【經(jīng)典線代】線性代數(shù)課件第二章

1、 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 線性方程組線性方程組的解取決于的解取決于 , 2 , 1,njiaij 系數(shù)系數(shù) n,ibi21 常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng) nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211對(duì)線性方程組的對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之間開辟了若干航線城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的如圖所示表示了四城市間的航班圖航班

2、圖,如果從如果從A到到B有航班有航班,則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接 A 與與B.ABCD四城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示四城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:發(fā)站發(fā)站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.為了便于計(jì)算為了便于計(jì)算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表就得到一個(gè)數(shù)表:1111111000000000這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.ABCDABCD 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaa

3、a212222111211稱為稱為 矩陣矩陣. .簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 矩陣矩陣. .nm nm 記作記作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩陣矩陣nmA,.,簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為元元的的元元素素個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為這這Anm 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣.主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線例如例如 34695301是一個(gè)是一個(gè) 實(shí)矩陣實(shí)矩陣,42 2222222613i是一個(gè)是一個(gè) 復(fù)矩陣復(fù)矩陣,33 421是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,13 9532是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣

4、,41 4是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣.11 例如例如 2222222613i是一個(gè)是一個(gè)3 階方陣階方陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(2)(2)只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (或或行向量行向量) ).行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為，稱為 階階nnA.nA方陣方陣. .也可記作也可記作,21 naaaB只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列向量列向量).). 稱為稱為( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0 （4）元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣，

5、 零零矩陣記作矩陣記作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如記作記作 .,21ndiagA (5)方陣方陣 100010001nEE稱為稱為單位矩陣單位矩陣（或（或單位陣單位陣）. . 同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念OO 1. 1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時(shí)列數(shù)相等時(shí), ,稱為稱為同同型矩陣型矩陣.全為全為1 2. 2.兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且并且對(duì)應(yīng)元素相等對(duì)應(yīng)元素相等,即即 ijijbBaA與與 , 2 , 1;, 2

6、, 1njmibaijij 則稱則稱矩陣矩陣 相等相等,記作記作BA與與.BA 例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣.例例1之之個(gè)個(gè)變變量量與與個(gè)個(gè)變變量量mnyyymxxxn,2121間的關(guān)系式間的關(guān)系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到變量到變量表示一個(gè)從變量表示一個(gè)從變量mnyyyxxx,2121線性變換線性變換.為常數(shù)為常數(shù)其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112

7、222111211系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. .若線性變換為若線性變換為 nnxyxyxy,2211稱之為稱之為恒等變換恒等變換. . nnxyxyxy,2211對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 100010001 單位陣單位陣. .線性變換線性變換 .cossin,sincos11yxyyxx 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) cossinsincosXYO yxP, 111, yxP這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角的角的旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換. 例例2 設(shè)設(shè),131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx(1

8、)(1)矩陣的概念矩陣的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一個(gè)數(shù)表列的一個(gè)數(shù)表行行nm(2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣單位矩陣; ;零矩陣零矩陣.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021矩陣與行列式的有何區(qū)別矩陣與行列式的有何區(qū)別? ? 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同，它的行數(shù)和列數(shù)可以不

9、同.、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 說(shuō)明說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算行加法運(yùn)算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112

10、113 ., 04BABAAA ,ija .負(fù)矩陣負(fù)矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A1 1、定義、定義.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 規(guī)規(guī)定定為為或或的的乘乘積積記記作作與與矩矩陣陣數(shù)數(shù), AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái), ,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算. .（設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、定義、定義 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘

11、積記作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才

12、能相乘的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個(gè)個(gè)kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m注意注意矩陣不滿足交換律，即：矩陣不滿足交換律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 設(shè)設(shè) 1111A 1111B則則,0000 AB,2222 BA.

13、BAAB 故故但也有例外，比如設(shè)但也有例外，比如設(shè),2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 例例3 3 計(jì)算下列乘積：計(jì)算下列乘積： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =33

14、3223113bababa 解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求設(shè)設(shè) 例例4 4 00100100201222223AAA 32323003033 由此歸納出由此歸納出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng) 時(shí)，顯然成立時(shí)，顯然成立.2 k假設(shè)假設(shè) 時(shí)成立，則時(shí)成立，則 時(shí)，時(shí)，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA所以對(duì)于任意的所以對(duì)于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 定義定義 把

15、矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 2、方陣的行列式、

16、方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 3、對(duì)稱陣與伴隨矩陣、對(duì)稱陣與伴隨矩陣定義定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那末那末 稱為稱為對(duì)稱陣對(duì)稱陣.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A為對(duì)稱陣為對(duì)稱陣?yán)缋?6010861612.稱稱為為反反對(duì)對(duì)稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相對(duì)稱陣的元素以

17、主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相 等等.說(shuō)明說(shuō)明例例6 6 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 例例7 7 證明任一證明任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對(duì)稱陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和與反對(duì)稱陣之和.nA證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣.,TAAB

18、設(shè)設(shè) TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對(duì)稱矩陣為反對(duì)稱矩陣.22TTAAAAA ,22BC 命題得證命題得證.定義定義 行列式行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 證明證明 ,ijaA 設(shè)設(shè) ,ijbAA 記記則則jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.A4 4、共軛矩陣、共軛矩陣定義定義當(dāng)當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示表示 的共軛的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為復(fù)數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣的共軛

19、矩陣. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1 ijA ijA .EA ;2AA .3BAAB 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1BABA （設(shè)（設(shè) 為復(fù)矩陣，為復(fù)矩陣， 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的）且運(yùn)算都是可行的）:BA, 矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣

20、相乘且矩陣相乘不滿足交換律不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算進(jìn)行加法運(yùn)算.注意注意 （3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同不同.問(wèn)等式問(wèn)等式階方陣階方陣為為與與設(shè)設(shè),nBA BABABA 22成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么?答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要條件為成立的充要條件為 BABABA 22.BAAB 3 逆矩陣逆矩陣, 111 aaaa,11EAAAA 則矩陣則矩陣 稱為稱為 的可逆矩陣或逆陣的可逆矩陣或逆陣.A1 A在數(shù)的運(yùn)算中，在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)當(dāng)數(shù) 時(shí)

21、，時(shí)，0 a有有aa11 a其中其中 為為 的倒數(shù)，的倒數(shù)，a （或稱（或稱 的逆）；的逆）； 在矩陣的運(yùn)算中，在矩陣的運(yùn)算中，E單位陣單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的的1，A那么，對(duì)于矩陣那么，對(duì)于矩陣 ，1 A如果存在一個(gè)矩陣如果存在一個(gè)矩陣 ,使得使得 定義定義 對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個(gè)，如果有一個(gè) 階矩陣階矩陣 則說(shuō)矩陣則說(shuō)矩陣 是是可逆可逆的，并把矩陣的，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,EBAAB .的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣是

22、是AB說(shuō)明說(shuō)明 若若 是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則 的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的.AA若設(shè)若設(shè) 和和 是是 的可逆矩陣，的可逆矩陣，BCA則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的,即即A.1 ACB例例 設(shè)設(shè),0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0112 2110 0112 2110,1001

23、所以所以.21101 AABAB定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A證明證明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即即有有, 11 EAA故故. 0 A所所以以.的的伴伴隨隨矩矩陣陣為為矩矩陣陣其其中中AA ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) A,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢.,0,

24、0非非奇奇異異矩矩陣陣稱稱為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAAA 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.為為非非奇奇異異矩矩陣陣是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0 A故故,1存在存在因而因而 A于于是是EBB BAA1 ABA1 EA1 .1 A證證畢畢 .,1 ABEBAEAB則則或或若若推論推論證明證明 .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 且且可可逆逆則則數(shù)數(shù)可可逆逆若若, 0,2AA 且且亦亦可可逆逆則則為為同同階階方方陣陣且且均均可可逆逆若若,3ABBA 11

25、11 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定定義義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)另另外外證明證明 為為正正整整數(shù)數(shù)k .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若TT1 1 .AA,A115 則則有有可可逆逆若若證證明明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0 A, AAA . AA 例例1 1 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1

26、存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩陣矩陣求出其逆求出其逆若可逆若可逆是否可逆是否可逆下列矩陣下列矩陣BA例例2 2010430321 0143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A3411

27、03333231232221 同同理理可可求求得得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 315404133411151531132 B由由于于, 0 .B不不可可逆逆故故,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 設(shè)設(shè).CAXBX 使?jié)M足使?jié)M足求矩陣求矩陣解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又又由由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E證證明明, 022 EAA由由

28、EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A022 EAA又又由由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA 12 EA , 13412 EAEA ;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解解矩矩陣陣方方程程例例5 5 41234151

29、4151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,41511 412341511XE 5104023211120111112 X1112011111510402321 X給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1120111111 得得 1125103241230111111120111113X.9144682592 給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,1230111111 251121131112510324251121131.471202121529307513 111230111111125103241230111

30、11 X得得給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1230111111 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,滿滿足足關(guān)關(guān)系系設(shè)設(shè)三三階階矩矩陣陣BA例例6 611000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 EAB, 0! 5 A因因由由伴伴隨隨矩矩陣陣法法得得,1AAA 解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例7 7 4321000005321000005

31、42100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì). 0 A逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣的計(jì)算方法 ;21AAA 利利用用公公式式逆矩陣逆矩陣 存在存在1 A ;1 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 .3下一章介紹下一章介紹初等變換法初等變換法4 4 矩陣分塊法矩陣分塊法一、矩陣的分塊一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則三、小結(jié)三、小結(jié)對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 ，為了，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法分塊法，使大矩陣的，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算

32、運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算. . 具體做法是：將具體做法是：將矩陣矩陣 用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為 的的子塊子塊，以子，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣. .AAA,321 BBB bbaaA110101000001例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即, BEOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA11010100000

33、1 aaA01其其中中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 有有相相同同的的分分塊塊法法采采用用列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與設(shè)設(shè)矩矩陣陣,1BA那那末末列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111, 那末那末為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè),21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 例例 654123321A, 2 222222222 654123321A2.12108246644 分分塊塊成

34、成矩矩陣陣為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè),3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)分分別別等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中 即即是是方方陣陣且且非非零零子子塊塊都都其其余余子子塊塊都都為為零零矩矩陣陣上上有有非非零零子子塊塊角角線線的的分分塊塊矩矩陣陣只只有有在在主主對(duì)對(duì)若若階階矩矩陣陣為為設(shè)設(shè).,5AnA,21 sAAAAOO ,411 srAAA設(shè)設(shè)rA11sA.11 TsrTTAAA則則TsA1TrA1TsA1TrA1.11

35、 TsrTTAAA則則,21 sAAAAOO ., 2 , 1對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣為為分分塊塊那那末末稱稱都都是是方方陣陣其其中中AsiAi .21sAAAA 分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì)分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì): 并并有有則則若若, 0, 2 , 10 AsiAi.21 sAAAAoo ,621 sAAAA設(shè)設(shè)oo1 1 1 1 ssBBBAAA00000000000072121.0000002211 ssBABABA例例1 設(shè)設(shè),1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解解分塊成分塊成把把BA, 1011012100100001A 100

36、11001A00001121 , EEO1A 0211140110210101B 11BE21B22B則則 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 ,100100000001 bbaaA設(shè)設(shè) bbaaB100000001000.,ABABA 求求例例2解解分塊分塊將將BA, bbaaA100100000001,0021 AA

37、bbaaB100000001000,0021 BB其中其中,011 aaA;112 bbA,101 aaB;102 bbB其中其中 21210000BBAABA,002211 BABA aaaaBA100111,2112 aa bbbbBA101122,2212 bb.2200120000210012 bbaa 21210000BBAABA 221100BABA 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA 212121000000AABBAAABA 22211100ABAABA

38、.23001220000001232233223 bbbbbbaaaaaa例例3 3 設(shè)設(shè),120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A,12132 A;321112 A 12111AOOAA;5111 A.3201100051 在矩陣?yán)碚摰难芯恐性诰仃嚴(yán)碚摰难芯恐? ,矩陣的分塊是一種最矩陣的分塊是一種最基本基本, ,最重要的計(jì)算技巧與方法最重要的計(jì)算技巧與方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分塊塊法法同同型型矩矩陣陣 ,(2) 數(shù)乘數(shù)乘的的每每個(gè)個(gè)子子塊塊乘乘需需乘乘矩矩陣陣數(shù)數(shù)AkAk,(3) 乘法乘法的的劃劃分分相相

39、一一致致的的列列的的劃劃分分與與需需相相乘乘與與若若BABA, 分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似(4) 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11(5) 分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣 sAAAA21OO.21sAAAA sAAAA21OO ., 2 , 1112111 siAAAdiagAsiAA 且且可可逆逆可可逆逆.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩陣矩陣簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱列矩陣列矩陣行行叫做叫做列的數(shù)表列的數(shù)表行行排成排成個(gè)數(shù)個(gè)

40、數(shù)由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij .,復(fù)復(fù)矩矩陣陣元元素素是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做實(shí)實(shí)矩矩陣陣元元素素是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第陣陣叫叫做做矩矩的的元元素素個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)叫叫做做矩矩陣陣其其中中jiAaAnmij .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也記作也記作矩陣矩陣或或式可簡(jiǎn)記為式可簡(jiǎn)記為.)(;2121行行矩矩陣陣叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩陣陣叫叫做做列列矩矩陣陣只只有有一一列列的的矩矩陣陣aaaAaaaAnm .,)1(階階方方陣陣稱稱為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)式式對(duì)對(duì)nAnm 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也

41、相等時(shí)，就稱兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣它們是同型矩陣.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 記記作作相相等等與與矩矩陣陣那那么么就就稱稱矩矩陣陣即即們們的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素相相等等并并且且它它是是同同型型矩矩陣陣與與如如果果.,O記作記作零矩陣零矩陣元素都是零的矩陣稱為元素都是零的矩陣稱為., 1 Enn簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記作作階階單單位位陣陣叫叫做做階階方方陣陣其其余余元元素素都都是是零零的的主主對(duì)對(duì)角角線線上上的的元元素素都都是是.,)( ,)(,)(的的和和與與稱稱為為矩矩陣陣加加法法定定義義為為為為兩兩個(gè)個(gè)同同型型矩

42、矩陣陣設(shè)設(shè)BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并規(guī)規(guī)定定從從而而有有負(fù)負(fù)矩矩陣陣的的稱稱為為矩矩陣陣記記設(shè)設(shè)ABBA )()(CBACBA ).(,aAAAAAij 規(guī)規(guī)定定為為或或的的乘乘積積記記作作與與矩矩陣陣數(shù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律);()(AA ;)(AAA .)(BABA .), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 記記作作其其中中矩矩陣陣是是一一個(gè)個(gè)的

43、的乘乘積積與與規(guī)規(guī)定定設(shè)設(shè)運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm n階方陣的冪階方陣的冪.,111121是正整數(shù)是正整數(shù)其中其中定義定義階方陣階方陣是是設(shè)設(shè)kAAAAAAAAnAkk .,)(, 為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中l(wèi)kAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地方陣的行列式方陣的行列式.det,AAAAn或或記記作作的的行行列列式式陣陣叫叫做做方方的的元元素素所所構(gòu)構(gòu)成成的的行行列列式式階階方方陣陣由由運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律.;,BAABAAnBAn 則

44、則階方陣階方陣為為為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè)轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣.,AAAT記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣叫叫做做陣陣到到一一個(gè)個(gè)新新矩矩的的行行換換成成同同序序數(shù)數(shù)的的列列得得把把矩矩陣陣.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣.,為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣.,矩陣矩陣為反對(duì)稱為反對(duì)稱則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 冪等矩陣冪等矩陣.,2為冪等矩陣為冪等矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnA 正交矩陣正交矩陣.,正正交交矩矩陣陣為為則則稱稱如如果果階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)AEA

45、AAAnATT 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣.,為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣則則稱稱素素全全為為零零其其余余元元如如果果除除了了主主對(duì)對(duì)角角線線以以外外階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)AnA對(duì)合矩陣對(duì)合矩陣.,2為對(duì)合矩陣為對(duì)合矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AEAnA 上三角矩陣上三角矩陣主對(duì)角線以下的元素全為零的方陣稱為上三主對(duì)角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣角矩陣下三角矩陣下三角矩陣主對(duì)角線以上的元素全為零的方陣稱為下三主對(duì)角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣角矩陣伴隨矩陣伴隨矩陣. 212221212111的伴隨矩陣的伴隨矩陣叫做方陣叫做方陣方陣方陣所構(gòu)成的所構(gòu)成的的各元素的代數(shù)余子式的各元素的代

46、數(shù)余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴伴隨隨矩矩陣陣具具有有重重要要性性質(zhì)質(zhì)定義定義., 1AAAA 矩矩陣陣記記作作的的逆逆的的逆逆矩矩陣陣是是唯唯一一的的則則有有逆逆矩矩陣陣若若.),( , 的的逆逆矩矩陣陣稱稱為為且且矩矩陣陣秩秩的的、滿滿或或非非奇奇異異的的、非非退退化化的的是是可可逆逆的的則則稱稱矩矩陣陣使使如如果果存存在在矩矩陣陣階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)ABAEBAABBnA 相關(guān)定理及性質(zhì)相關(guān)定理及性質(zhì). 0 AA可可逆逆的的充充分分必必要要條條件件是是方方陣陣.,1AAAA 則則可可逆逆若若矩矩陣陣.)()();0(1)( ;)(111

47、111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且且也也可可逆逆那那么么都都可可逆逆與與若若同同階階方方陣陣矩陣的分塊，主要目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算及便于矩陣的分塊，主要目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算及便于論證論證分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似相類似一、矩陣的運(yùn)算一、矩陣的運(yùn)算二、逆矩陣的運(yùn)算及證明二、逆矩陣的運(yùn)算及證明三、矩陣的分塊運(yùn)算三、矩陣的分塊運(yùn)算例計(jì)算例計(jì)算 nnnnnnnnnnnnnnn11111111112解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112 111111111122nnnn )1()1

48、()1(12nnnnnnnnnnnnn.,2是冪等矩陣是冪等矩陣所以所以在此例中在此例中AAA nnnnnnnnnnnn111111111. 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并驗(yàn)驗(yàn)證證多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的寫寫成成試試將將設(shè)設(shè) 解解,)()(2bcaddadcbaAEf 由此得由此得EbcadAdaAAf)()()(2 例例 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( Af即即例例.)0(的逆矩陣的逆矩陣求求 bcaddcba解解方法一用定義求逆陣方法一用定義求逆陣,43211 xxxxA設(shè)設(shè)得得由由,1EAA ,10014321 xxxxdcb

49、a . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa則有則有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得.11 acbdbcadA注注., 元元方方程程組組矩矩陣陣的的各各列列的的同同而而常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)分分別別為為單單位位個(gè)個(gè)系系數(shù)數(shù)相相實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)上上是是求求解解的的逆逆依依定定義義求求nnA.,:,的的逆逆矩矩陣陣即即可可得得的的每每一一個(gè)個(gè)元元素素去去除除最最后后用用符符號(hào)號(hào)再再將將次次對(duì)對(duì)角角元元素素調(diào)調(diào)換換其其置置位位中中的的主主對(duì)對(duì)角角元元素素調(diào)調(diào)換換其其先先將將矩矩陣陣其其做做法法是是的的方方法法兩兩調(diào)調(diào)一一除除求求二二階階矩矩陣陣逆逆

50、矩矩陣陣可可用用AAAA.,bcadAdcbaA 方法二方法二A調(diào)調(diào)換換主主對(duì)對(duì)角角元元次次對(duì)對(duì)角角元元調(diào)調(diào)符符號(hào)號(hào) acbd去除去除用用 A,1 acbdA.11 acbdbcadA注注此法僅適用于二階矩陣，對(duì)二階以上的此法僅適用于二階矩陣，對(duì)二階以上的矩陣不適用矩陣不適用 acbd分析分析.,),(,.,11111交交換換律律因因?yàn)闉榫鼐仃囮嚨牡某顺朔ǚú徊粷M滿足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘這這時(shí)時(shí)將將方方程程兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)左左程程方方可可逆逆時(shí)時(shí)才才可可解解這這個(gè)個(gè)矩矩陣陣只只有有程程可可以以不不寫寫出出這這個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)是是否否可可逆逆要要先先考考察察例例如如解解關(guān)關(guān)系系的的位位置置應(yīng)應(yīng)注注意意已已知知矩矩陣陣與與解解矩矩陣陣方方程程時(shí)時(shí)ABAXBAAXAAAABAXX ., 均均為為可可逆逆矩矩陣陣、其其中中解解矩矩陣陣方方程程BACAXBBXABAX 例例4 4矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB .,0,的的逆逆矩矩陣陣并并求求必必為為可可逆逆矩矩陣陣證證明明階階可可逆逆矩矩陣陣都都是是設(shè)設(shè)DBCADnBA 證證.),0det, 0det,(0detdetdet為為可可逆逆矩矩陣陣所所以以均均可可逆逆因因?yàn)闉镈BABABAD ),2 ,