1020100 200P33118888解題要點 獨立重復(fù)試驗與二項分布是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點，抓住 項

12、分布的特點，正確識別二項分布模型是解題的關(guān)鍵.當堂練習1.已知隨機變量 XB(10,0.6),則E(X), D(X)分別是.答案 6和2.4解析 XB(10,0.6), . E(X)= 10X 0.6= 6, D(X) = 10X0.6X (1 0.6)= 2.4,2,若事件 A, B 相互獨立，且 P(A) = 1, P(B) = 1,則 P(AB)=. 32答案161 1 1解析 A, B 相互獨立，P(AB) = P(A)P(B) = -X-=-2 3 63 .甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6,乙被錄取的概率為0.7,兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概

13、率為 .答案 0.88解析由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(1-0.6)(1 -0.7)= 0.12.所以其中至少有一人被錄取的概率為1 0.12= 0.88.1 e,4 .已知XB 6,工，則P(X=2) =3答案毀243解析 P(X= 2) = C2 1 3 =243. 2一 35 .兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為0和7兩個零件是否加工為3 4一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為 .答案5解析 設(shè)事件A=甲實習生加工的零件為一等品；事件B =乙實習生加工的零件為一等品，則 P(A) = |, P(B) = 3， 34所以這兩個零件中恰有一個一等品的概

14、率為P(A B )+P( AB)=P(A)P( B )+P( A)P(B)=2X(1%(11)X3=：5. 343412課后作業(yè)一、填空題1.國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為1,乙、丙去北京旅游的概率分別為1, 1.假定三人34 5的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為.3答案35111斛析 因甲、乙、丙去北樂旅游的概率分力1J為.因此，他們不去北東旅游的概率分別345234 一 . 2343為2, 3, 4,至少有1人去北京旅游的概率為 P=1-1x3x4=.3453455112 .從應(yīng)屆畢業(yè)生中選拔飛行員，已知該批學(xué)生體型合格的概率為o,視力合格的概率為3 61

15、其他幾項標準合格的概率為 1,從中任選一名學(xué)生， 則該學(xué)生三項均合格的概率為 (假設(shè)三次5標準互不影響).,1答案910解析由題意P=-X1X1=3 6 5190.3.某人射擊命中目標的概率為0.6,每次射擊互不影響，連續(xù)射擊3次，至少有2次命中目標的概率為a十2一523153154.甲、乙兩人進行象棋比賽，比賽采用五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假2定甲每局比賽獲勝的概率均為 2,則甲以3： 1的比分獲勝的概率為 .3答案27解析 甲以3 ： 1的比分獲勝，即前三局甲勝二局，第四局甲勝，所求的概率為P = C2 2 2x1x|=;8.33 3 2 75 .某批小麥種子，如果每1粒小

16、麥發(fā)芽的概率為4,那么播下3粒這樣的種子恰有2粒發(fā)芽5的概率是答案48125解析 用X表示發(fā)芽的粒數(shù)，獨立重復(fù)試驗服從二項分布XB 3, 4 ,5P(X= 2)=62 4 2 51 =卷.6 .投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件 A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A, B中至少有一件發(fā)生的概率是 答案712ii解析 法一 由題得P(A)=1, P(B)=1，事件A、B至少有一件發(fā)生的概率為1,51,1 , 1,17P=P(A B )+P( A B)+P(AB)=P(A) P( B )+P( A ) P(B)+P(A) P(B)= 2 * 否 + 萬*、+ 2

17、1 1法二 依題意得p(a)=2，P(B)=g,事件A, B中至少有一件發(fā)生的概率等于1P(-A 7B)=1-P(-A ) PfB )=1-1x-5 = 2 6 127.甲、乙兩人進行打靶訓(xùn)練，甲每射擊10次可以擊中9次，乙每射擊9次可以擊中8次.甲、 乙兩人射擊同一目標(甲、乙兩人互不影響)，現(xiàn)各射擊一次，目標被擊中的概率為 .答案8990解析目標被擊中的概率為p=11218=12=89. 10990 9018,已知隨機變量B 100,彳，則當P(E= k)取得最大值時，k的值為答案 50,1 .1 .解析 p(e k) = c100-2 k 1-2 100 k1 一= C100 -1 10

18、0,由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當k= 50時取得最大值.2 .9 .某籃球運動員在三分線投球的命中率是.他投球6次，恰好投進4個球的概率為3數(shù)字彳答).答案80243解析 P=C6| 4 1 2=243.C210 .某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，此人恰有兩次擊中目標的概率為解析 本題符合獨立重復(fù)試驗，是二項分布問題，所以此人恰有兩次擊中目標的概率為(0.6)2- (1-0.6) = 74. 12511 .設(shè)袋中有大小相同的 4個紅球與2個白球，若從中有放回地依次取出一個球，記6次取球中取出2個紅球的概率為20答案 243“ 2, ri ，一”r2C 2 2 1 4 20解析 由題意得紅球個數(shù) X服從二項分布，即XB6, 2 ,P(X=2) = C6 2=照.333243二、解答題乙獲勝的312 . （2014安徽卷節(jié)選）甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,一、，1概率為T,各局比賽結(jié)果相互獨立.求甲在4局以內(nèi)（含4局）做得比賽的概率.3解析 用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表布“第21k 局乙秋勝,則 P(Ak)=a，P(Bk)=, k=1, 2, 3, 4, 5.332_56=81.P(A)= P(AiA2)+ P