三角形四“心”的向量風(fēng)采

1、wwwMathsChinacom 彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹華軟傳奇！三角形四“心”的向量風(fēng)采山東尹征在近幾年高考及各地模擬考試中，出現(xiàn)許多有關(guān)三角形四“心”的向量形式的優(yōu)美考題使我們對(duì)向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性有了更深刻的認(rèn)識(shí)特在此分類解析，旨在探索題型規(guī)律，以提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力一、“重心”的向量風(fēng)采例1已知是所在平面上的一點(diǎn)，若，則是的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：由題意，得，以、為鄰邊作，設(shè)與相交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)由，得，即四點(diǎn)共線，故為邊中線上的點(diǎn)同理可得也為邊的中線上的點(diǎn)，所以是的重心故選（）例2已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定通過(guò)的（）外心內(nèi)心重心

2、垂心解析：由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心故選（）二、“垂心”的向量風(fēng)采例3是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：由，得，即，所以同理可證，是的垂心故選（）例4已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：由題意，由于，所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心故選（）三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采例5已知為所在平面上的一點(diǎn)，且， 若，則是的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內(nèi)心故選（）例6已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：由題意得，當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心故選（）四、“外心”的向量風(fēng)采例7已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：若，則，則是的外心故選（）例8已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）外心內(nèi)心重心垂心解析：由于過(guò)的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示垂直于的向量，所以在垂直平分線上