用余弦定理證明范文

1、用余弦定理證明范文由正弦定理得cSinB=bSinC帶入給定的式子得SinC=SinB(1+2CosA)C+A+B二n 將帶入得Sin( n -A-B)=SinB+2SinBcosASinAcosB+SinBcosA=SinB+2SinBcosASinAcosB=SinB+SinBcosASin(A-B)=SinB所以A-B=B或n -(A-B)=B(舍)所以A=2B在ABC中,AB=c BC=a CA=b則c八2=aA2+b八2-2ab*cosCa八2=bA2+c八2-2bc*cosAb2=a2+c2-2ac*cosBF面在銳角中證明第一個等式，在鈍角中證明以此類推。過A作ADIBC于D,貝

2、J BD+CD二a由勾股定理得：c2=(AD)2+(BD)2,(AD)2=b2-(CD)2所以cA2=(ADF2-(CDF2+b八2=(a-CDF2-(CDF2+b八2=aA2-2a*CD+(CDF2-(CDF2+b八2=a2+b2-2a*CD因為cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c八2=aA2+b八2-2ab*cosC題目中八2表示平方。談正、余弦定理的多種證法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材數(shù)學（必修5）是用向量的數(shù)量 積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量 的等式作同一向量的數(shù)量積， 這種

3、構(gòu)思方法過于獨特， 不易被初學者 接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解 正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形” 的完美結(jié)合.定理：在ABC中，AB=c,AC=b,BC=a則（1）（正弦定理）=;（2）（余弦定理）c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2aosB,法一：在ABC中,已知,求c。a2=b2+c2-2bosA.一、正弦定理的證明如圖1,設AD BE CF分別是ABO的三條高。則有AD=b?sinBE=c?sinCF=a?sin所以SAABC二a?b?csin/ BCA=b?c?sin則/DAC=90,/ABC=/ADC。因為

4、AB=AC+C,B所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因為j?AC=0,證法一：=c?a?sin/ABC.證法二： 如圖1,設AD BE CF分別是ABC的3條高。則有AD=b?sin/BCA=c?sin/ABCBE=a?sin/BCA=c?sin/CAB。證法三： 如圖2,設CD=2r是ABC的外接圓證法四： 如圖3,設單位向量j與向量AC垂直。法一：在ABC中,已知,求c。二 余弦定理的證明j?CB=|j|CB|cos(90-/C)=a?sinC,j?AB=|j|AB|cos(90-/A)=c?sinA.過A作，在Rt中，法二：，即：法三：先證明如下等式：證明：故式成立，

5、再由正弦定理變形，得結(jié)合、有即.同理可證三、正余弦定理的統(tǒng)一證明法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系， 則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB BC為鄰邊作平行四邊形ABCC，貝y/ BAC =n -/B,二C(acos( n -B),asin( n -B)=C(-acosB,asinB).根據(jù)向量的運算：=(-acosB,asinB)=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即同理可得：(2)由=(b-cosA-c)2+(bsi nA)2=b2+c2-2bosA,又ll=a.二a2=b2+c2-2bosA.同理：c2=a2+b2-2abcosC;b2=a2+c2-2aosB.法二：如圖5，,設軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作將(1)式改寫為化簡得b2-a2-c2=-2aosB.即b2=a2+c2-2aosB.(4)這里(1)為射影定理，