《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第三版__課后習題答案._解析

1、習題一：1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間：(1) 某籃球運動員投籃時 , 連續(xù) 5 次都命中 , 觀察其投籃次數(shù) ;解：連續(xù)5 次都命中，至少要投5 次以上，故15,6,7,；(2) 擲一顆勻稱的骰子兩次 , 觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和 ;解：22,3,4,11,12 ；(3) 觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù);解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0 到無窮，所以30,1,2,；(4) 從編號為 1，2， 3， 4， 5 的 5 件產(chǎn)品中任意取出兩件 , 觀察取出哪兩件產(chǎn)品 ; 解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會相同，編號必是一大一小，故：4i , j 1ij5 ;(5) 檢查兩件產(chǎn)品是否

2、合格 ;解：用 0 表示合格 , 1 表示不合格，則50,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；(6) 觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低氣溫不低于 T1, 最高氣溫不高于 T2); 解：用 x 表示最低氣溫 , y 表示最高氣溫 ;考慮到這是一個二維的樣本空間，故：6x, y T 1xyT2；(7) 在單位圓內(nèi)任取兩點 , 觀察這兩點的距離 ;解：7x 0x2 ；(8) 在長為 l 的線段上任取一點 , 該點將線段分成兩段 , 觀察兩線段的長度 .解：8x, y x0, y0, xyl；1.2(1) A 與B 都發(fā)生, 但C 不發(fā)生; ABC；(2)A 發(fā)生, 且 B 與 C

3、至少有一個發(fā)生;A(B C)；(3)A,B,C 中至少有一個發(fā)生 ; A BC ；- 1 -(4)A,B,C 中恰有一個發(fā)生 ; ABCABCABC ；(5)A,B,C 中至少有兩個發(fā)生; ABACBC ；(6) A,B,C 中至多有一個發(fā)生; ABACBC ；(7) A;B;C 中至多有兩個發(fā)生 ; ABC(8) A,B,C 中恰有兩個發(fā)生. ABCAB CABC；注意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 設(shè)樣本空間x 0x2 , 事件 A = x 0.5x1 , Bx 0.8x 1.6具體寫出下列各事件：(1)AB;(2) A B; (3)AB; (4)AB（1） ABx 0

4、.8x1 ；(2)A B =x 0.5x0.8 ；(3)AB = x0x0.50.8x2 ;(4)AB =x0x0.51.6x21.6 按從小到大次序排列P( A), P( AB), P( AB), P( A)P(B) , 并說明理由 .解：由于 ABA, A( AB), 故 P( AB)P( A)P( AB) ，而由加法公式，有：P( AB)P(A)P(B)1.7解： (1) 昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對應(yīng)事件概率為：P(WE)P(W )P(E)P(WE)0.175- 2 -(2) 由于事件 W 可以分解為互斥事件 WE,WE ，昆蟲出現(xiàn)殘翅 , 但沒有退化性眼睛對應(yīng)事件概率為： P(WE )

5、 P(W ) P(WE ) 0.1(3) 昆蟲未出現(xiàn)殘翅, 也無退化性眼睛的概率為：P(W E )1P(WE)0.825.1.8解： (1) 由于 ABA, ABB ，故 P( AB)P( A),P( AB)P( B), 顯然當 AB 時 P(AB)取到最大值。最大值是0.6.(2) 由于 P( AB )P( A)P(B)P( AB) 。顯然當 P( AB)1時 P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.1.9解：因為P(AB) = 0，故P(ABC) = 0.A, B, C 至少有一個發(fā)生的概率為：P(ABC)P( A)P(B)P(C)P( AB)P(BC)P( AC)P(ABC )0.71.

6、10解（1）通過作圖，可以知道，P( AB )P( AB)P(B)0.3（2） P( AB)1P(AB)1(P(A)P( AB)0.6(3)由于P( AB)P( AB)1P(AB)1(P( A)P(B)P(AB)1 P( A) P(B) P(AB) P(B) 1 P(A) 0.71.11解：用 Ai 表示事件“杯中球的最大個數(shù)為i 個”i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有44464 種，每種放法等可能。- 3 -對事件 A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法34×3×2 種，故 P( A1)8(選排列：好比3 個球在 4 個位置做排列)。對事件 A3 ：必須三

7、球都放入一杯中。放法有4 種。 (只需從 4 個杯中選 1 個杯子，放入此 3個球，選法有 4 種 )，故 P( A3 )1。 P( A2)1 31916816161.12解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為36。 .出現(xiàn)點數(shù)和為“3”對應(yīng)兩個基本事件 （ 1， 2），（ 2， 1）。故前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為3的概率為 1 。18同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4，5 的概率各是 1 ,1 。129(1) 1.13解：從 10 個數(shù)中任取三個數(shù)，共有 C103120種取法，亦即基本事件總數(shù)為120。(1) 若要三個數(shù)中最小的一個是 5，先要保證取得 5，再從大于

8、5 的四個數(shù)里取兩個，取法有C426 種，故所求概率為1 。20(2) 若要三個數(shù)中最大的一個是5，先要保證取得 5，再從小于 5 的五個數(shù)里取兩個，取法有 C5210 種，故所求概率為1 。121.14解：分別用A1, A2 , A3 表示事件：(1) 取到兩只黃球 ; (2) 取到兩只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黃球 .則P( A1)C822814, P(A2)C4261 , P(A3) 1 P(A1) P(A2)16 。C1226633C1226611331.15- 4 -P(A B) B)P( AB) ( B B)解： P(A B) B)P(B)P(B)由于 P(BB)0P

9、( AB)P(A) P(AB)0.5，故 P(A B) B)P(B)P(B)1.16(1) P( A B); （ 2） P(A B);解：（ 1） P( AB)P(A)P(B)P(AB)1P(B)P(A B)10.40.50.8;（2） P(AB)P( A)P(B)P( AB)1P(B)P( A B)10.40.50.6;注意：因為 P( A B)0.5 ，所以 P(A B) 1P( AB) 0.5 。1.17解：用 Ai 表示事件“第 i 次取到的是正品”（ i1,2,3 ），則 Ai 表示事件“第i 次取到的是次品”（ i 1,2,3 ）。 P( A1 )153 ,P(A1A2)P( A1

10、) P( A2 A1)3142120441938(1) 事件“在第一、第二次取到正品的條件下, 第三次取到次品”的概率為：P( A3 A1 A2)5 。18(2) 事件“第三次才取到次品”的概率為：P( A1A2A3) P( A1 )P( A2 A1) P( A31514535A1A2 )1918228201（3）事件“第三次取到次品”的概率為：4此題要注意區(qū)分事件（ 1）、 (2）的區(qū)別，一個是求條件概率，一個是一般的概率。再例如，設(shè)有兩個產(chǎn)品，一個為正品，一個為次品。用Ai 表示事件“第i 次取到的是正品”（ i 1,2 ），- 5 -則事件“在第一次取到正品的條件下, 第二次取到次品”的

11、概率為：() 1；而事件P A2A1“第二次才取到次品”的概率為：P( A1A2) P( A1)P( A2 A1)1。區(qū)別是顯然的。21.18。解：用 Ai(i0,1,2) 表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)i ”。用 B 表示事件“從第二箱中取到的是次品”。則P( A0)C12266 ,P( A1)C121C2124 ,P(A2)C221 ,C 291C291C 291141414123P( B A0)12 ， P(B A1)12 ， P(B A2) 12 ，根據(jù)全概率公式，有：3P( B)P( A0) P( B A0)P( A1) P(B A1)P( A2 )P( B A2 )281

12、.19解：設(shè) Ai (i1,2,3) 表示事件“所用小麥種子為i 等種子”，B 表示事件“種子所結(jié)的穗有50 顆以上麥粒”。則 P(A1)0.92,P(A2 ) 0.05,P(A3 ) 0.03, P(B A1) 0.5， P(B A2 )0.15，P(B A3)0.1，根據(jù)全概率公式，有：P(B)P( A1)P(B A1)P(A2)P(B A2)P( A3)P(B A3)0.47051.20解：用 B 表示色盲，A 表示男性，則A 表示女性，由已知條件，顯然有：P( A)0.51, P( A )0.49, P(B A)0.05, P(B A)0.025, 因此：- 6 -根據(jù)貝葉斯公式，所求

13、概率為：P(AB)P( AB)P( A)P( B A)102P(AB)P(AB) P( AB)P(A)P(B A) P( A)P(B A)151P(B)1.21解：用 B 表示對試驗呈陽性反應(yīng)，A 表示癌癥患者，則A 表示非癌癥患者，顯然有：P( A) 0.005, P( A)0.995, P( B A) 0.95, P(B A)0.01,因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：P( AB)P(AB)P( A)P(B A)95P( AB)P(A)P(B A) P(A) P( B A)294P(B) P(AB) P( AB)1.22(1) 求該批產(chǎn)品的合格率 ;(2) 從該 10 箱中任取一箱 , 再從

14、這箱中任取一件 , 若此件產(chǎn)品為合格品 , 問此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少 ?解：設(shè)， B1 產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn) , B2 產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn) , B3 產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn) ,A 產(chǎn)品為合格品 ，則（1）根據(jù)全概率公式，P(A) P(B)P(AB )P(B)P(A B )P(B )P(A B ) 0.94 ，該批112233產(chǎn)品的合格率為 0.94.（2）根據(jù)貝葉斯公式，P(B1 A)P(B1)P(A B1)19P(B1)P( A B1) P(B2 )P(A B2) P(B3)P(A B3) 94同理可以求得 P( B A)27,P(B A)24 ，因此，從該10 箱中任取一箱 , 再從這箱

15、中任取234794一件 , 若此件產(chǎn)品為合格品, 此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：19,27,24。9494471.23- 7 -解：記 A=目標被擊中 ，則 P( A)1P( A)1(10.9)(10.8)(10.7)0.9941.24解：記 A4 =四次獨立試驗，事件A 至少發(fā)生一次 ， A4 =四次獨立試驗，事件A 一次也不發(fā)生 。而 P( A4 )0.5904 ，因此 P( A4)1P( A4 )P( AAA A)P( A)40.4096 。所以P( A)0.8, P( A1)10.80.2三次獨立試驗中 , 事件 A 發(fā)生一次的概率為： C31P( A)(1 P( A)23

16、 0.2 0.64 0.384 。二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補充：（ 10）加法公 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)式當 P(AB) 0 時， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（ 11）減法公當 B A時， P(A-B)=P(A)-P(B)式當 A= 時， P( B )=1- P(B)定義 設(shè) A、 B 是兩個事件，且P(A)>0 ，則稱 P( AB ) 為事件 A 發(fā)生條件下，事（ 12）條件概P( A)率件 B 發(fā)生的條件概率，記為P(B / A)P( AB) 。P( A)（ 16）貝葉斯P( Bi / A) nP(Bi )

17、P( A / Bi )， i=1 ， 2，, n。公式P( B j ) P( A / B j )j1此公式即為貝葉斯公式。- 8 -第二章隨機變量2.1X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2 解：根據(jù)P( Xk)1，得aek1 ，即ae 11。1 e1k 0k 0故 a e 12.3 解：用 X 表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù)，XB(2,0.7)用 Y 表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù), YB(2,0.4)(1) 兩人投中的次數(shù)相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=001122C

18、 20.700.32C 20.40 0.62C2 0.710.31C2 0.410.61C20.72 0.30C20.42 0.600.3124(2)甲比乙投中的次數(shù)多PX>Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=102021C 20.710.31C 20.400.62C 20.72 0.30C2 0.40 0.62C 20.7 20.30C 20.410.610.562812322.4 解 :（ 1） P1 X 3= PX=1+ PX=2+ PX=3=1515515121(2) P0.5<X<2.5=PX=1+ PX=2=1551511111 1(1

19、 ) k 12.5 解：（ 1） PX=2,4,6, ,=442242622k = lim32k114（2） PX 3=1 PX<3=1 PX=1- PX=2= 11112442.6 解：設(shè) A 表示第 i 次取出的是次品，X 的所有可能取值為0，1，2i- 9 -P X0P A1 A2 A3 A4P(A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2)P( A4 | A1 A2 A3) =18171615122019181719P X 1 P A1 A2 A3 A4 P A1A2 A3 A4 P A A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A41218171618217161818

20、2161817162322019181720191817201918172019181795P X21P X0P X1 1123231995952.6 解： (1)設(shè) X 表示 4 次獨立試驗中A 發(fā)生的次數(shù)，則XB(4,0.4)34P( X3)P(X 3)P( X4)C 40.430.61C4 0.44 0.600.1792(2)設(shè) Y 表示 5 次獨立試驗中A 發(fā)生的次數(shù)，則YB(5,0.4)345P( X3)P ( X3) P(X4)P(X 5)C 50.43 0.62C 50.4 40.61 C 5 0.450.6 00.317442.7 （1） X P()=P(0.5× 3

21、)= P(1.5)PX 01.50e 1.5 = e 1.50!（ 2） X P()=P(0.5× 4)= P(2)PX 2 1 PX 0 PX 1 120 e 221 e 21 3e 20!1!2.8 解：設(shè)應(yīng)配備m 名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則 X B(180,0.01) 。依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時維修的概率應(yīng)不小于0.99，即 P( Xm) 0.99 ，也即P( Xm1)0.01因為 n=180 較大， p=0.01 較小，所以X 近似服從參數(shù)為1800.011.8 的泊松分布。查泊松分布表，得，當m+1=7 時上式成立，得m=6。故應(yīng)至少配備6 名設(shè)備維修人

22、員。-10-2.9 解：一個元件使用1500 小時失效的概率為150010001000P(1000 X 1500)x 2dx1000x1500100013設(shè) 5 個元件使用1500 小時失效的元件數(shù)為Y，則 Y B(5, 1) 。所求的概率為32122380P(Y 2)C 5(3)(3)350.3292.10（1）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有80 萬千瓦時， 則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：11P0.8 X 10.812x(1x)2dx(6 x28x33x4 )|0.80.0272（2）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有90萬千瓦時，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：11P0.9 X 10.912 x(1

23、x) 2dx(6x28x33x4 )|0.90.0037222.11 解 :要使方程 x2Kx2K30 有實根則使(2K ) 4(2K 3) 0解得 K 的取值范圍為, 14, ,又隨機變量KU(-2,4)則有實根的概率為 1 (2)4 31p(2)3412.12 解： XP()= P()20010011e1 x 1001(1) P X 100e 200 dx200|01 e 20200111 x3（2） P X 300e 200 dxe 200e 2300 200|30030011x 300131e 200e 2e 2（3） P100 X 300e 200 dx|100100200-11-1

24、13P X 100,100 X 300P X100 P100 X300 (1e 2 )( e 2e 2 )2.13 解：設(shè)每人每次打電話的時間為X， XE(0.5)，則一個人打電話超過10 分鐘的概率為P( X10)0.5e 0.5 x dxe 0.5 xe 51010又設(shè) 282 人中打電話超過10 分鐘的人數(shù)為 Y，則YB(282,e5 )。因為 n=282 較大， p 較小，所以Y 近似服從參數(shù)為282e 51.9 的泊松分布。所求的概率為P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1e 1. 91.9e 1. 912.9e 1. 90.566252.14 解： (1) P( X105)(105 1

25、10 )(0.42)1(0.42)1210.66280.3372(2) P(100X120)(120110 )(100 110 )1212(0.83)(0.83)2(0.83) 120.796710.59342.15 解：設(shè)車門的最低高度應(yīng)為a 厘米， XN(170,62)P Xa1P Xa0.01P Xa( a170 )0.996a1702.336a184厘米2.19 解： X 的可能取值為 1,2,3。因為1)C4260.6；11；P( X3)0.1P( XC5310C5310-12-P( X2)10.60.10.3所以 X 的分布律為X12P0.60.3X 的分布函數(shù)為0 x 10.6

26、1 x 2F ( x)0.92x31x32.20(1)P Y0P X0.22P Y2 P X0P X 0.3 0.4 0.7PY 4 2 PX3 0.12Y020.20.7qi(2)P Y1 PX0P X0.30.40.7P Y1P XP X3 0.20.10.322Y-10.7qi2.21（ 1）30.1420.110.3-13-當 1x1 時， F ( x)P X10.3當 1 x2 時， F (x)P X1P X 1 0.3 P X 1 0.8P X10.8 0.30.5當 x2 時， F ( x)P X1 PX 1 PX2 0.8 PX 2 1P X2 1 0.80.2X-112P0.

27、30.50.2（ 2）P Y1P X1PX 10.3 0.5 0.8P Y2P X20.2Y12qi0.80.21x22.22X N (0,1)e 2f X (x)2（1）設(shè) FY(y)， fY ( y) 分別為隨機變量Y 的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則y1FY ( y) PY y P2 X 1 y P X2y 12x21e 2 dx2y12( y 1) 2()12y11對28yyfY ( y)e()ey ( , )FY的導(dǎo)數(shù)，得( )求關(guān)于2222（2）設(shè) FY(y)， fY ( y) 分別為隨機變量Y 的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則-14-當 y0時，()X 0yP YyP eyPFY當 y0

28、時，有1x2FY ( y) PY y P e Xy P X ln y P Xln ye 2 dxln y2對 FY ( y) 求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得(ln y) 21(ln y)212( ln y)e2fY ( y)e22y0y>0y0（3）設(shè) FY(y)， fY ( y) 分別為隨機變量Y 的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則當 y0時， F ( y) P Y y P X 2y P 0Y當 y>0 時， FY ( y) P Y y P X 2yy P y Xyyx21e 2 dx2對(yFY) 求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得1( y )21(y )21(ln y)22 ( y )e2 ( y)f

29、Y ( y)e2e222 y010x2.23 XU(0,) f X ( x)0 其它y>0y0（ 1）當2lny時FY ( y)P YyP2ln XyPln X 2yP0-15-當y2ln 時yFY (y) P Y y P2ln X y Pln X 2y P X 2ey P Xeye 201dx1y1yy 2 l n(e2 )e2對 FY ( y) 求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得到 fY ( y)202 l ny（ 2）當 y1或 y-1 時 ， FY ( y)PYyPcos XyP0當1y1時 , FY ( y)P YyPcos XyP Xarccos y1 dxarccosy對 FY ( y

30、) 求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得到111 y 1fY ( y)(arccos y)y210其它（ 3） 當 y1或 y0時FY(y)sin 0P YyPXyP當0y1時 ，F(xiàn)Y ( y) P Yy Psin X y P0 X arcsin y Parcsin y Xarcsin y 11dxdx0arcsin y對 FY ( y) 求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)，得到1120 y 1fY ( y)arcsin y( arcsin y)y 210其它-16-第三章 隨機向量33.1P1<X2,3<Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)=1283.2Y12X2022c3c234=c553310c3c42 =2c5513.4（ 1） a=9（ 2） 512（3）11y 111121yP( X ,Y)D0dy09(6xy)dx90(6y) x2x|0dy1112111321118890 (2y6 y 52)dy9(6y3y52y)|09 3273.5 解：（ 1）yxyx2 udu ( ev |0y )( e 2 u |0x ) (1 ey )(1 e 2 x )F ( x, y)02e (2 u v) dudve vdv 2e000（ 2）-17-x(2