高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測(cè)——專題八 直線與二次曲線 專題復(fù)習(xí)講練 2 軌跡

1、§2軌跡一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)在第一輪的復(fù)習(xí)中，同學(xué)們已經(jīng)初步掌握了求軌跡的一些基本方法，但比較零散本節(jié)我們將系統(tǒng)地研究求軌跡的基本方法，使同學(xué)們能根據(jù)曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鲕壽E方程1本節(jié)的主要內(nèi)容是求軌跡方程的幾種基本方法直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法其重點(diǎn)是直譯法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法和參數(shù)法；難點(diǎn)是坐標(biāo)系的選擇、參數(shù)法中參數(shù)的選擇及軌跡方程所表示曲線的“完備性”和“純粹性”2軌跡問題是解析幾何研究的主要內(nèi)容之一，因而也成為高考命題的熱點(diǎn)1999年以此作為壓軸題3在本節(jié)復(fù)習(xí)中，應(yīng)理解和掌握如下求軌跡方程的五種基本方法：（1）直譯法若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量

2、關(guān)系，則只需直接把這種關(guān)系“翻譯”成動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、（或、）的方程，經(jīng)化簡(jiǎn)所得同解的最簡(jiǎn)方程，即為所求軌跡的方程其一般步驟為：建系設(shè)點(diǎn)列式代換、化簡(jiǎn)檢驗(yàn)（2）定義法當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時(shí)，則可根據(jù)這種曲線的定義建立方程（3）待定系數(shù)法當(dāng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是某種圓錐曲線，則可先設(shè)出含有待定系數(shù)的方程，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，確定待定系數(shù)，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（4）動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法即就是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）或P（，）隨著另一動(dòng)點(diǎn)Q（，）或（，）的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)點(diǎn)Q在某已知曲線上，若Q點(diǎn)的坐標(biāo)可用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，則可代入動(dòng)點(diǎn)Q所在已知曲線的方程中，求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程求對(duì)稱曲線方程也常用此法（5

3、）參數(shù)法當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量，并用t表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、，從而得動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 （），（），消去參數(shù)，便可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的普通方程應(yīng)注意方程的等價(jià)性，即由t的范圍確定出x、y的范圍二、例題講解例1橢圓的方程為（）（）1，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，引，.設(shè)與相交于點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程講解：因Q點(diǎn)隨P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而P點(diǎn)在已知橢圓上，故可用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求解思路1設(shè)（，）、（，），如圖8-4，A的坐標(biāo)為（，0），的坐標(biāo)為（，0）圖8-4點(diǎn)P（，）在橢圓（）（）1上，（）（）1欲求Q點(diǎn)的軌跡方程，只須將點(diǎn)P的坐標(biāo)用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示為此，須

4、尋求、與、之間的關(guān)系的方程為（）（），的方程為（）（），即，聯(lián)立，解得由得（1（）將代入的方程，得（）（）（）.（）將代入，并整理，得（）（）1這就是Q點(diǎn)的軌跡方程以上是將兩個(gè)參數(shù)、逐一消去，實(shí)際上還可整體消參.×，得（）（）把（）（）代入便可將參數(shù)一次消去思路2因動(dòng)點(diǎn)Q的位置由動(dòng)點(diǎn)P的位置確定，而動(dòng)點(diǎn)P的位置與其對(duì)應(yīng)的離心角有關(guān)，故可選點(diǎn)P的離心角為參數(shù)，建立點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則直線的方程為（1）（），直線的方程為（1）（）.×，消去，得（1）（）（）（）（），即（）（）1這就是所求Q點(diǎn)的軌跡方程思路2用參數(shù)法求Q點(diǎn)的軌跡方程，在消

5、參數(shù)時(shí)，整體處理，化繁為簡(jiǎn)，請(qǐng)同學(xué)們注意這種整體消參的思想例2如圖8-5，給出定點(diǎn)A（a,0）（a0）和直線l:x=-1,B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示曲線類型與a值的關(guān)系圖8-5講解：思路1動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)受兩個(gè)條件的限制：一是隨點(diǎn)B在l上的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，二是要滿足AOC=COB.條件較多，坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接建立，故可考慮選取中間變量即參數(shù)，將符合每一條件的方程列出，再聯(lián)立各方程，消去參數(shù)得點(diǎn)C軌跡的普通方程設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，t）（tR），則直線OA、OB的方程分別為y=0和y=-tx.設(shè)點(diǎn)C（x,y）,則有0xa,由OC平分AOB，得y

6、=（y+tx）.又點(diǎn)C在直線AB上，y=-（t1+a）（x-a）.x-a0，t=-（1+a）x-a）y.將代入，得y1+（1+a）y（x-a）=y-（1+a）xyx-a）.整理，得y（1-a）x-2ax+（1+a）y=0.若y0,則（1-a）x-2ax+（1+a）y=0（0xa）;若y=0,則b=0,AOB=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足上式綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1-a）x-2ax+（1+a）y=0（0xa）.（i）當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程為y=x（0x1）,此時(shí)方程表示拋物線弧段;（ii）當(dāng)a1時(shí)，軌跡方程化為（x-（a1-a）（a1-a）+（y（a1-a）=1（0xa）,當(dāng)0a1時(shí)，方程表

7、示橢圓弧段；當(dāng)a1時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧段思路2若設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)C作CEx軸，垂足為E，則可由AOC與BOD的關(guān)系2AOC=-BOD，用直接法即求得動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程請(qǐng)同學(xué)們自己試做本例思路1中所得方程、即為點(diǎn)C軌跡的參數(shù)方程，這種參數(shù)方程稱為“隱參數(shù)方程”，聯(lián)立消參便可得普通方程對(duì)方程表示的曲線應(yīng)注意分類討論例3已知兩定點(diǎn)、，且2（）（1）若動(dòng)點(diǎn)與A、構(gòu)成直角三角形，求直角頂點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)M滿足條件2，求點(diǎn)M的軌跡方程講解：題設(shè)條件中沒有給出坐標(biāo)系，故應(yīng)先考慮選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件用直譯法求解因、為兩個(gè)定點(diǎn)，故取所在的直線為軸，注意到對(duì)稱性，取AB

8、的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖8-6所示于是、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0）圖8-6（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則動(dòng)點(diǎn)M屬于集合，且M不在直線上由，得，即（2），且0化簡(jiǎn)，得（0）或者由·1，得（）·（）1，化簡(jiǎn)，得（±）（2）設(shè)，則點(diǎn)M屬于集合2考慮到的存在性，以下需分、兩種情況討論當(dāng)（2）時(shí)，有2而0，2，0（3）又由知根據(jù)點(diǎn)M與軸的相對(duì)位置，以下又可分為（）、（）兩種情形：（）當(dāng)0時(shí)，（）（），（）（）（）由2，得（）（2·（）1（），整理得（32）0（）當(dāng)0時(shí)，同理可得上式又時(shí)，不存在，但（2），依題意只要（4），仍為所求軌跡上的點(diǎn)1

9、（4）±（）±（2），±2，點(diǎn)（，±2）在所求的軌跡上容易驗(yàn)證點(diǎn)（，2）與（，2）的坐標(biāo)都滿足方程，故所求點(diǎn)M的軌跡方程為0（）或320（）從本題的解答過程可以看到，用直譯法求曲線（軌跡）方程時(shí)，其步驟中的第（5）步可以省略不寫，但要下結(jié)論“最簡(jiǎn)方程就是所求曲線（軌跡）方程”，仍需驗(yàn)證曲線的方程定義中的兩條，以保證軌跡的純粹性與完備性如在本題的解答過程中的和是同解變形，所得到的最簡(jiǎn)方程就是所求軌跡的方程而從到中，若約去，則將會(huì)丟掉線段AB（不含端點(diǎn)），則軌跡就不完備又如從方程到不是同解變形，這時(shí)需對(duì)的范圍加以限制，即±，去掉增解，以保證軌跡的純

10、粹性又如從到，當(dāng)（2）時(shí)，不能得到，故應(yīng)對(duì)（2）加以驗(yàn)證，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)（2）時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A（，±2）在所求的軌跡上已包含在方程中解題中不可忽視題目隱含的條件，如本例（1）中的M與A、構(gòu)成三角形，M不在AB上，須加限制條件0，又如（2）中的限制條件否則將會(huì)破壞軌跡的純粹性與完備性三、專題訓(xùn)練1一動(dòng)圓與兩圓1，8120都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是（）拋物線B雙曲線C雙曲線的一支D橢圓2若-x-y+3=0，則點(diǎn)M的軌跡是（）圓橢圓拋物線雙曲線3設(shè)、是橢圓（9）（4）1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，、是垂直于的弦的端點(diǎn)，則直線與交點(diǎn)的軌跡方程為（）（9）（4）1（9）（4）1（9）（4）1（9）（4）14過（1，2）任作一直線交軸于，過（2，3）作的垂線交軸于B，點(diǎn)C分線段AB為定比2，則點(diǎn)C的軌跡為（）圖8-763406340634063405傾斜角為（4）的直線交橢圓（4）1于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是_6設(shè)P是以、為焦點(diǎn)的雙曲線（16）（9）1上的動(dòng)點(diǎn)，則的重心的軌跡方程是_7中，若（2），0），（2），0），且（12），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是_8求經(jīng)過定點(diǎn)A（1，2），以軸為準(zhǔn)線，離心率為（12）的橢圓左頂點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線9過點(diǎn)A（0，a）的動(dòng)直線和圓（2）1相交于（，）和C（，）兩點(diǎn)，且，點(diǎn)