微分差分方程習(xí)題

1、微分方程和差分方程作業(yè)題參考答案一、微分方程初值問(wèn)題(1) 用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(步長(zhǎng)h取0.1)，求解范圍 為區(qū)間 0,3 (2) 用 ode45 方法常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解 (近似解) ，然后利用畫(huà)圖來(lái)比較兩者間 的差異解1)代碼clearf=sym( 'y-exp(x)*cos(x)' );a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1;% n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1% i=1:nl1=subs(f,l2=subs(f,l3=subs(f,l4=subs(f,'x&

2、#39;,'y',x,y);'x','y',x+h/2,y+l1*h/2);'x','y',x+h/2,y+l2*h/2);'x','y',x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2),'dg-' );(2) 代碼fun=inline( 'y-exp(x)*cos(x)' , 'x' , 'y' );x,

3、y=ode45(fun,0,3,1) 兩個(gè)圖放在一起比較如下： 結(jié)論：通過(guò)對(duì)這個(gè)微分方程的兩種不同方法的求解，從圖形中可以看出，兩種方法所得 到的數(shù)值解大致重合，因此可以得出對(duì)于這個(gè)微分方程，用這兩種方法的效果大致一 樣。二、設(shè)初始時(shí)容器里盛放著含凈鹽 10千克的鹽水 100升，現(xiàn)對(duì)其以每分鐘 3升的速率注 入清水，容器內(nèi)裝有攪拌器能將溶液迅時(shí)攪拌均勻，并同時(shí)以每分鐘 2 升的速率放出鹽 水，求 1 小時(shí)后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽？ 解： 分析和建模設(shè)t時(shí)刻(單位為分鐘)容器中每升鹽水中所含凈鹽的百分比為x(t),考慮時(shí)間區(qū)間t,t t，并利用質(zhì)量守恒定律；t,t t內(nèi)容器中凈鹽量的變化等

4、于注入清水所含的凈鹽量減去放出鹽水中的凈鹽量。 用數(shù)學(xué)公式表示出來(lái)就是： 于是，令t 0，得：得到解為：x(t)(K 1)c(V t)這就是t時(shí)刻容器中凈鹽的百分比。因?yàn)?V=100升，K=2升/分鐘，當(dāng)t=0時(shí),x( 0) x° =0.1，因此 c=100000得到：x(t) 10A5* (100 t)一小時(shí)(t=60)后容器中的鹽水中含有的凈鹽為：(100+60)*x(60)=10A5*(100+60F(-2)= 3.90625千克所以1小時(shí)后容器里的鹽水中還含有 3.90625千克凈鹽。三. 早期腫瘤的體積增長(zhǎng)滿足 Malthus模型(dV V ,其中入為常數(shù))，(1)求腫瘤d

5、t的增倍時(shí)間c。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，一般有(7,465)(單位為天)，肺部惡性腫瘤的增倍時(shí)間大多大于70天而小于465天(發(fā)展太快與太慢一般都不是惡性腫瘤)，故c是確定 腫瘤性質(zhì)的重要參數(shù)之一(2)為方便起見(jiàn)，醫(yī)生通常用腫瘤直徑來(lái)表示腫瘤的大小，試t推出醫(yī)生用來(lái)預(yù)測(cè)病人腫瘤直徑增大速度的公式D D02丁. (3)正常人身上也有癌細(xì)胞，一個(gè)癌細(xì)胞直徑約為10卩m重約0.001卩g.,當(dāng)患者被查出患有癌癥時(shí)，通常直徑 已有1cm以上(即已增大1000倍)，由此容易算出癌細(xì)胞轉(zhuǎn)入活動(dòng)期已有30 c天，故如何在早期發(fā)現(xiàn)癌癥是攻克癌癥的關(guān)鍵之一。手術(shù)治療常不能割去所有癌細(xì)胞，故有時(shí)需 進(jìn)行放射療法。射線強(qiáng)度太

6、小無(wú)法殺死癌細(xì)胞，太強(qiáng)病人身體又吃不消且會(huì)使病人免疫 功能下降。一次照射不可能殺死全部癌細(xì)胞，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)可行的治療方案(醫(yī)生認(rèn)為當(dāng)體 內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)小于105個(gè)時(shí)即可憑借體內(nèi)免疫系統(tǒng)殺滅。解：( 1) dV VdtV= e t *c(其中c為常數(shù))當(dāng)t=0時(shí)V=Vtv= e *Vo當(dāng)V=2 Vo時(shí)c =ln2/ 入(2) V=1/6* n *D3c =ln2/ 入因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)D=D(3) 假設(shè)，不考慮每次放射性射線殺死的免疫細(xì)胞從而影響人體免疫系統(tǒng)功能的前提下，有一位癌癥病人的癌細(xì)胞的直徑為1cm,此癌癥病人的體內(nèi)含有的癌細(xì)胞的含量為106個(gè)，現(xiàn)在醫(yī)院要對(duì)病人進(jìn)行治療，打算用17/2 c天使癌癥

7、病人的體內(nèi)的癌細(xì)胞數(shù)目從原來(lái)的106個(gè)減少到體內(nèi)免疫細(xì)胞可殺死的水平，每?jī)纱畏派湫灾委煹臅r(shí)間間隔為1/2 c。決定用9次級(jí)放射性治療來(lái)使病人的癌細(xì)胞得到控制，為達(dá)到此目的每次治療要 用射線治療的射線強(qiáng)度為殺死癌細(xì)胞的x所需的射線量。根據(jù)假設(shè)條件，編寫(xiě)matlab程序clear;clc;for x=1:900000k=1000000-x;for i=1:9k=sqrt(2)*k-x;endif k<=100000breakendendxx=301006得出結(jié)論，病人每隔1/2 c天進(jìn)行一次放射性治療，每一次進(jìn)行放射性治療所用的射線量 時(shí)殺死301006個(gè)癌細(xì)胞的射線量四. 已知一種昆蟲(chóng)每?jī)?/p>

8、周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡(給除了變化過(guò)程的基本規(guī)律)。孵化 后的幼蟲(chóng)2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的成蟲(chóng)平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵發(fā)育 成2周齡成蟲(chóng)的概率為0.09，(稱為成活率)，2周齡成蟲(chóng)發(fā)育成4周齡成蟲(chóng)的概率為0.2。(1) 假設(shè)開(kāi)始時(shí)，02，24， 46周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目相同，計(jì)算2周、4周、6周后各種周 齡的昆蟲(chóng)數(shù)目；(2) 討論這種昆蟲(chóng)各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目的演變趨勢(shì)：各周齡的昆蟲(chóng)比例是否有一個(gè)穩(wěn)定 值？昆蟲(chóng)是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡？(3) 假設(shè)使用了除蟲(chóng)劑，已知使用了除蟲(chóng)劑后各周齡的成活率減半，問(wèn)這種除蟲(chóng)劑是否 有效？由題目的意思，分別設(shè)2周齡蟲(chóng)，4周齡蟲(chóng)，6周齡蟲(chóng)的數(shù)目為一個(gè)單

9、位所以2周齡蟲(chóng)，4周齡蟲(chóng)，6周齡蟲(chóng)的初值分別為1，1，1設(shè)兩周為一個(gè)觀察單位，設(shè) x；(n 1,2,3) 表示第k個(gè)時(shí)間單位2n齡幼蟲(chóng)的數(shù)目建立 函數(shù)模型：(1) 計(jì)算計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目的 matlab程序clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;x1=L*x0;x2=L*x1;x3=L*x2;x1'x2'x3'得出一個(gè)單位下個(gè)蟲(chóng)分布蟲(chóng)周齡2周齡蟲(chóng)4周齡蟲(chóng)6周齡蟲(chóng)兩周后2500.090.2四周后3922.50.02六周后2252.73.514.52)各周齡的昆蟲(chóng)比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值 為簡(jiǎn)化計(jì)算，

10、令z在比例中的值為1 用matlab編程求出個(gè)周齡在90100這個(gè)時(shí)間段的值 以z的值為一個(gè)單位，求x, y的和z的比、 用matlab編程擬合此蟲(chóng)的數(shù)目比clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X (2) ;z=X (3);for k=2:1001X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endfor i=100:200x(i)/z(i),y(i)/z(i)end得出的結(jié)果大都分布在m =547.7538 15.6954所以三種蟲(chóng)的比值為547.75 : 15.7

11、: 1 為恒定的值用matlab編程擬合此蟲(chóng)的數(shù)目演變趨勢(shì) clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X (2) ;z=X (3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endt=0:10;figure plot(t,x,'r-') figure plot(t,y,'b-') figure plot(t ,z, 'g:')由此程序的到蟲(chóng)演變發(fā)展趨勢(shì)的折線圖 產(chǎn)生的結(jié)果如以下三幅圖 二周齡蟲(chóng)的演變發(fā)展

12、趨勢(shì) 見(jiàn)下圖四周齡蟲(chóng)的演變發(fā)展趨勢(shì) 見(jiàn)下圖六周齡蟲(chóng)的演變發(fā)展趨勢(shì) 見(jiàn)下圖 由以上三幅圖，可以觀察得出昆蟲(chóng)無(wú)限增長(zhǎng)。(3) 如果使用了殺蟲(chóng)劑，那么各周齡的昆蟲(chóng)成活率減為原來(lái)的一半設(shè)兩周為一個(gè)觀察單位，設(shè)xn(n 1,2,3) 表示第k個(gè)時(shí)間單位2n齡幼蟲(chóng)的數(shù)目建立函數(shù)模型變?yōu)椋?根據(jù)題意編寫(xiě)matlab程序得出三幅昆蟲(chóng)演變趨勢(shì)圖clear; clc;xO=1;1;1;L=0 100 150;0.0045 0 0;0 0.1 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X (2) ;z=X (3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);end

13、t=0:10;figure plot(t,x,'r-') figure plot(t,y,'b-') figure plot(t ,z, 'g:') 得到下面三幅圖片 二周齡蟲(chóng)的演變發(fā)展趨勢(shì) 見(jiàn)下圖四周齡蟲(chóng)的演變發(fā)展趨勢(shì) 見(jiàn)下圖六周齡蟲(chóng)的演變發(fā)展趨勢(shì) 見(jiàn)下圖五購(gòu)房貸款問(wèn)題李四夫婦計(jì)劃貸款30萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一套房子，他們打算用20年的時(shí)間還清貸款。目前，銀行的貸款利率是0.6%/月。他們采用等額本息還款的方式(即每月的還款額相同)償還 貸款。1. 在上述條件下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計(jì)需要付多少利息？2. 在貸款 10年零 7 個(gè)月后，他們認(rèn)為他

14、們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還 貸，那么他們?cè)谝阎Ц?10年零 7 個(gè)月的還款額后的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)，才能 將余下全部的貸款還清？3. 如果在第 4 年初，銀行的貸款利率由 0.6%月調(diào)到 0.5%月，他們?nèi)匀徊捎玫阮~ 還款的方式，在余下的 17 年內(nèi)將貸款還清，那么在第 3 年后，每月的還款額應(yīng)是多少？4. 又如果在第 8 年初，銀行的貸款利率由 0.5%月調(diào)到 0.8%月，他們?nèi)匀徊捎玫?額還款的方式，在余下的 13年內(nèi)將貸款還清， 那么在第 7年后，每月的還款額應(yīng)是多少？5. 銀行調(diào)整利率以后，在貸款 10年零 7 個(gè)月時(shí)，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下 的款額，打算提

15、前還貸，那么他們?cè)谝阎Ц?10年零 7 個(gè)月的還款額后的某天，應(yīng)一次付 給銀行多少錢(qián)，才能將余下全部的貸款還清？6. 李四夫婦發(fā)現(xiàn)銀行提供了 6 種不同的還款方式 : 等額本息還款法 :是指在貸款期內(nèi)每月以相等的金額平均償還貸款本息的還款方法； 等額本金遞減法 :是指在貸款期內(nèi)每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減的還 款方法； 等額遞增還款法 :是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi)每期 還款額有一個(gè)固定增加額，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法； 等額遞減還款法 :是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi)每期 還款額有一個(gè)固定減少額，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額

16、相等的還款方法； 等比遞增還款法 :是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi)每期 還款額呈一固定比例遞增，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法； 等比遞減還款法 :是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi)每期 還款額呈一固定比例遞減，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法。李四夫婦認(rèn)為，隨著他們工作經(jīng)歷的增長(zhǎng)，家庭收入也會(huì)隨著增長(zhǎng)，因此，打算采用 等額遞增還款法的還款方式來(lái)償還貸款，具體的辦法是：每5年為一個(gè)時(shí)間段，后一個(gè)時(shí)間段比前一個(gè)時(shí)間段每月多還 400 元。在此情況下， 如果貸款利率還是 0.6%月，那么， 第 1 個(gè)時(shí)間段的每月還款額是多少？以后各時(shí)間段的每月

17、還款額又是多少？共計(jì)付了多少 利息？在貸款 10年零 7 個(gè)月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還 貸，那么他們?cè)谝阎Ц?10年零 7 個(gè)月的還款額后的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)，才能 將余下全部的貸款還清？7. 在 6 提出的等額遞增還款法方式下， 在第 4 年初，銀行的貸款利率由 0.6%月 調(diào)到 0.5%月，又如果在第 8 年初，銀行的貸款利率由 0.5%月調(diào)到 0.8%月，那么以 后各時(shí)間段的每月還款額分別是多少？在貸款 10 年零 7個(gè)月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能 力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們?cè)谝阎Ц?10年零 7個(gè)月的還款額后的某天， 應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)

18、，才能將余下全部的貸款還清？8. 綜合上述問(wèn)題， 請(qǐng)你們?yōu)槔钏姆驄D （實(shí)際上是打算貸款購(gòu)房的人） 寫(xiě)一份短文， 幫助他們分析各種方法的利弊（1）建立模型，每月還款的數(shù)額為x，設(shè)在t（t=1到240）月欠銀行的錢(qián)為kt，那么 在t+1月，欠銀行的錢(qián)為kt+i=kt X1.006-X，依照題目的意思，x應(yīng)該是在100030000中 的一個(gè)數(shù)值，依照題意，當(dāng)t=240時(shí)kt的值為0,根據(jù)分析，編出Matlab 程序：clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:239k=1.006*k-x;endif k<=0breakendendx得出x = 23

19、48(2) 根據(jù)上一問(wèn)得出的結(jié)果x=2348,計(jì)算當(dāng)每月還2348元時(shí)，過(guò)了 10年7個(gè)月后，還 欠銀行的錢(qián)數(shù)即可clear;clc;x=2348;k=300000-x;for i=1:126k=1.006*k-x; kend得出結(jié)果:k =192266.63過(guò)了 10年7個(gè)月后，還欠銀行的錢(qián)數(shù)為192266.63元，所以在這時(shí)，他要還銀行的錢(qián)數(shù) 為 192266.63(3) 在4月初銀行的利率做出了調(diào)整，只需把還款的20年分成兩個(gè)時(shí)間段，第一個(gè)時(shí)間段為最初的三年，后一個(gè)時(shí)間段為后面的204個(gè)月，在求出每月需要還的錢(qián)數(shù) x即可根據(jù)前面的描述，以matlab程序來(lái)求x的值clear; clc;f

20、or x=1000:30000k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:204k=1.005*k-x;endif k<=0breakendendxx = 2205所以當(dāng)利率在第四年初出作出調(diào)整時(shí)，每月應(yīng)還的錢(qián)數(shù)是2205(4) 在4年初和底8年初銀行的利率做出了調(diào)整，只需把還款的 20年分成三個(gè)時(shí)間段, 第一個(gè)時(shí)間段為最初的三年，第二個(gè)時(shí)間段為后面的 47年，其余為第三部分，在求出 每月需要還的錢(qián)數(shù)x即可根據(jù)前面的描述，以matlab程序來(lái)求x的值clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:35k

21、=1.006*k-x;endfor i=1:48k=1.005*k-x;endfor i=1:156k=1.008*k-x;endendx求出x的值為：x = 2424(5) 在4年初和底8年初銀行的利率做出了調(diào)整，只需把還款的20年分成三個(gè)時(shí)間段,第一個(gè)時(shí)間段為最初的三年，第二個(gè)時(shí)間段為后面的47年，其余為第三部分，根據(jù)上 一問(wèn)得出的結(jié)果x=2424,計(jì)算當(dāng)每月還2348元時(shí)，過(guò)了 10年7個(gè)月后，還欠銀行的錢(qián)數(shù) k即可clear;clc;x=2424;k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:48k=1.005*k-x;endfor i=1:4

22、3k=1.008*k-x;endk得出結(jié)果:k = 179662.665s為所需支付的利(6) 1.根據(jù)提議用每月遞增的方法還錢(qián)，以五年為一個(gè)周期，設(shè) 息，5=總還錢(qián)數(shù)-30萬(wàn)，m是以400為公差的項(xiàng)數(shù)為4的等差數(shù)列根據(jù)題目編寫(xiě)程序clear;clc;for m=0:30000x=m;s=0;k=300000/1.006;for n=1:4x=x+400;for i=1:60k=1.006*k-x;s=s+x; endendif k<=0 break end end s=s-300000 for i=0:3 m=x-i*400 ends=305280x =3122 2722 2322 19222.若在10年7個(gè)月還欠款kclear;clc;k=300000/1.006;x=1922,2322,2722,3122;for n=1:4for i=1:60 k=1.006*k-x( n);if n*60+i=127breakendendendk