向量解立體幾何

1、向量法解立體幾何1.基本概念：1.1. 向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算a,b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為 則數(shù)|a|b|cosr叫做a與b的 數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b，即a b=|a| |b| cost.其幾何意義是a的長度 與b在a的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是：11 若 （x1,y1,z1）,（x2, y2,Z2），貝U a b = x1x2 y1y2 z1z2; a b = XjX2y1y2乙 z2-15 - / 111.2. 異面直線m,n所成的角分別在直線m,n上取定向量a, b,則異面直線m,n所 成的角8等于向量a,b所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示）,Xi- _I n m則cos

2、-且衛(wèi)L （例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18 D圖1 b B |a| jb|題第（2）問）1.3. 異面直線m、n的距離分別在直線m、n上取定向量a,b,求與向量a、b都垂直的向量n ,分別在m、n上各取一個(gè)定點(diǎn)A、B ,則異面直線m、n的距離d等于AB在n上的射影長，即d =LAB也證明：設(shè)CD為公垂線段，取CA = a, DB=b （如圖1所示），則CD =CA AB BD.CD n = （CA AB BD） n.|CD nh|AB n|=|CD | =| AB n |A|設(shè)直線m, n所成的角為二，顯然cosr|a b |a| |b|1.4.直線L與平面所成的角在L上取定AB，求平面的

3、法向量n （如圖2所示），再求cost = | AB_n_L，貝q為所求的角.|AB|n|21.5. 二面角方法一：構(gòu)造二面角-1 - 一：的兩個(gè)半平面:-、一:的法向量厲、n2 （都取向上的方向，如圖3所示），則f n2 若二面角:1是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量 q、n2的夾角的補(bǔ)角，即cost如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第（1）問）若二面角-1 - 1是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量n,、n2的夾角，即cos 匹（例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第|ni | | 匕 |18題第（1）問）方法二：在二面角的棱I上確定兩個(gè)點(diǎn)A、B，過圖4A、B分別在平

4、面a、0內(nèi)求出與I垂直的向量ni、n?（如圖4所示）,則二面角二I的大小等于向量n、n2的夾角，即cos ni n2| ni |，| n2 |1.6.平面外一點(diǎn)p到平面的距離先求出平面:-的法向量n,在平面內(nèi)任取一定點(diǎn)A，則點(diǎn) p到平面的距離d等于AP在n上的射影長，即 dAP “ 1.（例如2004年廣州一模第18題第（U）問）.|n|1. 7.法向量上面“1.31.6”中，均運(yùn)用了法向量.但教科書對(duì)此只作了簡略的 處理，所以我們有必要對(duì)它進(jìn)一步的挖掘和豐富.直線的法向量：在直線L上取一個(gè)定向量n，則與a垂直的非零向量n叫 直線L的法向量.其具體求法見本文例2之“ （I）解法二”.平面的法向

5、量：與平面:-垂直的非零向量n叫平面的法向量.其具體求法見本文例2之“（I）解法一”.構(gòu)造直線或平面的法向量，在求空間角與距離時(shí)起到了橋梁的作用， 在解題 過程中只須求出而不必在圖形中作出來. 在空間直角坐標(biāo)系下，構(gòu)造關(guān)于法向量 坐標(biāo)的三元一次方程組，得到直線（或平面）的法向量坐標(biāo)的一般形式，再取特 值.其向上或向下的方向可根據(jù)豎坐標(biāo)的符號(hào)來確定.由上可見，禾U用向量的數(shù)量積可把求距離、夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，和 原來距離、夾角求解中的“作、證、算”有較大差異 .掌握了以上的基本概念和 方法，就會(huì)使解決立體幾何中夾角與距離的問題難度降低，也拓展了我們解決問題的思路.2.基本方法:禾U用向量解

6、立體幾何中垂直、夾角、距離等問題，其基本方法是：把有關(guān)線 段與相應(yīng)的向量聯(lián)系起來，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量運(yùn)算進(jìn)行 計(jì)算或證明.具體地說，有以下兩種基本方法.2.1.基向量法由于空間中任何向量均可由不共面的三個(gè)基向量來線性表示，因此在解 題時(shí)往往根據(jù)問題條件首先選擇適當(dāng)?shù)幕蛄?，把有關(guān)線段根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則與基向量聯(lián)系起來.再通過向量的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到計(jì)算或證明 的目的.一般情況下，選擇共點(diǎn)且不共面的三個(gè)已知向量作為基向量.例1如圖6,已知正三棱柱ABC-AiBC的棱長為2,底面邊長為1,1M是BC的中點(diǎn).（1）在直線CCi上求一點(diǎn)N，使MN _ AR ；（2）當(dāng)MN _

7、 AB,時(shí)，求點(diǎn)A,到平面AMN的距離.（3）求出ABi與側(cè)面ACGA所成的角分析1（ 1）的 問題顯然是求使異面直線 MN與AB,所成的角為直角的點(diǎn)N.依據(jù)向量數(shù)量積的概念，必須由條件MN _ AB_, = MN AB0，求出CN的長度，而MN與AB,都不是已知向量,且和CN沒有直接聯(lián)系，因此必須選擇一組基向量來表示MN與AB,.(1) 解法一：取共點(diǎn)于B的三個(gè)不共面的已知向量BABC>BB1為基向量，由正三棱柱 ABC -A1B1C1 及 MN _ AB1 = MN AB1 =0,一一一 一.一 1 一AB1 =AB BB1, MN =MC CN BC CN2 一. 1 一=(AB

8、BB1) (- BC CN) = 021 一 一 1 一 一:-AB BC AB CN - BB1 BC BB1 CN 二 02 21 1=1 1 cos120 1 |CN | cos90 2 1 cos90 2 |CN | cos0 =02211: 00 2 |CN | = 0 = |CN |=-48分析2 本小題還可以取共點(diǎn)于 A的三個(gè)不共面的已知向量 AB,AC,AA為基向量，從而得(1解法二：AR = AB BBi = AB AA ,一 一 一. 1 . .1 - MN 二 AN - AM 二(AC CN) - (AB AC)二(AC - AB) CN.2 2 一 i -.MN ABi

9、 =(AB AA) ?(AC 一 AB) CN1 (AB AA) (AC - AB) (AB AA,) CN1 .2(AB AC - AB AA, AC - AA1 AB) AB CN AA, CN 21 2(1 1 cos60 -12 2 1 cos90 -2 1 cos90 )1 a cos90 2 a cos01 10 - 0 2a42 111MN ABj =0,10-0 2a =0, a|CN |.488比較方法一與方法二，方法一比方法二運(yùn)算簡便.因?yàn)橛梅椒ㄒ贿x擇的一組 基向量表示MN時(shí)式子較為簡單.這告訴我們可選擇的基向量并不唯一，我們應(yīng) 選擇使得運(yùn)算簡便的那一組向量作為基向量.當(dāng)幾

10、何體中能夠找到(或構(gòu)造出) 三個(gè)共點(diǎn)且兩兩垂直的基向量時(shí)，我們就可以用下面的方法解決問題22坐標(biāo)法所謂坐標(biāo)法，就是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(本文所建立的都是右手直角坐標(biāo)系)，把向量用坐標(biāo)來表示，用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的運(yùn)算，以達(dá)到解 決問題的目的.y圖7運(yùn)用坐標(biāo)法時(shí)，也必須首先找出三個(gè)基向量，并且這三個(gè)基向量兩兩垂直 由此建立空間直角坐標(biāo)系.因而坐標(biāo)法是基向量法的 特殊情形，但坐標(biāo)法用于求長度、角度或解決垂直問 題時(shí)，比較簡單.在坐標(biāo)法下，例1幾何體中容易找到共點(diǎn)不共面且互相垂直的三個(gè)向量，于是有如下解法：(1)解法三：以AC、AA分別為y軸、z軸，垂直于AC、AA的Ax為x軸建立空間直角坐

11、標(biāo)系 A 一 xyz，設(shè)|CN a，貝U有3 13 3A（0,0,0）、Bi C , ,2）、M C , ，°）、N（0,1,a）.2 244于是MN =（一仝丄a）,AB1 =（三丄2）,由AB1得4 4223 13 1MN ABi 二 0= （，,a） （,2） =014 42 2312a = 08 8- 1=a =8.在空由上面的解法三可知，通過建立空間直角坐標(biāo)系，找出了相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo), 從而把幾何圖形的性質(zhì)代數(shù)化，通過向量的計(jì)算解決問題，顯得快捷簡便 間直角坐標(biāo)系下，例1的第（2）、（ 3）問便迎刃而解了 .下面給出解答.（2）解：當(dāng)MN _ AB1時(shí)，由（1）解法三知,A（0

12、,0,0）、B1（子如、M （仝,3,0）、441N（0,1,-）、8c 3 1 1- s 3 3A（0,0,2），則 MN 十匚，打，am =（73,0）, AA1 =（0,0,2），設(shè)向量n =（x,y,z）與平面AMN垂直，則有仝 x 1y 0448V3x z81y 二 一一z8"（仝丄,z）8 8z 二（3T）（z 0）取 n。=（、3,-1,1） 向量AA在n0上的射影長即為A到平面AMN的距離，設(shè)為d，于是d H AA'| |co： AAi,no W 心 1| AAi | -| n。|(0,0,2) C 3, 1,1) |(.3)2(1)212(3)根據(jù)上面“ 1

13、.4.直線L與平面：.所成的角”中所提到的方法，須求出平面ACGA的一個(gè)法向量n，進(jìn)而求AB,與n所在直線的夾角設(shè)平面ACGA的一個(gè)法向量為n,則有n _ AA-i2z = 0-=y = z = 0,. n = (x,0,0) = x(1,0,0) 丫 =0(x 0);取 n0 =(1,0,0)，則| cos ： AB1, n0卜 IAB1 n。| H| AB1 | | n° |3 1 (云,護(hù)(1,0,0)( ；)2 (；)2 (2)2 F157q"-.15、 15故AB1與側(cè)面ACGA所成的角為：arc cos =arcsin '一.2 10 10本題的解題過程

14、告訴我們，用坐標(biāo)法求空間角與距離，就是用空間向量將空 間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特 點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，一般來說，長方體、正方體中較為容易建立 坐標(biāo)系.圖8高考對(duì)空間向量的考查是以立體幾何為載體，利用空 間向量求有向線段的長度，求兩條有向線段的夾角(或其 余弦、正弦、正切)，二面角、點(diǎn)到平面的距離、異面直線 的距離、證明線線、線面、面面垂直等下面是今年廣東高 考數(shù)學(xué)及廣州一模，體現(xiàn)了高考對(duì)空間向量的考查要求.例2 (2004年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)廣東卷第18題) 如右圖8在長方體ABCD A1B1C1D1中，已知AB= 4,

15、 AD =3, AA 1= 2. E、F分別 是AB、BC上的點(diǎn)，且 EB= FB=1.(1)求二面角CDEC1的正切值； 求直線EC1與FD1所成的角的余弦值.解題分析：本題主要考查了二面角、異面直線所成的角等知識(shí)和空間想象能力、思維能力、運(yùn)算能力高考試卷給出的參考答案分別用了傳統(tǒng)方法及向量法在傳統(tǒng)解法中，運(yùn)用三垂線定理作出二面角的平面角并正明，通過延長和平移線段作出異面直線所成的角，進(jìn)而通過解直角三角形和斜三角形解決問題在用向量法的解答上，選擇A為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，AB,AD,AA分別為x軸，y軸, z軸的正向，這不是右手直角坐標(biāo)系，雖然與右手直角坐標(biāo)系沒有本質(zhì)上的區(qū)別， 但教科書中所

16、建立及提倡的是右手直角坐標(biāo)系，所以考生習(xí)慣用右手直角坐標(biāo)系用向量法解決第(1)問時(shí)只是用了本文所提到的“ 1.5.二面角”之“方法一”.下面本人以自己的習(xí)慣，通過建立右手直角坐標(biāo)系來解答，并用本文所提到的“ 1.5.二面角”之“方法二”補(bǔ)充第(I)問的解法二.解： 解法一：以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有 D(0,0,0), Di(0,0,2),C(0,4,0),Ci(0,4,2),E(3,3,0), F(2,4,0),Ci(0,4,2)于是，DE = (3,3,0),ECi = (-3,1,2) ,FDi = (-2,-4,2),設(shè)向量n =

17、(x,y,z)與平面Ci DE垂直，則有A 丄 DE【 3x+3y=0：1-=x = _y zn _ ECi-3x y 2z =02-11zn =(乙- z,z) =(1,-1,2),其中 z 0222取n。=(1,-1,2)，則n。是一個(gè)與平面CiDE垂直的向量，-向量DD； =(0,0,2)與平面CDE垂直，與DD1所成的角二為二面角C-DE-Ci的平面角- a n° DDi仆0+(1)5 + 27<6 x 逅cos, tan|no|，|DDi| 迪2 +(-1)2 +22 W02 +02 +2232(I)解法二：令M點(diǎn)在DE 上,且CM _ DE，可設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M (3

18、 ,3 ,0)，則 CM =(3,3 -4,0)CM _DE, CM DE = (3 ,3 -4,0) (3,3,0) =18 -102 -,CM =(2,-2,0).MC =(-2,2,0).3再令N點(diǎn)在DE上，且C,N _ DE，設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為N(3 ,3 ,0)，則CiN =(3 ,3 - 4,-2)GN_DE, . CjN DE =(3 ,3 - 4,-2) (3,3,0) =18 -12=02 一 一二,.CiN =(2,-2,-2), NCi=(-2,2,2)3= MC NC1(-2,2,0)(-2,2,2)V6.cos|MC|.|NCi| *'(2)2 +22 +02 J

19、(_2)2 +22 +223.tan二2(II)設(shè)ECi與FDi所成角為，貝U負(fù)EC1 FD_3x(_2)+ix(4) + 2x221cos -|ECi | I FDi | J(-3)2 +12 +22 xj(_2)2 +(_4)2 +2214因?yàn)楸绢}的已知條件和結(jié)論具有一定的解題方向性，它明確告訴我們用向 量的方法解決問題在高考結(jié)束后，本人詢問了自己所任教班級(jí)的部分學(xué)生，他 們大多數(shù)能用向量法解這道題.如果不用向量法，對(duì)于中等(或以下)水平的學(xué) 生，他們連二面角的平面角或異面直線所成的角都作不出來.可見，用空間向量處理立體幾何中的角與距離問題，可以降低立體幾何的論證、推理難度，使中等(或以下

20、)水平的學(xué)生也能很好的掌握，提高得分的能力.對(duì)此問題，我們?cè)诟呖紓淇忌暇陀幸庾R(shí)地引導(dǎo)學(xué)生.英德市在三月份組織了一次 全市統(tǒng)考，采用2004年廣州一模試卷，下面的例3是其中一道考題.例3 (2004年廣州一模第18題)如圖，在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB =2，AA =5, E、F 分別為DiD、B1B 上的點(diǎn)，且 DE 二 B1F".(I)求證：BE _平面ACF ;(H)求點(diǎn)E到平面ACF的距離.分析：題中幾何體易找到共點(diǎn)且相互垂直的三個(gè)基向量，故可通過建立空間直角坐標(biāo)系來達(dá)到解題目的.但實(shí)際情況是仍有相當(dāng)部分學(xué)生的思維還停留在傳統(tǒng)的幾何法上而未能解出第(

21、U)問.解：(I )以D為原點(diǎn)，以DA、DC、D1D的正向分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Di (0,0,5),E(0,0,1),F(2,2,4).于是 AC =(-2,2,0),AF =(0,2,4),BE =(-2,-2,1).BE AC =0,BE AF =0, be_ac,be_af,且ac af=a,.BE _ 平面 ACF(U)由(I )知，BE為平面ACF的一個(gè)法向量，.向量AE在BE上的射影長即為E到平面ACF的距離，設(shè)為d，于是|(2,0,1)(-2,-2,1)|.(-2)2(-2)212d AE | | cos ： AE, BE |=| AE |1 AE BE 1IAE|JBE|5故點(diǎn)E到平面AC