第17章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

1、第17章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論§17.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念1.研究一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的目的前面各章對(duì)桿件的強(qiáng)度分析，主要是研究桿件橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，找出橫截面上正應(yīng)力或切應(yīng)力最大的點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。但桿件的強(qiáng)度破壞也不總是發(fā)生在橫截面上，也有發(fā)生在斜截面上的。如鑄鐵圓試件的壓縮和扭轉(zhuǎn)破壞都是發(fā)生在沿軸線約的斜截面上。在第13章中曾經(jīng)指出，通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處所取截面的方位不同，截面上應(yīng)力的大小和方向也是不同的。在實(shí)際問(wèn)題中，構(gòu)件的受力是很復(fù)雜的。例如圖17-1所示的承受彎曲和扭轉(zhuǎn)的圓軸，在其橫截面上的1、2兩點(diǎn)將同時(shí)產(chǎn)生最大彎曲正應(yīng)力和最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。由于在危險(xiǎn)點(diǎn)同時(shí)存在著這兩種應(yīng)力，顯

2、然，我們不能簡(jiǎn)單地按彎曲正應(yīng)力建立強(qiáng)度條件，也不能簡(jiǎn)單地按扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力建立強(qiáng)度條件，而必須考慮這兩種應(yīng)力對(duì)材料強(qiáng)度的 綜合影響。這就要求我們?nèi)娣治鑫ｋU(xiǎn)點(diǎn) 圖17-1 組合變形實(shí)例處各截面的應(yīng)力情況。一般來(lái)說(shuō)，通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)的各個(gè)截面在該點(diǎn)處的應(yīng)力是不相同的，是隨截面的方位而改變的。受力構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)處的各個(gè)不同方位截面上的應(yīng)力情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。研究危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的目的就在于確定在哪個(gè)截面上該點(diǎn)處有最大正應(yīng)力，在哪個(gè)截面上該點(diǎn)處有最大切應(yīng)力，以及它們的數(shù)值，為處于復(fù)雜受力狀態(tài)下桿件的強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。 2.研究一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的方法 為了研究構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可以在該點(diǎn)截取一個(gè)微

3、小的正六面體，當(dāng)正六面體的邊長(zhǎng)趨于無(wú)窮小時(shí)，稱為單元體。因?yàn)閱卧w的邊長(zhǎng)是極其微小的，所以可以認(rèn)為單元體各個(gè)面上的應(yīng)力是均勻分布的，相對(duì)平行面上的應(yīng)力大小和性質(zhì)都是相同的。單元體六個(gè)面上的應(yīng)力代表通過(guò)該點(diǎn)互相垂直的三個(gè)截面上的應(yīng)力。如果單元體各面上的應(yīng)力情況是已知的，則這個(gè)單元體稱為原始單元體。根據(jù)原始單元體各面上的應(yīng)力，應(yīng)用截面法即可求出通過(guò)該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力，從而可知道該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。下面舉例分析受力構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。以直桿拉伸為例，如圖17-2所示。為了 圖17-2 拉伸桿的應(yīng)力狀態(tài) 圖17-3 圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析桿件內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，假想圍繞該點(diǎn)沿桿的橫向和縱向截取一單

4、元體，并將其放大，如圖17-2所示。單元體的左右兩面都是橫截面的一部分，面上的應(yīng)力皆為。單元體的其余四個(gè)面都平行于桿件軸線，所以這些面上都沒(méi)有應(yīng)力。又如圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，如圖17-3所示，欲分析圓軸表面上點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，圍繞著該點(diǎn)的軸向、徑向和橫向截取一單元體，單元體的左右兩面都是橫截面的一部分，面上的應(yīng)力皆為，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知在單元體的上下面上有切應(yīng)力存在。同樣的分析方法可以得到橫力彎曲時(shí)梁上下邊緣處和點(diǎn)的單元體（圖17-4）和同時(shí)產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形的圓軸上點(diǎn)的單元體（圖17-5）。 圖17-4 彎曲變形應(yīng)力狀態(tài) 圖17-5 彎扭組合變形應(yīng)力狀態(tài)3.應(yīng)力狀態(tài)的分類 從受力構(gòu)件中某一點(diǎn)處截取任意

5、的單元體，一般來(lái)說(shuō)，其面上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。但是彈性力學(xué)的理論證明，在該點(diǎn)處從不同方位截取的諸單元體中，總有一個(gè)特殊的單元體，在它相互垂直的三個(gè)面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。像這種切應(yīng)力為零的面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，用、表示，并按代數(shù)值排列，即。這種在各個(gè)面上只有主應(yīng)力的單元體稱為主單元體。按照不等于零的主應(yīng)力數(shù)目將一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分為三類： （1）單向應(yīng)力狀態(tài)。只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。例如軸向拉伸和壓縮時(shí)桿件上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)就屬于單向應(yīng)力狀態(tài)。 （2）二向應(yīng)力狀態(tài)。有兩個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。這是工程實(shí)際中最常見(jiàn)的一種應(yīng)力狀態(tài)。

6、本章例17-3、17-5等都是二向應(yīng)力狀態(tài)。 （3）三向應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。 單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，而二向和三向應(yīng)力狀態(tài)則稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，本章只著重二向應(yīng)力狀態(tài)的分析，僅簡(jiǎn)略介紹三向應(yīng)力狀態(tài)的某些概念。§17.2 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析解析法、圖解法 應(yīng)力狀態(tài)分析的目的是要找出受力構(gòu)件上某點(diǎn)處的主單元體，求出相應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力的大小、確定主平面的方位，為組合變形情況下構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算建立理論基礎(chǔ)。應(yīng)力狀態(tài)分析的方法有解析法和圖解法兩種。1.解析法圖17-6表示從受力構(gòu)件中某點(diǎn)處取出的原始單元體，其上作用著已知的應(yīng)力、和，并設(shè)>。其中

7、和是外法線平行于軸的截面（稱為截面）上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；而和是外法線平行于軸的截面（稱為截面）上的正應(yīng)力和 圖17-6 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）二向應(yīng)力狀態(tài) （b）二向應(yīng)力狀態(tài)用平面圖形來(lái)表示（c）截面法 （d）截面法所取的研究對(duì)象切應(yīng)力。由于此單元體前后面上沒(méi)有應(yīng)力，所以可以用17-7圖的平面圖形來(lái)表示?，F(xiàn)在用截面法來(lái)確定單元體的斜截面上的應(yīng)力。斜截面的外法線與軸間的夾角用表示，以后簡(jiǎn)稱此截面為截面，如圖19-7所示。在截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別用與表示。 假想沿截面將單元體分成兩部分，并取其左邊部分為研究對(duì)象，如圖19-7所示。通過(guò)平衡關(guān)系可以求出截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力： (17-1) (17

8、-2)利用式(17-1)和(17-2)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)規(guī)定：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力則以對(duì)單元體內(nèi)任意一點(diǎn)之距為順時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正，反之為負(fù)。角則規(guī)定從軸沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)到截面外法線時(shí)，為正，反之為負(fù)。在計(jì)算時(shí)應(yīng)注意按規(guī)定的正負(fù)號(hào)將、和的代數(shù)值代入上面兩公式。 由這兩個(gè)公式可以看出，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力是隨截面的方位而改變的。因此，在談到應(yīng)力時(shí)，應(yīng)該指明是哪一點(diǎn)處，在何方位截面上的應(yīng)力。 2.圖解法（應(yīng)力圓法） 式（17-1）和（17-2）表明斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力都是的函數(shù)，若消去參變量，便可得到和的關(guān)系式。為此，將式(17-1)改寫，并分別將其等號(hào)兩邊平方，得 (1)將式(

9、17-2)也兩邊平方，得 (2)將式(1)與式(2)相加，得 (3)可以看出，上式是以和為變量的圓的方程。若以橫坐標(biāo)表示，縱坐標(biāo)表示，則上式所表示的和之間的關(guān)系，是以為圓心，以為半徑的一個(gè)圓。此圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓。上述推導(dǎo)過(guò)程表明，圓周上一點(diǎn)的坐標(biāo)就代表單元體的某一截面的應(yīng)力情況。因此，應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體的斜截面有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)力圓表達(dá)了一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。 顯然，可用應(yīng)力圓來(lái)尋求單元體斜截面上的應(yīng)力。這種方法就是圖解法。 下面以圖17-6所示的單元體為例，說(shuō)明圖解法的步驟和方法。（1）畫應(yīng)力圓。 取直角坐標(biāo)系。選定適當(dāng)?shù)谋壤撸业脚c截面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于，與截面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于。在確定點(diǎn)和點(diǎn)

10、時(shí)，應(yīng)根據(jù)、和的代數(shù)值在坐標(biāo)系中量取。連接點(diǎn)和點(diǎn)，交橫軸于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以或?yàn)榘霃?，即可作出該單元體的應(yīng)力圓，如圖17-7所示。 圖17-7 用圖解法求任意斜截面上的應(yīng)力（2）求截面上的應(yīng)力和。將半徑沿方位角的轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)2至處，所得點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)、即分別代表截面的切應(yīng)力與正應(yīng)力，茲證明如下。 設(shè)將用表示，則 同理可證在用應(yīng)力圓分析應(yīng)力時(shí)，應(yīng)注意：?jiǎn)卧w上兩個(gè)截面間的夾角若為，則在應(yīng)力圓上相應(yīng)兩點(diǎn)間的圓弧所對(duì)的圓心角為，而且兩者轉(zhuǎn)向相同。例17-1 已知應(yīng)力狀態(tài)如圖17-8所示，試用解析法和圖解法求截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力。圖17-8 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）應(yīng)力狀態(tài) （b）應(yīng)力圓解：解析法 由圖可

11、知，與截面的應(yīng)力分別為而截面的方位角則為將上述數(shù)據(jù)分別代入式、，于是 圖解法 首先，建立坐標(biāo)系，按選定的比例尺，由坐標(biāo) 與分別確定點(diǎn)和點(diǎn)，然后把點(diǎn)和點(diǎn)連接起來(lái)，與橫軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑，即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。為了確定斜截面上的應(yīng)力，將半徑沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至處，所得點(diǎn)即為截面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。按選定的比例尺，量得（壓應(yīng)力），由此得截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別為3.主應(yīng)力與主平面 任意一個(gè)二向應(yīng)力狀態(tài)單元體都可畫出其相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖17-9所示。因?yàn)閼?yīng)力圓的圓心在軸上，所以應(yīng)力圓與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)和，、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為應(yīng)力圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)的極值，而其縱坐標(biāo)皆為零，即在單元體內(nèi)與此兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面上正應(yīng)力為極值

12、，而切應(yīng)力為零。 因此與兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)平面為兩個(gè)主平面，其上的極值正應(yīng)力分別為兩個(gè)主應(yīng)力。其值為 圖17-9 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）應(yīng)力圓 （b）主單元體 （17-3）上式就是計(jì)算單元體主應(yīng)力的公式。求得與后，與已知的第三個(gè)主平面上的主應(yīng)力比較，就不難排列出單元體的三個(gè)主應(yīng)力的順序了。對(duì)于本例，已知的第三個(gè)主平面為與紙面平行的平面，其上主應(yīng)力，因此三個(gè)主應(yīng)力的排列順序依次為主平面的方位也可從應(yīng)力圓上確定。如前所述，應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著垂直于軸的平面，點(diǎn)對(duì)應(yīng)著主應(yīng)力所在的平面，而，為上述兩平面的法線間的夾角，即軸與間的夾角。由于在應(yīng)力圓上從點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)的轉(zhuǎn)角是順時(shí)針?lè)较?，按照?duì)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定，角應(yīng)為

13、負(fù)值。據(jù)此，由應(yīng)力圓可得 （17-4） 由于在應(yīng)力圓上、兩點(diǎn)的夾角為，因此這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主平面是互相垂直的?，F(xiàn)將本例的主單元體繪于圖17-9中。 必須指出，滿足式(17-4)的角度有兩個(gè)，即和，它表明兩個(gè)主應(yīng)力是互相垂直的。至于這兩個(gè)角度，哪一個(gè)與對(duì)應(yīng)，哪一個(gè)與對(duì)應(yīng)，利用應(yīng)力圓極易判斷。 4.極值切應(yīng)力及其所在截面 從應(yīng)力圓上，可直接得到最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力分別為 （17-5）其所在截面也相互垂直，并與主平面成。 例17-2 從構(gòu)件中取出一單元體，各截面的應(yīng)力如圖17-10所示，試用解析法和圖解法確定主應(yīng)力的大小和方位，并畫出主單元體。 解：解析法該單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)，已知一個(gè)主應(yīng)力為

14、零，另外兩個(gè)主應(yīng)力可由式求得圖17-10 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）主單元體 （b）應(yīng)力圓 因此三個(gè)主應(yīng)力為， ， 主平面的方位角可由式求得所以（逆時(shí)針）另一個(gè)主平面與之垂直，即 從原單元體軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，得所在主平面，再轉(zhuǎn)得所在主平面，得到圖所示的主單元體。 圖解法在坐標(biāo)系內(nèi)，按選定的比例尺，由坐標(biāo)與分別確定點(diǎn)和點(diǎn)，以為直徑畫圓即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。應(yīng)力圓與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，按選定的比例尺，量得，（壓應(yīng)力），所以， ， 從應(yīng)力圓中量得，由于自半徑至的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，因此，主?yīng)力的方位角為同樣的方法可得到主單元體。例17-3 試用圖解法分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)塑性材料和脆性材料的破壞現(xiàn)象。解：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，最大

15、切應(yīng)力發(fā)生在圓軸的外表層，且。在圓軸表面K點(diǎn)取一單元體，如圖17-11所示，其應(yīng)力狀態(tài)如圖17-11所示，各面上只有切應(yīng)力作用，稱 圖17-11 扭轉(zhuǎn)破壞分析為純剪切狀態(tài)。 （a）圓軸表面上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) （b）主單元體在坐標(biāo)系內(nèi)，按選定的 （c）應(yīng)力圓 （d）塑性材料扭轉(zhuǎn)破壞面比例尺，由坐標(biāo)與 （e）脆性材料扭轉(zhuǎn)破壞面分別確定點(diǎn)和點(diǎn)，以為直徑畫圓即得相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖17-11所示。由應(yīng)力圓可得，主平面的方位角，由軸到主平面外法線按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到主單元體如圖17-11所示。對(duì)于塑性材料（如低碳鋼）制成的圓軸，由于塑性材料的抗剪強(qiáng)度低于抗拉強(qiáng)度，扭轉(zhuǎn)時(shí)沿橫截面破壞，如圖17-11所示；對(duì)于脆

16、性材料（如鑄鐵）制成的圓軸，由于脆性材料的抗拉強(qiáng)度較低，扭轉(zhuǎn)時(shí)沿與軸線方向破壞，如圖17-11所示。§17.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介 廣義胡克定律 1.三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介三向應(yīng)力狀態(tài)的分析較為復(fù)雜，本節(jié)只研究三向應(yīng)力狀態(tài)下單元體內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。假設(shè)從受力構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)處取出一個(gè)主單元體，其上主應(yīng)力，如圖17-12所示。首先研究與主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力，如圖17-12所示，由于主應(yīng)力所在的兩平面上的力互相平衡，所以此斜截面上的應(yīng)力僅與和有關(guān)，因而平行于的各斜截面上的應(yīng)力簡(jiǎn)化成只受和作用的二向應(yīng)力狀態(tài)，其各斜截面上的應(yīng)力可由和所確定的應(yīng)力圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，如圖17-12所

17、示。同理，平行于的平面上的應(yīng)力，由和所確定的應(yīng)力圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。圖17-12 三向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）三向應(yīng)力狀態(tài) （b）與主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力（c）三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓平行于的平面上的應(yīng)力，由和所確定的應(yīng)力圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。對(duì)于與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的的任意斜截面上的應(yīng)力，在直角坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必定在三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)。因此，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)處的最大和最小正應(yīng)力為， （17-6）最大切應(yīng)力為 （17-7）位于與和均成的斜截面。 由上述分析可知，、均發(fā)生在與平行的截面內(nèi)。式（17-6）和（17-7）同樣適用于二向應(yīng)力狀態(tài)和單向應(yīng)力狀態(tài)。 2.廣義胡克定律

18、圖17-13是從受力物體中某點(diǎn)處取出的主單元體，設(shè)其上作用著已知的主應(yīng)力、。該單元體在受力后，在各個(gè)方向的長(zhǎng)度都要發(fā)生變化，沿三個(gè)主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變，并分別用、表示。假如材料是各向同性的，且在線彈性范圍內(nèi)工作，同時(shí)變形是微小的，那么，可以用疊加法求得。 圖17-13 三向應(yīng)力狀態(tài)之分解（a）三向應(yīng)力狀態(tài)下的主單元體 （b）作用下的單向應(yīng)力狀態(tài)（c）作用下的單向應(yīng)力狀態(tài) （d）作用下的單向應(yīng)力狀態(tài)在單獨(dú)作用下，單元體沿方向的線應(yīng)變?yōu)?。在與單獨(dú)作用下，它們分別使單元體在的方向產(chǎn)生收縮。對(duì)于各向同性材料，與在方向引起的線應(yīng)變分別為、。將它們疊加起來(lái)，即得三個(gè)主應(yīng)力共同作用下在方向的主應(yīng)變同

19、理可求得主應(yīng)變和?，F(xiàn)將結(jié)果匯集如下： （17-8） 上式表達(dá)了在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)變與主應(yīng)力的關(guān)系，稱為廣義胡克定律。式中主應(yīng)力為代數(shù)值，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。若求出的主應(yīng)變?yōu)檎祫t表示伸長(zhǎng)，反之則表示縮短。該式同樣也適用于二向應(yīng)力狀態(tài)和單向應(yīng)力狀態(tài)。在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力對(duì)與其垂直的線應(yīng)變沒(méi)有影響，所以當(dāng)單元體的各個(gè)面上除正應(yīng)力外還有切應(yīng)力時(shí)，沿、和方向的線應(yīng)變、和與、和的關(guān)系仍可由式（17-8）求得，此時(shí)只需將該式中的字符下標(biāo)1、2、3分別用、和代替即可。§17.4 強(qiáng)度理論概述1.強(qiáng)度理論的概念 前幾章中，軸向拉壓、圓軸扭轉(zhuǎn)、平面彎曲的強(qiáng)度條件，可用或形式表示，許用應(yīng)力或是通過(guò)

20、實(shí)驗(yàn)測(cè)出失效（斷裂或屈服）時(shí)的極限應(yīng)力，再除以安全因數(shù)后得出的，可見(jiàn)基本變形的強(qiáng)度條件是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。 但在工程實(shí)際中，構(gòu)件的受力情況是多種多樣的，危險(xiǎn)點(diǎn)通常處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。材料的失效與三個(gè)主應(yīng)力不同比例的組合有關(guān)，而由于受力情況的多樣性，三個(gè)主應(yīng)力不同比例的組合可能有無(wú)窮多組，從而需要進(jìn)行無(wú)數(shù)次的試驗(yàn)。因此，要想直接通過(guò)材料試驗(yàn)的方法來(lái)建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件是不現(xiàn)實(shí)的。于是人們不得不從考察材料的破壞原因著手，研究在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。在長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和大量的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)在常溫靜載下，材料的破壞主要有塑性屈服和脆性斷裂兩種形式。塑性屈服是指材料由于出現(xiàn)屈服現(xiàn)象或發(fā)生顯著塑性變形而

21、產(chǎn)生的破壞。例如低碳鋼試件拉伸屈服時(shí)在與軸線約成的方向出現(xiàn)滑移線，這與最大切應(yīng)力有關(guān)。脆性斷裂是指不出現(xiàn)顯著塑性變形的情況下突然斷裂的破壞。例如灰鑄鐵拉伸時(shí)沿拉應(yīng)力最大的橫截面斷裂，而無(wú)明顯的塑性變形。 上述情況表明，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，盡管主應(yīng)力的比值有無(wú)窮多種，但是材料的破壞卻是有規(guī)律的，即某種類型的破壞都是同一因素引起的。據(jù)此，人們把在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下觀察到的破壞現(xiàn)象同材料在單向應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，將材料在單向應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)的某一因素作為衡量材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到危險(xiǎn)狀態(tài)的準(zhǔn)則，先后提出了關(guān)于材料破壞原因的多種假說(shuō)，這些假說(shuō)就稱為強(qiáng)度理論。根據(jù)不同的強(qiáng)度理論可以建立相應(yīng)的強(qiáng)

22、度條件，從而為解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題提供了依據(jù)。 2.四種常用的強(qiáng)度理論 如上所述，材料的破壞主要有兩種形式，因此相應(yīng)地存在兩類強(qiáng)度理論。一類是脆性斷裂的強(qiáng)度理論，其中有最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論；另一類是塑性屈服的強(qiáng)度理論，主要是最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。（1）最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論) 。這一理論認(rèn)為，最大拉應(yīng)力是引起材料脆性斷裂的主要原因。也就是說(shuō)，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力達(dá)到材料在單向拉伸斷裂時(shí)的強(qiáng)度極限時(shí)，材料就發(fā)生脆性斷裂破壞。因此材料發(fā)生脆性斷裂破壞的條件為相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 （17-9）式中表示第一強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向

23、拉伸斷裂時(shí)材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。試驗(yàn)證明，這一理論對(duì)解釋材料的斷裂破壞比較滿意。例如脆性材料在單向、二向和三向拉伸時(shí)所發(fā)生的斷裂，塑性材料在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下所發(fā)生的脆性斷裂。但這個(gè)理論沒(méi)有考慮到其他兩個(gè)主應(yīng)力對(duì)斷裂破壞的影響；同時(shí)，對(duì)于壓縮應(yīng)力狀態(tài)，由于根本不存在拉應(yīng)力，這個(gè)理論就無(wú)法應(yīng)用。 （2）最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）。這個(gè)理論認(rèn)為，最大拉應(yīng)變是引起材料脆性斷裂的主要原因。也就是說(shuō)不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到材料單向拉伸斷裂時(shí)線應(yīng)變的極限值，材料即發(fā)生脆性斷裂破壞。因此材料發(fā)生脆性斷裂破壞的條件為 （1）對(duì)于鑄鐵等脆性材料，如果我們近似地認(rèn)為，從

24、加載直至破壞，材料服從胡克定律，則有 由廣義胡克定律可知 于是式可寫成 相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 (17-10)式中表示第二強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向拉伸斷裂時(shí)材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。 試驗(yàn)表明，第二強(qiáng)度理論對(duì)于塑性材料并不適合；對(duì)于脆性材料，只有在二向拉伸（壓縮）應(yīng)力狀態(tài)，且壓應(yīng)力的絕對(duì)值較大時(shí)，試驗(yàn)與理論結(jié)果才比較接近，但也并不完全符合。所以在目前的強(qiáng)度計(jì)算中很少應(yīng)用第二強(qiáng)度理論。 （3）最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)。這一理論認(rèn)為，最大切應(yīng)力是引起材料塑性屈服破壞的主要原因。也就是說(shuō)，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大切應(yīng)力達(dá)到單向拉伸屈服時(shí)的切應(yīng)力值，材料即發(fā)生塑性屈服破壞。因此

25、材料塑性屈服破壞的條件為 在單向拉伸的情況下，當(dāng)橫截面上的拉應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，在與軸線成的斜截面上有；在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力為，于是破壞條件可改寫為相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 （17-11）式中表示第三強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向拉伸屈服時(shí)材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。 試驗(yàn)證明，第三強(qiáng)度理論不僅能說(shuō)明塑性材料的屈服破壞，而且還能說(shuō)明脆性材料在單向受壓時(shí)的剪切破壞，并能解釋在三向等值壓應(yīng)力狀態(tài)下，無(wú)論應(yīng)力增大到何種程度，材料都不會(huì)破壞，這是因?yàn)樗南喈?dāng)應(yīng)力總等于零。但是這個(gè)理論沒(méi)有考慮主應(yīng)力對(duì)材料破壞的影響。對(duì)于三向等值拉伸應(yīng)力狀態(tài)，按照這個(gè)理論材料就不會(huì)發(fā)生破壞，這與事實(shí)不符合。所以第三強(qiáng)度理論仍

26、然是有缺陷的。（4）形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論) 物體受力發(fā)生彈性變形后，其各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置及質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力也都要發(fā)生改變，因而在其內(nèi)部將貯存能量，這種能量稱為彈性變形能。變形能包括體積改變能與形狀改變能，單位體積內(nèi)的形狀改變能稱為形狀改變比能。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，形狀改變比能的表達(dá)式為（推導(dǎo)從略）第四強(qiáng)度理論認(rèn)為，形狀改變比能是引起材料塑性屈服破壞的主要原因。也就是說(shuō)，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處內(nèi)部積蓄的形狀改變比能達(dá)到材料在單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變比能值，材料即發(fā)生塑性屈服破壞。因此材料塑性屈服破壞的條件為材料在單向拉伸屈服時(shí)，因此形狀改變比能為于是破壞條件改寫為相應(yīng)的強(qiáng)

27、度條件為 （17-12）式中表示第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向拉伸屈服時(shí)材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。 試驗(yàn)表明，塑性材料在二向應(yīng)力狀態(tài)下，第四強(qiáng)度理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用，例如對(duì)螺栓或絲杠的強(qiáng)度計(jì)算。3.強(qiáng)度理論的適用范圍 材料的失效是一個(gè)極其復(fù)雜的問(wèn)題，四種常用的強(qiáng)度理論都是在一定的歷史條件下產(chǎn)生的，受到經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的制約，都有一定的局限性。大量的工程實(shí)踐和試驗(yàn)結(jié)果表明，上述四種強(qiáng)度理論的適用范圍與材料的類別和應(yīng)力狀態(tài)等有關(guān)。一般原則如下：（1）脆性材料通常發(fā)生脆性斷裂破壞，宜采用第一或第二強(qiáng)度理論。（2）塑性材料通常發(fā)生塑性屈服破壞，宜采用第三或

28、第四強(qiáng)度理論。（3）在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，如果三個(gè)拉應(yīng)力相近，無(wú)論是塑性材料還是脆性材料都將發(fā)生脆性斷裂破壞，宜采用第一強(qiáng)度理論。（4）在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，如果三個(gè)壓應(yīng)力相近，無(wú)論是塑性材料還是脆性材料都將發(fā)生塑性屈服破壞，宜采用第三或第四強(qiáng)度理論。 應(yīng)用強(qiáng)度理論解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是：（1）分析計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力； （2）確定主應(yīng)力、； （3）根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)和構(gòu)件材料的性質(zhì)，選用適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，應(yīng)用相應(yīng)的強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。例17-4 轉(zhuǎn)軸邊緣上某點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖17-14所示，試用第三和第四強(qiáng)度理論建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件。解：（1）確定該點(diǎn)的主應(yīng)力由單元體所示的已知應(yīng)力，利用式可得 圖17-14 轉(zhuǎn)軸上某點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力分別為，（2）第三和第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件由式（17-11）和（17-12）可得所以強(qiáng)度條件分別為例17-5 按強(qiáng)度理論建立塑性材料許用切應(yīng)力和許用拉應(yīng)力之間的關(guān)系。解：（1）確定主應(yīng)力在例17-3中指出，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，圓軸表面上任一點(diǎn)均處于純剪切狀態(tài)，它的三個(gè)主應(yīng)力分別為，（2）第三和第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件若用第三強(qiáng)度理論，則強(qiáng)度條件為即 再與純剪切狀態(tài)下的強(qiáng)度條件比較，可知若用第