數(shù)值積分的程序設(shè)計

1、數(shù)值積分的程序設(shè)計專業(yè)班級：信計061 姓名： 袁金龍 學(xué)號：15206012 一 實驗?zāi)康?. 熟悉Matlab編程。2. 學(xué)習數(shù)值積分程序設(shè)計算法。二 實驗題目 用Simpson公式、和N=8的復(fù)合Simpson公式、復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式、龍貝格公式求定積分。三 實驗原理與理論基礎(chǔ) (一)Simpson公式算法設(shè)計： 通過已知得出積分上下限及其被積函數(shù)a,b,f(x). 按公式計算得k=(a+b)/2;s=(b-a)/6)*(1/(a*a-1)+4*(1/(k*k-1)+1/(b*b-1)。 （二）復(fù)合Simpson公式算法設(shè)計：1. 通過已知得出積分上下限及其被積函數(shù)a,b,f(

2、x). 2. ,h=(b-a)/2m. . （三）復(fù)合梯形公式算法設(shè)計：利用余項 其中得出n的大小。 通過已知得出積分上下限及其被積函數(shù)a,b,f(x).利用公式 得出積分結(jié)果。 （四）復(fù)合拋物線公式算法設(shè)計： .利用余項得出n的大小，其中。 通過已知得出積分上下限及其被積函數(shù)a,b,f(x).利用公式 得出積分結(jié)果。 (五)龍貝格公式算法設(shè)計： 計算：對分區(qū)間并計算和：，其中為新分點的函數(shù)值之和。計算與：， 利用外推公式：，()，()，直至求出。 判斷是否真，其中為給定的精度。若真，則，否則重復(fù)(2)、(3)、(4)的計算。表14.4.1 排成三角數(shù)表數(shù)表沿豎向和斜向都是收斂于，即當趨于無窮

3、，與均收斂于。四 實驗內(nèi)容（一）問題重述： 給出積分 1. 用Simpson公式和N=8的復(fù)合Simpson公式求積分的近似值.2. 用復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式、龍貝格公式求定積分，要求絕對差為e=0.5*107，將計算結(jié)果與精確解做比較，并對計算結(jié)果進行分析。 (二)實驗代碼：、 =*用Simpson公式計算積分的近似值*function =simpson(a,b)% k為中間值'用Simpson公式計算積分的近似值為：'k=(a+b)/2; s=(b-a)/6)*(1/(a*a-1)+4*(1/(k*k-1)+1/(b*b-1)*用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值

4、* function =fuhesimpson(a,b,n1)% n1,n分別為小區(qū)間、大區(qū)間的個數(shù)。% h為其步長。% s1，s2為函數(shù)在大區(qū)間、小區(qū)間的端點的函數(shù)值之和。n=n1/2;h=(b-a)/n;for i=1:n Xk(i)=a+(i-1)*h;ends1=0;for i=2:n f1(i)=1/(Xk(i)*Xk(i)-1); s1=s1+f1(i);ends2=0;for i=1:n Xl(i)=Xk(i)+h/2; f2(i)=1/(Xl(i)*Xl(i)-1); s2=s2+f2(i);end'用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值為：'T=(h/6)*

5、(1/(a*a-1)+4*s2+2*s1+1/(b*b-1)2.= *用復(fù)化梯形公式計算積分的近似值*function =fuhetixing(a,b,e)% f2為f的二階導(dǎo)數(shù)的最大值f2=2/9;m=(b-a)*(b-a)*(b-a);n=round(sqrt(f2*m/e);h=(b-a)/n;s1=0;for i=1:(n-1) x(i)=a+i*h; f(i)=1/(x(i)*x(i)-1); s1=s1+f(i);end'用復(fù)化梯形公式計算積分的近似值為：'T=(h/2)*(1/(a*a-1)+2*s1+1/(b*b-1)*用復(fù)化拋物線公式計算積分的近似值* fun

6、ction T=fuhepaowuxian(a,b,e)%利用誤差確定n.% h為其步長。% s1，s2為函數(shù)在大區(qū)間、小區(qū)間的端點的函數(shù)值之和。n=round(b-a)5*121*24)/(180*243*e)(0.25);h=2*(b-a)/n;for i=1:(n/2) Xk(i)=a+(i-1)*h;ends1=0;for i=2:(n/2) f1(i)=1/(Xk(i)*Xk(i)-1); s1=s1+f1(i);ends2=0;for i=1:(n/2) Xl(i)=Xk(i)+h/2; f2(i)=1/(Xl(i)*Xl(i)-1); s2=s2+f2(i);end'該積

7、分在復(fù)合拋物線下的值為：'T=(h/6)*(1/(a*a-1)+4*s2+2*s1+1/(b*b-1);*用龍貝格公式計算積分的近似值* Longbeige文件：functionR,quad,err,h=longbeige(f,a,b,n,tol)% f是被積函數(shù)。% a, b分別為是積分的上下限。% n1是T數(shù)表的列數(shù)。% tol是允許誤差。% R是T數(shù)表。% quad是所求積分值。M=1;h=b-a;err=1;J=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2;while(err>tol)&(J<n)|(J&l

8、t;4) J=J+1; h=h/2; s=0; for p=1:M x=a+h*(2*p-1); s=s+feval(f,x); end R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s; M=2*M; for K=1:J R(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K)/(4K-1); end err=abs(R(J,J)-R(J+1,K+1);endquad=R(J+1,J+1) beijihanshu文件： function y=beijihanshu(x)y=1/(x*x-1); longbeigerun文件： clcclearlongbeige('beiji

9、hanshu',2,3,7, 0.5*(10(-7)五 實驗結(jié)果、 =*用Simpson公式計算積分的近似值的結(jié)果*>>simpson(2,3)ans =用Simpson公式計算積分的近似值的結(jié)果s = 2.033730158730158e-001*用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值的結(jié)果*>>fuhesimpson(2,3,8)ans =用Simpson公式計算積分的近似值T = 2.027361949305312e-0012.= *用復(fù)化梯形公式計算積分的近似值的結(jié)*>>fuhetixing(2,3,0.00000005)ans =用復(fù)化梯

10、形公式計算積分的近似值T = 2.027325606307579e-001*用復(fù)化拋物線公式計算積分的近似值的結(jié)果*>>fuhepaowuxian(2,3,0.00000005)ans =該積分在復(fù)合拋物線下的值為：ans = 2.027325656160846e-001*用龍貝格公式計算積分的近似值的結(jié)果*>>longbeigerunquad = 0.202732554055260.229166666666670.209821428571430.203373015873020.204544413919410.202785409035410.20274623524624

11、0.203188249677750.202736194930530.202732913990210.20273270254170 0.202846653449610.202732788040220.202732560914200.202732555309820.202732554732440.202761089951090.202732568784920.202732554167900.202732554060820.202732554055920.20273255405526六 實驗結(jié)果分析與小結(jié) 1. 通過與真實值的比較得出：算法誤差Simpson公式-6.404618189357891e-004復(fù)化Simpson公式-3.640876451188602e-006復(fù)化梯形公式-6.576677896719119e-009復(fù)化拋物線公式-1.156200460372681e-008龍貝格公式-1.180000541