解析幾何第四版呂林根課后習(xí)題集規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案第一章

1、.第一章矢量與坐標(biāo)1 1.1矢量的概念2 .下列情形中的矢量終點(diǎn)各構(gòu)成什么圖形？(1)把空間中一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；(2)把平行于某一平面的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn);(3)把平行于某一直線的一切矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；(4)把平行于某一直線的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)解：(1)單位球面；(2)單位圓(3)直線；(4)相距為2的兩點(diǎn)3 .設(shè)點(diǎn)O是正六邊形 ABCDEF的中心，在矢量 OA、OB、 OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、 DE> EF和FA中，哪些矢量是相等的？解:如圖1-1,在正六邊形 ABCDEF中，相等的矢量對(duì)是：向口 EF；oB和FA；od和aB;OE

2、和CDOF和DE.N分別是邊 AB、B C、CD、4 .設(shè)在平面上給了一個(gè)四邊形 ABCD,點(diǎn)K、L、M、KL = 1 AC. KL與AC方向相同；在DACDA的中點(diǎn)，求證： KL = NM .當(dāng)ABCD是空間四邊形時(shí)，這等式是否也成立?證明:如圖1-2,連結(jié)AC,則在 BAC中，中，NM 工AC. NM與AC方向相同，從而2KL =NM且KL與NM方向相同，所以 KL = NM .5 .如圖1-3,設(shè) ABCD-EFGH 是一個(gè)平行六面 體，在下列各對(duì)矢量中， 找出相等的矢量和互 為相反矢量的矢量：-HG(1) AB、CD ； A7(2) aE、CG ; £ /j.Z (3) AC

3、、EG; °+7(4) AD、GF ;(5) BE、CH .圖13"解:相等的矢量對(duì)是 (2)、 (3)和(5);互為反矢量的矢量對(duì)是(1)和(4)。§ 1.2 矢量的加法1 .要使下列各式成立，矢量a,b應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?JbHa Unb ba g1 3b b(5)解:»*iBabab|.(2) a,b同向時(shí)有(3)(4) a,b反向時(shí)有a(5) a,b同向，且a, b所在的直線垂直時(shí)有a不H仲H H.a babaab,且a,b反向時(shí)有有 時(shí)§ 1.3 數(shù)量乘矢量1試解下列各題.化簡(jiǎn)(x y)(a b)(x y) (a b).已知ae1b 3e

4、1 2e22e3，求 a b , a b 和 3a 2 b .(x從矢量方程組3x 4y2x 3ya, b解出矢量y) (a b) (xy) (ab)xa xby a y b x a x b ya y b 2x b 2y a a b e1 2e2e3 3e12e22a 4ei e3 ,2e2 e3(3ei2e22，)2e1 4e2 3e3 ,3a 2b 3(e1 2e2備)2(3e12e22e3)3e1 10 e2 7 e3 .2已知四邊形ABCD中,AB a2c,CD5a 6b對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F ,求EF .11解 EF -CD -AB1 , (5 a216b 8c) (a2

5、2c)3a3b 5c.3 設(shè) AB a 5b, BC2a 8b, CD 3(ab),證明:A、B、D三點(diǎn)共線.證明 BD BC CD2a 8b 3(a b) a5b AB，AB與BD共線，又; B為公共點(diǎn)，從而 A、B、D三點(diǎn)共線.證明ABCD證明 AD AB BC CD (a 2b) ( 4a b) (5a 3b) 2( 4ab)2BCAD / BC , ABCD 為梯形.6.設(shè)L、M、N分別是A ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，證明：三中線矢量ALBMCN可以構(gòu)成一個(gè)三角形.證明:ALBMCN1(Ab 22(BA1 (CA 2AC)BC)CB)AL BM1 一 .CN (AB AC B

6、A BC CA CB) 0 2從而三中線矢量AL,BM ,CN構(gòu)成一個(gè)三角形。7.設(shè)L、M、OAN是ABC的三邊的中點(diǎn)，O是任意一點(diǎn)，證明OB + OC = OL + OM +ON .證明OAObOCOAOLOMONOBLAMBNCOCOL=OlOMOMONON(LA MB NC)(AL BM CN)口上吧叱?OA OB OCALBMOLOMCNON4 在四邊形 ABCD 中，AB a 2b, BC 4a b, CD 5a 3b,為梯形.所以2OM =圖1-58.如圖1-5,設(shè)M是平行四邊形 ABCD的中心，O是任意一點(diǎn)，證明 oa+ob + oc + Od =4OM .證明：因?yàn)镺M =1

7、,-(OA + OC), OM =21 - 一2(OB + OD ),1 二(OA + OB+OC + OD ) 2所以O(shè)A + OB+OC + OD =4OM .9在平行六面體 ABCDEFGH （參看第一節(jié)第4題圖）中，證明AC AF AH 2 AG .證明 AC AF AH AC AF AD DH AC AF FG CG 2AG.10.用矢量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長(zhǎng)度和的一半.證明 已知梯形 ABCD ,兩腰中點(diǎn)分別為 M、N ,連接AN、BN .MN MA AN MA AD DN ,MN MB BN MB BC CN , MN AD BC ,即1 , _1_

8、 八MN -(AD BC),故 MN 平行且等于-(AD BC).11.用矢量法證明，平行四邊行的對(duì)角線互相平分證明:如圖1-4,在平行四邊形Ad Od oaBC OC OB但 AD BCOD OA OC OBABCD中，O是對(duì)角線 AC, BD的交點(diǎn)OA OC OD OB由于(OAOC) / AC, (OB OD) / BD,而 AC 不平彳亍于 BD ,OA OC OD OB 0 ,從而 OA=OC , OB=OD。12.設(shè)點(diǎn)O是平面上正多邊形 A1A2An的中心，證明： 就+就+仄=0.證明:因?yàn)镺A1+ OA3 = OA2, OA2 + 0A4 = 0A3,OAn 1 + OA1 =

9、OAn ,OAn + OA2 = OA1 , 所以 2( OA1 +OA2 + + OAn)=(OA1 +OA2 + - +OAn ),所以 (一2)(0A1+0A7+ +0An )= 0.顯然W2,即 -20.所以O(shè)A1 +OA2 +OAn = 0.13.在12題的條件下，設(shè) P是任意點(diǎn)，證明：PA1 PA2PAn nPO.證明：OA OA2OA 0PA1 POPA2POPAn PO 0即 PA PA2PAn nPO1.4矢量的線性關(guān)系與矢量的分解1.在平行四邊形 ABCD中,(1)設(shè)對(duì)角線 AZ a,BD b,求 AB,BC,CD,DA.人 111 r i 解：AB 1b a, BC 1b

10、 a,CD 1b a ,DA222(2)中點(diǎn) M 和 N，且 am. P, AN q 求 bC,cD。1-ba.設(shè)邊bc和cd的211 -解：AC 1 q P BC 2MC 2 1 q 2'2- -1 CD 2CN 2 AN AC 2 - p 22.在平行六面體 ABCD-EFGH中，設(shè)AB面上對(duì)角線矢量設(shè)為 AC p, AH q,AFp p q 3P一 1 一 一一 q -q q p2IlS,AD e,AE q,三個(gè)r,試把矢量 ap q r寫(xiě)成 ei,e2,e3(1+ )OP = OA+ OB,的線性組合。 1-1-1-F 1>-I-1-1>證明：ACpe2e, AHq

11、e3e2,-fsrAFre3e1 ,aACAHAF3.設(shè)一直線上三點(diǎn) A, B, P滿(mǎn)足AP = PB (OA OB OP =1證明:如圖1-7,因?yàn)?),O是空間任意一點(diǎn)，求證:所以AP = OP - OA ,PB = OBOPOP - OA =(OB - OP),圖1-7.OA OB 從而 OP =14.在 ABC 中，設(shè) AB 0, AC e2.（1）設(shè)D、E是邊BC三等分點(diǎn)，將矢量AD,AE分解為362的線性組合；（2）設(shè)AT是角A的平分線（它與BC交于T點(diǎn)），將AT分解為e1,e2的線性組合解：（1）BCACAB %e1, BD(2)ADABBD1 一二 e2e131 .3e132

12、.3e11 1BC e2e1，同理AE因?yàn)楫?huà)=回|TC| |0|3OG OAOBOC所以BT與TC方向相同, BT 二回 TC .|e2|由上題結(jié)論有AT =|% |ei|ei |e25.在四面體OABC中，設(shè)點(diǎn)1回|e21|ei I |e21G是ABC的重心（三中線之交點(diǎn)）,求矢量OG對(duì)于矢量OA,OB,OC的分解式。解： G是ABC的重心。連接AG并延長(zhǎng)與BC交于P1 - -? AB AC2AB AC一1 一 一 一 2AP AB AC , AG - AP23同理BGBA BC CG,1 1 CA CB3OGOAAGOAOGOBBGOBOGOCCGOC1 3131ABBC(1)由(1) (

13、2)(3)得1 AB3BABC(2)(圖1)CACB(3)ACBACACB.OA OB OC1 即 OG OA OB OC36 .用矢量法證明以下各題 (1)三角形三中線共點(diǎn)證明：設(shè)BC, CA, AB中，點(diǎn)分別為L(zhǎng),N。AL 與BM交于Pi , AL于CN交于P2BM于CN交于P3 ,取空間任一點(diǎn) O,OPiOBBPOBBM 3OBBABCOB同理OP2OP3-OA 3-OA 3-OA 3OBOBOBPi,P2,P3三點(diǎn)重合OCOB30AOBOCOCOC(圖2)三角形三中線共點(diǎn)(第3頁(yè))7.已知矢量a,b不共線，問(wèn)2a3a2b是否線性相關(guān)?證明：設(shè)存在不全為0的，使得即 2a b b故由已知

14、a,b不共線得0與假設(shè)矛盾,故不存在不全為0的，使得c d 0成立。所以c,d線性無(wú)關(guān)。 k+>frv+，r8 .證明三個(gè)矢量a = e1+3 e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3, c = - 3向+12 G + 11e3 共面,其中a能否用b ,c線性去示？如能表示，寫(xiě)出線性表示關(guān)系式證明:由于矢量e1, I, e3不共面，即它彳門(mén)線性無(wú)關(guān).-i考慮表達(dá)式a + b +vc = 0 ,即(e +3e2 +2e3)+ (4e 6 e2+2 e3 )+v (3e +12 e2 + 11 e3) = 0,或(一+4 3v) e1 +(3 -6 +12v) e2+(2 +2 +11v)

15、e3 = 0.由于e , e2 , e3線性無(wú)關(guān)，故有4 3v 0,3 6 +12v 0, 2211vo.解得 =-10,= - 1, v= 2.由于 =-10 0,所以a能用b ,c線性表示a = - - b + - c.1059 .證明三個(gè)矢量a b, b c, c a共面。證明： a b b c c a 0三個(gè)矢量線性相關(guān)，從而三個(gè)矢量共面。OC - ob= （OA - Ob）, 所以 BC= BA, 從而 BC / BA .故 A, B, C三點(diǎn)共線.§ 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)3.在空間直角坐標(biāo)系O;i,j,k下，求P(2,-3,-1), M(a, b, c)關(guān)于 (1)坐標(biāo)平面

16、；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).解:M (a, b, c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, -c),M (a, b, c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(一a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c),M (a, b, c)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a, b,-c), M (a, b, c)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a, - b, c).類(lèi)似考慮P (2,-3, 1)即可.8.已知矢量a, b, c的分量如下：(1) a=0, -1,2, b =0, 2,

17、4, c=1,2, 1; (2) a =1,2, 3 , b =2, -1,0, c =0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將c表成a, b的線性組合？若能表示，寫(xiě)出表示式 012解:(1)因?yàn)?0 24 =0，所以 a, b, c三矢量共面，121又因?yàn)閍, b的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即 ab,但c,*a, 故不能將c表成a, b的線性組合.123(2)因?yàn)?1 0 =0,所以 a, b, c三矢量共面.056又因?yàn)閍, b的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即 ab ,故可以將c表成a, b的線性組合. 一設(shè) c= a+ b , 亦即0, 5, 6 = 1,2, 3+ 2, -1,0從而20,20,36.解

18、得=2,=- 1,所以c = 2a b .7.已知 A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)如下：(1)在標(biāo)架 O;5,e2 下，A 0,1 , B 2, 2 ,C 2,4.(2)在標(biāo)架 o；ee2,e3 下，a 0,1,0 ,b 1,0,2 ,c 2,3,4判別它們是否共線？若共線，寫(xiě)出AB和AC的線形關(guān)系式.解：(1)因?yàn)?AB 2, 3,AC 2,3所以AB AC 共線 AB 1, 1, 2 , AC 2,2,4設(shè)AB AC,但不存在所以A, b, c不共線.2 0/口2得25所以13 69 .已知線段AB被點(diǎn)C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分，試求這個(gè)線段兩端點(diǎn)A與B的坐標(biāo).答 A(-1,2,4),

19、B(8,-4,2).10 .證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面 重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái).證明:設(shè)四面體 A1A2A3A4,Ai對(duì)面重心為 Gi,欲證AiGi交于一點(diǎn)(i=1,2, 3, 4).從而OPi =OA 3OGi1 3在 AiGi 上取一點(diǎn) Pi,使 AP=3PGi, 設(shè) Ai(xi, y, zi)(i=1,2, 3, 4),則G1X2 X X43y2y3y43Z2Z3 Z43XX3X4 X V3 V4Z1Z3Z4,333G3XX2X43y y2y43Z1Z2Z43XX2X3y1V2 V3 X X Z3,333所以

20、x13Pi(X2X3X43Z2Z3同理得P2 三倍.XiX2X3X4Pl(4P3 P4 Pi,所以AiGi交于一V y2 V3 Va4ziZ2Z3Z4).4點(diǎn)P,且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對(duì)面重心距離的§ 1.6矢量在軸上的射影10 ,求射影矢量eAB與射影eAB ,1.已知矢量 AB與單位矢量e的夾角為150 , H |ab| 又如果e e,求射影矢量e aB與射影e aB.解射影 eAB = AB cos (e, AB) 10.COS1505，3,射影矢量eAB= 5.3ee e, (e,AB) 180(e, AB) 30射影 eAB = ABcos (e,AB) 10.COS3

21、0 5%;，3, 射影矢量eAB = 5.3e2射影ia22試證明：射影i( a1a2 + n an )= 1射影i a1 + + n射影l(fā) an .證明:用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證.當(dāng)n = 2時(shí)，有射影i( 假設(shè)當(dāng) 射影i( 欲證當(dāng) 射影i( =射影+1-卜r1 a12a2 )=射影 i( 1aQ+射影 l( 2a2 )=n = k時(shí)等式成立，即有n = k+11 a1i( 1 a1=射影i ( 1 a11射影 a1 + 2射影i a2 .kak )= 1射影0 + k射影iak .時(shí)亦然.事實(shí)上k ak k 1ak 1)k ak )+ k 1 ak 1 k ak )+射影 l ( k 1 ak 1

22、 )k射影 ak+ k+1射影l(fā) ak 1故等式對(duì)自然數(shù)n成立.§ 1.7兩矢量的數(shù)性積1證明：rrr r(1) 矢量a垂直于矢量(ab)cr r r(ac)b ;(2)在平面上如果m1 *m2 ,且a mi = br uur r rr rr rrmi (i= 1,2),則有 a = b . r r r r證明：(1) a . (a b)c (ac)b a(ab)c a(ac)br r rr(ab)ac (ac)ab = 0r r r rr r，矢量 a垂直于矢量(ab)c (ac)b .(2)因?yàn)?mi * m2,所以，對(duì)該平面上任意矢量c = mi + m2,(a b)c = (

23、a b)( m1+ m2) =m1(a b)+ m2 (a - b)=(a m1 b m1)+ (a m2 - b m2) = 0, 故(a-b) c.由c的任意性知a -b = 0.從而 a = b .2.已知矢量a,b互相垂直，矢量c與a,b的夾角都是60,且a i2M 3計(jì)算:(a b)2;(2)(a b)(a b)；(3)(3a 2b).(b 3c)；(4)(a 2b c)2解:，一 ，2 2_(1)(ab)2a2a.bb1 2 0 225;-.2. 2(a b)(a b) a b 1 223;一_-2一(3)(3a2b).(b3c)3a.b2b9a.c6b.c8 9 3.cos60

24、6 2 3cos60 -;22- 22-2(a 2b c) a 4ab 2ac 4bc 4b c 221 2 3cos60 4 2 3cos60 4 23111rr r rr r rC,求 ab bc ca ；3.計(jì)算下列各題.uuir r uuu r uuir(1)已知等邊 ABC的邊長(zhǎng)為1,且BC a , CA b , ABr r r(2)已知a,b,c兩兩垂直r，且a1, b 2, c 3,求;r r rr r ra b c的長(zhǎng)和它與a,b,c的夾角.r r r rr r(3)已知a 3b與7a 5b垂直，求a,b的夾角.r(4)已知ar2, b 5,r r 2(a,b)-ir r r

25、rp 3a b, qr ra 17 b.問(wèn)系數(shù)取何值時(shí)inrp與q垂直?1,b c cos120°r rr rr rrr 0abbccaabcos120r r一c a cos12032r rc,且a1, b 2, crr r r,'14i2j3k. rS2232r r r r設(shè)r與a,b,c的夾角分別為1.14 cos -1414cos_2_.1414,cos 7_3_,143/1414arccos 上,14,14 arccos,73 14 arccos.14r(3) (ar r3 b) (7 ar5b)0,r2即7ar rr216ab 15ar(ar r4b) (7auur

26、得：2a buu r(4) a buu r p qr2b)r2 br ur cos (a, b)r (3a40(8)頁(yè)后cosr b)(r r(a,b)4.用矢量法證明以下各題：(1)三角形的余弦定理r 20,即 7ar r 30abr28b(2)urra br r8 Q)5得:uur2a br2 a1b2T2bcosr r(a,b)r 17b)12)2r r 51aba b 17 b680 17a2= b2+ c22bccosA;(2)三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距證明：(1)如圖 1-21, 4ABC 中，設(shè) AC=b,Q=c,BC =且|a|=a, |b|=b,|c|=c.

27、 則a = b c, fffffa2=(b c)2= b2+c22b c = b2+c2 2|b |c |cosA.此即a2= b2+c2 2bccosA.(2)如圖1-22,設(shè)AB, BC邊的垂直平分線 PD,PE相交于P, f AD, E, F 為 AB, BC, CA 的中點(diǎn)，設(shè) PA = a , PB = b , PC=c,則 AB=b a, BC=c b,CA = a c, PD =11-(a +2b),PE =因?yàn)?PD1.(c + b).2AB, PEBC,所以1一 (a + b)(b a )= 21(b+c)(c-b)=1(c2-b2) = 0,圖 1-11(b 2 a2) =

28、 0,從而有 a 2= b 2= c2, 即 |a |2= |b |2= | c |2,所以 1 (c + a)(a c)= 1 (a 2c2)= 0, 22所以 PF CA, 且|a|=田|=向.故三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距rr5已知平行四邊形以 a 1, 2, -1 , b 1, -2, 1 為兩邊(1)求它的邊長(zhǎng)和內(nèi)角(2)求它的兩對(duì)角線的長(zhǎng)和夾角r解：(1) a.22 1cosuu ra barccos1 或61 arccos-6urCicosurCi urCic2,10 ，=0uuc2,14 .6已知 ABC的三頂點(diǎn)A(0,0,3), B(4,0,0), C(0,8

29、,3)試求：(1) 三邊長(zhǎng)(2) 三內(nèi)角 (3)三中線長(zhǎng)uuir(4)角A的角平分線矢量 ADuuir(中點(diǎn)在BC邊上)，并求AD的方向余弦和單位矢量uur解： (1) AB (4,0,3),uuurAC (0,8,uuin6) , BC (4,8,3)cosuuuABuuu AB uuu Iuuir5, AC1 uur1 BC1 uuur AB| BC10,uiurBC259 arccos25uuir uuir.AC BC 41 89cosuuu ACuuu BC44541.89 arccos445cos BuuurBC 7 . 89uuuiBCuuuiBC445uuuBA7.89 arcc

30、os445uuuu(3) AD1uuuABuuiuBD1 =(2,4,-uuuuAD1-1612uuurBD2uiu BAuiuurAD2 =(-4,4,0 )uuurBD24.2uuurCD3uuuCAuuurAD3 (2,uuju CD33532(4) cos-uuu-uutF-ABADuuu uuuAB AD-uutF-utur-ACADuur AD98,2)uurACujlrAD =cos、.172, , cos -172,cos -, -.17設(shè)它的單位矢量為a, b,c ,且2,2a b2VMB， a,b,c 二,17 , .17 , .171.已知§ 1.8r兩矢量的失

31、性5,a b3,試求：(1) ar(ar b)r (ar 2 b)r(3) (a2b) (br2a)解：(1) sinr r(a,b)2-r-r-cos (a, b)(3)2sinr r(a,b)4.(2)原式=r(ar b)r(ar b)r(2ar b)264.(3)原式=r2br2ar4br3ab)2=9242 1442.證明:(1) (a b)2wa2b2,并說(shuō)明在什么情形下等號(hào)成立(2)如果 a + b + c=0,那么a,并說(shuō)明它的幾何意義r r如果a b(4) 如果證明：(1)r c r au rd , a ur urp n,r br birdr .那么a r ur q n,r 與

32、b r crc共線.rn,那么r r ra,b,c 共面 .(ab )2= |ab |2 = |a |2|b |2sin2(a,b)<|a|2|b |2= a2 b2.(a ,b) = 1,要使等號(hào)成立，必須sin2 ( a ,b )= 1,從而sin故(a,b)=&,即當(dāng)a b時(shí)，等號(hào)成立.Ti (2)由 a + b + c = 0,有(a + b+ c) c=0 c=0,但 c c = 0,于是 a c + b c = 0,所以b c = c a.同理由從而 a(a + b + c) a = 0,有 c a = a b , b = b c = c a .其幾何意義是以三角形的

33、任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等(u d)r(br r u rc )= a d airdirdindur rd與brc共線.ur rr (ar(P n) qb)c r r n (rur (P r n)r n)r(qr r n) (rr n)urPr(nr n) r. . (aur r(P n)rb)c 03.如果非零矢量(i= 1,2,3)滿(mǎn)足r1r2r3 , = %r1 , g = r1垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明:由矢性積的定義易知R ,r2 £彼此垂直，且構(gòu)成右手系.下證它們均為單位矢量.因?yàn)樗运詒1 = r26 , r2 = r3h ,*-I-FIr

34、 |=|r2|r3|, |r2|= |r3|r1|,1r1 |=| r3 |2| n |.由于 1r1 | 0,從而 | 6 |2= 1, k 同理可證| r2 |= 1, |n |= 1.從而1 ,2 ,3都是單位矢量.4.已知:r rrra 2, 3,1 , b 1, 2,3rc：與a ,b都垂直，且滿(mǎn)足下列條件的矢量 r2 ,那么單位矢量r設(shè) c x, y, zr u(2) c dr ra,cr b,10 ,其 r r c b x2y2x3y z=02z =17.33 .315 r 設(shè)c3 15 r x,y,z . ., cur d102x y7z=103562565.在直角坐標(biāo)系內(nèi)已知

35、三點(diǎn)A(5,1, 1), B(0, 4,3),(1)三角形ABC的面積uurnAB ( 5, 5,4)r r(r n) =0 r r ra, b, c共面2,1, 73z=0由(1),(2),(3)得:由(1),(2) , (4)得:C(1, 3,7),試求(2)三角形ABC的三條高的長(zhǎng)uuurAC ( 4, 4,8)uuurBC (1,1,4)cos A-uuu AB-uutr-AC6uuu uur_AB AC115 sin A 一6SVABCuuu uuurAB ACsin A 12 2uuu (2) ABV66 ,h22、, 3, h3 8.uuLr,_ uuu_8/33AC796, B

36、C屈.h1833,11r6.已知：a 2,3,1 ,rb 5,6,4 ,試求:r r(1)以a, b為邊的平行四邊形的面積這平行四邊形的解：(1)Sa b sin (a,b)r r cos (a,b)16.22. r r . 297 .sin (a, b)- 7777S 3.6a e,b員h1串西h2辛匹.a 7b 777.用矢量方法證明：(1)三角形的正弦定理a b c-.sin A sin B sinC (2)三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：2=p(p-a)(p-b)(p-c).1 式中p= (a+b+c)是三角形的半周長(zhǎng)，為三角形的面積.2證明:(1)如圖 1-13,

37、在 ABC 中，設(shè) bC = a , CA = b , aB = c , 且 |a|=a, |b |= b, |c |= c,則 a + b + c = 0 ,-ifT從而有 b c = c a = a b ,-F -F-F所以|b c |= |c a |= |a b |,bcsinA= casinB= absinC,a b c4 7-=.sin Asin BsinC(2)同上題圖， ABC的面積為1 一 ,=一 |a b |,2所以 2=l(a b)2.4 因?yàn)?G b)2+(a b)2=a2b2, 所以 2=，a2b2(a b)2.4 -F由于 a + b+c= 0,TfT從而 a + b

38、= c, (a + b)2=c2,所以 a b = 1(C2- a2- b2)= 1(c2-a2-b2), 22故有 2= 1a2b2_ 1 92_ a2b2)2441=2ab- (c2a2b2)2ab+(c2a2b2) 161o o o ,.=(a+b)2-c2c2-(a-b)2161 ,= -(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c- a+b)1= w2p(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a).所以2=p(p a)(p b)(p c),或 =,p( p a)(p b)(p c).§ 1.9三矢量的混合積1 .設(shè)a, b, c為三個(gè)非零矢量，證明(3) ( a , b,

39、c+ a+ b) =( a , b, c)；(4)(a+ b, b+c, c+a) =2( a , b, c).證明:(1)左端二(a b) (c+ a + b) -ir-fc-w-r-frw-fc-fc-=(ab)c+(ab)(a)+(ab)(b)-fcfffff-teff=(ab)c+(ab)a+(ab)bf T I-=(a b c)+ (a b a)+ (abb) T -k i=(a b c尸右端. f F -I- (2)左端=(b+c) (c+a) (a + b) f-l-T fF- -F=bc +b a + ca (a+ b)fiTfTfiffffffffTTf=(b c) a+(b a) a+(c a) a +(b c) b+(b a ) b +(c a) b» f T=T f iT f f=(b c a)+( c a b )=2( a b c)=右端.2.設(shè)徑矢 OA1, OB2, OC3,證明 R =(12)+ (2r3) +(31)垂直于ABC平面.證明:由于 AB R=（2 rj （ri L）（口 與）（g rj二(21r2)(r2r2r3)(r2r3i)(nh 卜)(hr2r3)(ri3i)二 (rir2 r3) (ri2%)0 ,所以 Ab r.同理可證 AC R.所以 r平面ABC.3. u=a