例說用向量方法求面角

1、例說用向量方法求二面角一、平面法向量的 2種算法在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)n二(x, y, z)，它和平面內(nèi)的兩個不共線的向量垂直，數(shù)量積為0，建立兩個關(guān)于x,y,z的方程，再對其中一個變量根據(jù)需要取特 殊值，即可得到法向量.還有一種求法向量的辦法也比較簡便：若平面ABC與空間直角坐標系 x軸、y軸、z軸的交點分別為 A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c), 定義三點分別在 x軸、y軸、z軸上的坐標值xa = a, yB = b, zc = c (a,b,c均不為0),則平面 111 一ABC的法向量為n(一，, )( =0) 參數(shù)' 的值可根據(jù)實際需要

2、選取.a b c這種方法非常簡便，但要注意幾個問題：(1) 若平面和某個坐標軸平行，則可看作是平面和該坐標軸交點的坐標值為：，法向量對應(yīng)于該軸的坐標為0 .比如若和x軸平行(交點坐標值為 «),和y軸、z軸交點坐標值- 11分別為b、c,則平面法向量為 n = ' (0, ，);若平面和x,y軸平行，和z軸交點的坐標值 b c- 1為c,則平面法向量為 n = (0,0,).c(2) 若平面過坐標原點 O,則可適當平移平面.例1.如圖，在四棱錐 S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱 SD丄底面ABCD , E、 F 分別是 AB、SC的中點。設(shè) SD = 2CD ,求二

3、面角 A EF D 的大??；i 1|I 1解：不妨設(shè) A(1,0,0),則 B(11，0, s。，1，。)S(08 E1, 2, %2, 1 丿平面AEFG與x軸、z軸的交點分別為 A(1,0,0)、G(0,0,1)，與y軸無交點,則法向量 山=(1,0,1), 在CD延長線上取點 H，使DH=AE，貝U DH / AE，所以AH / ED，由(1)可知AG / EF ,1所以平面 AHG /平面EFD，平面AHG與x軸、y軸、z軸的交點分別為 A(1,0,0)、H(0,-,0)、G(0,0,1)，則法向量n 2=(1,2,1),設(shè)二面角A-EF-D的大小為a，則 則n與oz所夾的角是銳角，只

4、需取法向量的z坐標為正即可；若是第二種情形，則n與oz 所夾的角是鈍角，只需取法向量的z坐標為負即可.若法向量與xOy平面平行，則可以選取 其它如yOz平面、zOx平面觀察.COS :-二ni弓，即二面角a-ef-d的大小為arccos¥二、用向量法求解二面角的兩種途徑(一)用法向量解二面角用法向量求解二面角時遇到一個難題：二面角的取值范圍是0,二，而兩個向量的夾角取值范圍也是0,二，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過2的那個角即可，但對二面角卻是個難題筆者經(jīng)過思考，總結(jié)出一個簡單可行的方法，供讀者參考用法向

5、量解二面角首先要解決的問題就是：兩個法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個方向?對第一個問題，我們用一個垂直于二面角棱的平面去截二面角(如圖一)，兩個平面的法向量 n, n2邊易知，當q, n2同為逆時針方向或同為順時針方向時,它們所夾的解即為 a所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個法向量即可或者可以通俗地理解，起點在半平面上的法向量，如果指向另個半平面，則稱為“向內(nèi)”的方向；否則稱為“向外”的方向.兩個法向量所夾的角與二面角大小相等當且僅當這兩個法向量方向一個“向內(nèi)”，而另一個“向外”對第二個問題，我們需要選取一

6、個參照物在空間直角坐標系中，我們可以選擇其中一個坐標軸(如 z軸)，通過前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xOy平面的關(guān)系，是自下而上穿過 xOy平面呢，還是自上而下穿過 xOy平面？若是第一種情形,例2 已知四棱錐 P/BCD的底面為直角梯形，AB / DC,/DAB=90 ,PA丄底面ABCD , 且 PA=AD=DC=1 AB =1, M 是 PB 的中點.2(1) 求二面角 C_AM_B的大小；(2) 求二面角 A_MC_B的大小.分析：如圖建立空間直角坐標系，則對二面角C_AM_B而言，/D是平面AMB的法向量(向內(nèi))，易知平面ACM符合"向外”方向的法向量

7、是自下而上穿過xOy平面，所以與AZ所夾的角是銳角對二面角A_MC_B而言，平面ACM選取上述法向量，則為“向外”的方y(tǒng)向，平面BCM就應(yīng)選取“向內(nèi)”的方向，此時是自上而下穿過xOy平面，與z軸正向所夾的角是鈍角(1)解：如圖三，以 AD為x軸，AB為y軸，AP為z 軸建立空間直角坐標系，則平面 AMB的法向量為n1 =(1,0,0), 設(shè)平面ACM的法向量為n2 =(x,y,z).1由已知 C (1, 1,0), P(0, 0, 1), B(0, 2, 0)，貝y M(0, 1, 1 ),tt1 AC =(1, 1, 0), AM =(0, 1, 2 ).n2 AC =0,x yP由=1取

8、y= -1,貝U x=1, z=2,n2 AM =0.y 20-n2=(1, -1,2).(滿足 rb -AZ >0)設(shè)二面角C從M-B的大小為二，貝y cos = =n1 n21所求二面角的大小為arccos 6(2)解：選取(1)中平面ACM的法向量n2 =(1, -1,2)，設(shè)平面BCM的法向量為n3 = (x,y,z).x _ y =0,-y r=0.BC = (1, -1, 0), BM = (0, -1, 1 ),嘰 BC =0,I由. _ _= j rig BM = 0.取 z=-2,則 y =-1, x=-1, n3 = (-1, -1,-2)，則 n2 , n3 所夾的

9、角大小即為二面角A- MC- B 的大小，設(shè)為,10 / 6所求二面角的大小為二-arcco(二)用半平面內(nèi)的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角.如果分別在兩個半平面內(nèi)作兩個向量(如圖四)，起點在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個向量所夾 的角，與二面角的大小是相等的.這種方法與用法向量解二面角相比，其 優(yōu)點是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方 向給二面角大小帶來的影響.例3 如圖五，已知長方體 ABCD-A1BQ1D1中，AB=BC=1 , AA1=2 , E 是 BBj 的中點.(1) 求二面角 E-AC1-B的大

10、??；(2) 求二面角C1-AE-B的大小.分析：在第(1)題中，只需在AC1上找到兩點G、H，使得GB、HE均與AC1垂直，則GB、HE的 夾角即為所求二面角的大小.如何確定G、H的位置呢？可設(shè)GA五AG ,GB =GA - AB VAG * AB，這樣向量GB就用參數(shù)表示出來了，再由 GB AC1 =0 求出的值，則向量GB即可確定，同理可定出 H點第(2)題方法類似.解：以B為坐標原點，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標系，則B(0,0,0), A(0,1,0),C(1,0,0), Bi(0,0,2), Ci(1,0,2), E(0,0,1). ACi = (1, -1,2), AB

11、= (0, -1,0).(1)設(shè) GA AG =(，, -，2，)，則GB = GA AB =(，,-，-1,2，),由 GB AC1 =0 = /. +( +1)+4 =0,1解得：怎-1 ,6t 151GB = (,)663T11-> ->同理可得：HE = (, 0), HE -AC1 = 0.2 2B圖六GB、HE的夾角等于二面角 E-AC1-B的平面角.33cos< GB , HE > =GB HE 6GB 2HE 1 515GB |he |6GB”2He 430 425 二面角E- AC1- B的大小為arccos5-T(2) AE = (0, -1, 1),在 AE 上取點 M、N,設(shè)MA i'AE =(0, - ,),則 MB 二 MA AB =(0, - -1,