高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明3反證法教材基礎(chǔ)北師大版選修2-2資

1、§3 反證法反證法是一種間接證明的方法 , 它是通過(guò)證明原命題的否定的真實(shí)性來(lái)確立原論題的真 實(shí)性的證明方法 , 在應(yīng)用反證法證明問(wèn)題的過(guò)程中以找它的逆否命題然后推出矛盾為根本 . 本節(jié)內(nèi)容就開(kāi)始學(xué)習(xí)反證法 .高手支招 1細(xì)品教材1. 間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法 , 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立 的方法 .反證法就是一種常用的間接證明方法 .2. 反證法(1概念 :假定命題結(jié)論的反面成立 . 在這個(gè)前提下 , 若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾 , 或與命題中的已知條件相矛盾 , 或與假定相矛盾 , 從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立 , 由此 斷定命題

2、的結(jié)論成立 . 這樣的證明方法叫做反證法 (有時(shí)也叫歸謬法 .(2形式 :由證明 p q 轉(zhuǎn)向證明 :q r t,t 與假設(shè)或與某個(gè)真命題矛盾 , q 為假 , 推出 q 為真 .狀元筆記反證法的證明過(guò)程可以概括為“否定推理否定”,即從否定結(jié)論開(kāi)始 , 經(jīng)過(guò)正 確的推理 , 導(dǎo)致邏輯矛盾 , 從而達(dá)到新的否定 (即肯定原命題 的過(guò)程 . 用反證法證明命題“若 p 則 q”的過(guò)程可以用框圖表示為: 3. 反證法的證題步驟包括以下三個(gè)步驟 :(1作出否定結(jié)論的假設(shè) (反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 , 即假定原命題的反面為真 ;(2逐步推理 , 導(dǎo)出矛盾 (歸謬 從假設(shè)和已知條件出發(fā) , 經(jīng)過(guò)一系列正

3、確的邏輯推理 , 得 出矛盾結(jié)果 ;(3否定假設(shè) , 肯定結(jié)論 (存真 由矛盾結(jié)果 , 斷定假設(shè)不真 , 從而肯定原結(jié)論成立 .【示例】 p >0,q >0,p 3+q 3=2. 試用反證法證明 :p+q2.思路分析:此題直接由條件推證 p +q2是較困難的 , 由此用反證法證之 .證明:假設(shè) p +q >2,p>0,q >0,(p+q 3=p 3+3p 2q +3pq 2+q 3>8.又p 3+q 3=2, 代入上式得 :3pq(p+q >6, 即 pq(p+q >2.又由 p 3+q 3=2, 得 (p+q(p2-pq +q 2 =2.由得p

4、q(p+q >(p+q(p2-pq +q 2,p+q >0.pq>p 2-pq +q 2p 2-2pq +q 2<0(p-q2<0.但這與 (p-q20相矛盾.假設(shè) p +q >2不成立 . 故 p +q2.狀元筆記歸謬矛盾的幾種情況 :(1與已知條件矛盾 ;(2與已有公理、 定理、 定義矛盾 ;(3自相矛 盾 ;(4與客觀事實(shí)矛盾 .4. 反證法的適用情況(1結(jié)論以否定形式出現(xiàn) ;(2結(jié)論以“至多”“至少”形式出現(xiàn) ;(3唯一性、存在性問(wèn)題 ;(4結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體,更容易研究的命題 .高手支招 2基礎(chǔ)整理本節(jié)的內(nèi)容主要講述了反證法的概念、形式及其證明