直線參數(shù)方程t的幾何意義

1、利用直線參數(shù)方程t的幾何意義1、直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式(1)過(guò)點(diǎn)Po(Xo,yo)，傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程是r X_X +tcos_ o o(t為參數(shù))t t 的幾何意義：t t 表示有向線段POP的數(shù)量，P P ( (x,y) )ly = yo+tsi nPoP=tI PoP I =t為直線上任意一點(diǎn). .(2)若P1、P2是直線上兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則P1P2=t2 t1I P1P2I = I t2 t1I(3)若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t1+t22x-xo+at(t為參數(shù))y =yo中bt點(diǎn)擊直線參數(shù)方程：一、直線的參數(shù)方程問(wèn)題1:

2、(直線由點(diǎn)和方向確定)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)Po(Xo, yo)，傾斜角為a的直線I的參數(shù)方程.設(shè)點(diǎn)P(x , y)是直線l上任意一點(diǎn)，(規(guī)定向上的 方向?yàn)橹本€L的正方向)過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，過(guò)Po作x軸的平行線，兩條直線相交于Q點(diǎn).一1)當(dāng)PP與直線l同方向或Po和P重合時(shí)，PoP=| PoP|貝U PoQ=PoPco護(hù)Q P=PoPSin。2)當(dāng)PP與直線l反方向時(shí)，PoP、PoQ、Q P同時(shí)改變符號(hào)PoP=-|PoP| PoQ=PoPcos Q P=PoPsiz仍成立 設(shè)PoP=t，t為參數(shù)，又PoQ =X-x0，Q P=y - yo即X = x。t coset是所求的直線l的參數(shù)方程ly = yo

3、+tsi na PoP=t,t為參數(shù)，t的幾何意義是：有向直線I上從已知點(diǎn)Po(xo,yo)到點(diǎn)t3tl+t2則PlP2中點(diǎn)P3的參數(shù)為t3= ,1 PoP3I =2(4)若Po為PlP2的中點(diǎn)，貝Uti+t2=o,tit2o時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Po的上方；2當(dāng)t=o時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Po重合；當(dāng)to時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Po的右側(cè);5當(dāng)t=o時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Po重合；6當(dāng)t xt2,問(wèn)題4:=I上2 tiI:若Po為直線I上兩點(diǎn)Pi、P2的中點(diǎn)，Pi、P2所對(duì)應(yīng)的 參數(shù)分別為ti、t2， 則ti、t2之間有何關(guān)系？ 根據(jù)直線I參數(shù)方程t的幾何意義，PlP=ti，P2P=t2，V Po為直線I上兩點(diǎn)Pi、P2的中點(diǎn)，|P

4、lP|=IP2P|PlP= P2P，即ti= t2,址20一般地，若Pi、P2、P3是直線I上的點(diǎn)， 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti、t2、t3，P3為Pi、P2的中點(diǎn)則t3=yk( PiP3=P2P3,根據(jù)直線I參數(shù)方程t的幾何意義,2tl+t2x-PiP3= tati,卩2卩3=tat2,- - tati=(ts12,)性質(zhì)一：A A、B B 兩點(diǎn)之間的距離為|ABHti-t2|，特別地，A A、B B 兩點(diǎn)到Mo的距離分別為|tl|,|t2|.性質(zhì)二：A A、B B 兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，若Mo是線段 ABAB 的中點(diǎn)，則2ti+t2 =0，反之亦然。在解題時(shí)若能運(yùn)用參數(shù) t t 的上述性質(zhì)

5、， 則可起到事半功倍的效果。應(yīng)用一：求距離兀22例 1 1、直線I過(guò)點(diǎn)Po(-4,o)，傾斜角為一，且與圓X2+y=7相交于 A A、B B 兩點(diǎn)。6（1 1）求弦長(zhǎng) AB.AB.（2）求P0A和P0B的長(zhǎng)。解：因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P0（,0），傾斜角為一，所以直線I的參數(shù)方程為6兀X = -4 +tcos6JIX = -A +t，即2, (t t 為參數(shù))，代入圓方程，得1y =0 +tsi nly = -t6 r 2t)(1t)7，整理得t2-473t + 9=02 2（1 1 ）設(shè) A A、B B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2，所以ti+t2=4j3,tit2=9,所以| AB冃t,-t2|

6、= J魚(yú)+t2)2-4址2= 2J3.(2)解方程t24尿 +9=0得，t,=3j3,t2= J3,所以P0A =| t1|=3j3,P0B =| t2|= J3.應(yīng)用二：求點(diǎn)的坐標(biāo)兀例 2 2、直線I過(guò)點(diǎn)P0（2,4），傾斜角為一，求出直線l上與點(diǎn)P0（2,4）相距為 4 4 的點(diǎn)的坐6標(biāo)。解:兀因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P0（2,4），傾斜角為一，所以直線l的參數(shù)方程為6兀=2 +t cos 6，即兀=4 + tsin 673x=2 + 2, (t t 為參數(shù))，(1 1)y = 4 + lt2設(shè)直線I上與已知點(diǎn)P0（2,4）相距為 4 4 的點(diǎn)為 M M 點(diǎn)，且 M M 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t t，則I

7、 PoM I =|t 1= 4，所以t=4 4，將 t t 的值代入（1 1）式,當(dāng) t t = 4 4 時(shí)，M M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 + 23,6）;當(dāng) t t =- 4 4 時(shí)，M M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-2%/3,2）,綜上，所求 M M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2+2J3,6）或（2-2丿3,2）. .點(diǎn)評(píng)：若使用直線的普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求M M 點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù) t t 的幾何意義求 M M 點(diǎn)的坐標(biāo)較容易。62應(yīng)用三：解決有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題兀2例 3 3、過(guò)點(diǎn)Po（1,O），傾斜角為一的直線I和拋物線y2=2x相交于 A A、B B 兩點(diǎn)，求線段4ABAB 的中點(diǎn) M M 點(diǎn)的坐標(biāo)。ti+t2= =2 2j j2 2，由 M M 為線段 ABAB 的中點(diǎn)，根據(jù) t t 的幾何意義，得，易知中點(diǎn) M M 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為tM，將此值代入直線的參數(shù)方程得,M M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 2，1 1）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于上述直線I的參數(shù)方程，A A、B B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1,t2，則它們的中點(diǎn)所對(duì) 應(yīng)的參數(shù)為解：直線I過(guò)點(diǎn)P0（1,O），傾斜角為7 7，所以直線1的參數(shù)方程為=1 +22，（t t 為參