陜西六年中考數(shù)學(xué)第25題解析

1、25題解析一、例題賞析（2013）25.（本題滿(mǎn)分12分）問(wèn)題探究（1） 請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；（2） 如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由.問(wèn)題解決（3）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn).如果AB=，CD=，且，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.25（2012陜西省12分）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為（1）如圖，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，

2、頂點(diǎn)N在邊AC上在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫(xiě)作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長(zhǎng)；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說(shuō)明理由【答案】解：（1）如圖，正方形即為所求。 （2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x ABC為正三角形，。 。，即。 （3）如圖，連接NE，EP，PN，則。 設(shè)正方形DEMN和正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n（mn）， 它們的面積和為S，則，。 . 。 延長(zhǎng)PH交ND于點(diǎn)G，則PGND。

3、 在中，。 ，即. 。 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，S最小。 。 當(dāng)最大時(shí)，S最大，即當(dāng)m最大且n最小時(shí)，S最大。 ，由（2）知，。 。 ?！究键c(diǎn)】位似變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)。【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答圖所示。（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的邊長(zhǎng) （3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n（mn），求得面積和的表達(dá)式為：，可見(jiàn)S的大小只與m、n的差有關(guān)：當(dāng)m=n時(shí)，S取得最小值；當(dāng)m最大而n最小時(shí)，S取得最大值m最大n最小的情形見(jiàn)第

4、（1）（2）問(wèn)。25、（2011陜西）如圖，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于F，然后展開(kāi)鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形BEF稱(chēng)為矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕BEF”是一個(gè)等腰三角形（2）如圖、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出這個(gè)“折痕BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕BEF”？若存在，說(shuō)明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在

5、，為什么？考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合；分類(lèi)討論。分析：（1）由圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；（2）由折疊性質(zhì)可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的長(zhǎng)，判斷出四邊形ABFE為正方形，求得F點(diǎn)坐標(biāo)；（3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，當(dāng)F在邊CD上時(shí)，SBEFS矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4；當(dāng)F在邊CD上時(shí)，過(guò)F作FHBC交AB于點(diǎn)H，交BE于K，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；再根據(jù)此兩種情況利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：（1）等腰（2）如圖，連接BE，畫(huà)BE的中垂線

6、交BC與點(diǎn)F，連接EF，BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形折痕垂直平分BE，AB=AE=2，點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A四邊形ABFE為正方形BF=AB=2，F(xiàn)（2，0）（3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，理由如下：當(dāng)F在邊BC上時(shí)，如圖所示SBEFS矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4當(dāng)F在邊CD上時(shí)，如圖所示，過(guò)F作FHBC交AB于點(diǎn)H，交BE于KSEKF=KFAHHFAH=S矩形AHFD，SBKF=KFBHHFBH=S矩形BCFH，SBEFS矩形ABCD=4即當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，BEF面積最大為4下面求面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖

7、所示由折疊可知CE=CB=4，在RtCDE中，ED=2AE=42 E（42，2）當(dāng)F在邊DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖所示此時(shí)E（0，2）綜上所述，折痕BEF的最大面積為4時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，2）或E（42，2）點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到矩形及正方形的性質(zhì)，難度較大，在解答此題時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類(lèi)討論25（12分）（2010陜西）問(wèn)題探究：（1）請(qǐng)你在圖中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；（2）如圖點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中過(guò)點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分問(wèn)題解決：（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBC

8、D是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DCOB，OB=6，CD=BC=4開(kāi)發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（4，2）處為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認(rèn)為直線l是否存在？若存在，求出直線l的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：直角梯形；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；矩形的性質(zhì)2867872專(zhuān)題：綜合題；壓軸題分析：（1）矩形的對(duì)角線把矩形分成面積相等的兩部分（2）連接AC，BD中心點(diǎn)位P，過(guò)P點(diǎn)的直線分矩形為相等的兩部分（3）假如存在，過(guò)點(diǎn)D的直線只要作DAOB與點(diǎn)A，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)

9、，設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b，解出點(diǎn)H的坐標(biāo)，求出斜率k和b若k和b存在，直線就存在解答：解：（1）如圖（2）如圖連接AC、BD交于P則P為矩形對(duì)稱(chēng)中心作直線MP，直線MP即為所求（3）如圖存在直線l，過(guò)點(diǎn)D的直線作DAOB于點(diǎn)A，則點(diǎn)P（4，2）為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)點(diǎn)P的直線只要平分DOA的面積即可，易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將DOA面積平分從而，直線PH平分梯形OBCD的面積，即直線PH為所求直線l設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b且點(diǎn)P（4，2），2=4k+b即b=24k，y=kx+24k，直線OD的表達(dá)式為y=2x，解之點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x=，y=）把x=2代入直線PH

10、的解析式y(tǒng)=kx+24k，得y=22k，PH與線段AD的交點(diǎn)F（2，22k），022k4，1k1SDHF=（42+2k）（2）=24，解之，得k=（k=舍去）b=82，直線l的表達(dá)式為y=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)，前兩問(wèn)還是比較容易，但是最后一問(wèn)比較麻煩，容易出錯(cuò)，做的時(shí)候要認(rèn)真25、（2009陜西）問(wèn)題探究（1）在圖的半徑為R的半圓O內(nèi)（含弧），畫(huà)出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個(gè)正三角形的面積？（2）在圖的半徑為R的半圓O內(nèi)（含?。?huà)出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個(gè)正方形的面積？問(wèn)題解決（3）如圖，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落

11、在MN上的面積最大的矩形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出這個(gè)矩形的面積；若不存在，說(shuō)明理由？分析：（1）如圖，ACB為滿(mǎn)足條件的面積最大的正三角形連接OC，則OCAB，根據(jù)垂徑定理得到AB=2OB，然后利用含30的直角三角形三邊的關(guān)系求出OB，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）如圖，正方形ABCD為滿(mǎn)足條件的面積最大的正方形連接OA令OB=a，則AB=2a，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，再利用正方形的面積公式計(jì)算即可；（3）如圖，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點(diǎn)A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對(duì)稱(chēng)圖形，A、D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是A、D連接AD、OD，則AD為O的直徑

12、在RtAAD中，當(dāng)OAAD時(shí)，SAAD的面積最大解答：解：（1）如圖，ACB為滿(mǎn)足條件的面積最大的正三角形連接OC，則OCABAB=2OBtan30=R，SACB=（2）如圖，正方形ABCD為滿(mǎn)足條件的面積最大的正方形連接OA令OB=a，則AB=2a在RtABO中，a2+（2a）2=R2即S正方形ABCD=（2a）2=（3）存在如圖，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點(diǎn)A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對(duì)稱(chēng)圖形，A、D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是A、D連接AD、OD，則AD為O的直徑S正方形ABCD=ABAD=SAAD在RtAAD中，當(dāng)OAAD時(shí)，SAAD的面積最大S矩形

13、ABCD最大=點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧也考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)以及勾股定理25、（2008本題滿(mǎn)分12分）某縣社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長(zhǎng)期存在的飲水困難問(wèn)題，想在這三個(gè)地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計(jì)），點(diǎn)M表示這所中學(xué)。點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30的3km處，點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60的km處。為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長(zhǎng)度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點(diǎn)M處，請(qǐng)你求出鋪設(shè)

14、到甲村某處和乙村某處的管道長(zhǎng)度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請(qǐng)你在圖中，畫(huà)出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請(qǐng)你在圖中，畫(huà)出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線路圖，并求其最小值。綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？北東D30ABCMOEF圖乙村D30ABCMOEF圖乙村解：方案一：由題意可得：MBOB， 點(diǎn)M到甲村的最短距離為MB。（1分）點(diǎn)M到乙村的最短距離為MD，將供水站建在點(diǎn)M處時(shí)，管道沿MD、MB線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小，即最小值為MB+MD=3+ （km）（3分） 方案二：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則MM2ME，連接AM交OE于點(diǎn)P，PEAM，PE。AM2BM6，PE3 （4分）在RtDME中，DEDMsin603，ME，PEDE， P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，即AM過(guò)D點(diǎn)。（6分）在線段CD上任取一點(diǎn)P，連接PA，PM，PM，則PMPM。A PPMAM，把供水站建在乙村的D點(diǎn)處，管道沿DA、DM線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小，ND30ABCMOEF圖乙村MNHGG北東D30ABCMOEF圖PMP即最小值為ADDMAM（7分）方案三：作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作MNOE于N