線性代數(shù)補(bǔ)考模擬卷答案

1、線性代數(shù)一2010年下半年補(bǔ)考模擬題答案、填空題（每小題 3分，共18 分）1.用行列式性質(zhì)計(jì)算:x y x + yy x + y x =.17 / 13解：考察知識點(diǎn)：行列式性質(zhì)，包括最常見的初等變換（初等行變換3種，哪3種？對行列式變化有何影響？）111x x y= 2(x +y)0xx y= 2(x + y)'-y -x0-y-x2二 2(xy)( _x xy _ y233、)=-2(xy )xyx + y2(x + y)2(x + y)2(x+y)'八111yx + yx=yx + yx=2(x + y)yx+ yxx + yxyx + yxyx + yxy其中：（1）

2、將第二、三行加到第一行；（2）提出第一行的公因子；分別加到第三行和第四行。（3）將第一行依次乘以-y,-（x+y）,注意：行列式的性質(zhì)非常重要，一定要熟練掌握，靈活應(yīng)用。2.排列123456789的逆序數(shù)為0 .解：一定要理解記住逆序數(shù)的定義。按順序來，從第一個(gè)元素到最后一個(gè)元素, 都拿它與后面的元素進(jìn)行比較，結(jié)果進(jìn)行累計(jì)。第一個(gè)元素為1,后面的元素均比它大，故有 0個(gè)逆序；第二個(gè)元素為2,后面的元素都比它大，同樣有 0個(gè)逆序；依此類推。得出每個(gè)元素，與其后面的元素進(jìn)行比較，都沒有逆序出現(xiàn)，故逆序數(shù)為0+0+0=03.已知向量：1 二 4,2,1 ,： 2 =(0,1,6),： 3 =(8,9

3、,-10)，貝 y -2-2 .（2叮）2=解：考察向量的四則運(yùn)算r 8、 s -2口2 +(口2叮)口2 =(4,2,1 )-2(0,1,6) +(0,1,6)9 )(0,1,6)廠10丿二 4,0, -11(一51)(0,1,6)-.4,0, -11 -(0,51,306) =(4,-51,-317)沁0 1)(-1 5) 口4設(shè) A =, 8=，貝VJ 0丿<3 10丿AB =；A21 = 。(其中n為自然數(shù))。解：考察矩陣間的乘積運(yùn)算和幕運(yùn)算。直接根據(jù)定義計(jì)算即可(310、AB=，廠15丿在求幕方時(shí)，由于指數(shù)是抽象的，所以必須找出規(guī)律，因?yàn)锳 =I2為單位矩陣，則由單位矩陣性質(zhì)知

4、對 P矩陣P,則PI =p<0 1丿二 A3 =A,A4 = A2 =1 所以，得出規(guī)律當(dāng)幕指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則結(jié)果其實(shí)就是單位矩陣，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)<0 1果就是A本身，故A2n+= 0'.J 0丿5.設(shè)n階矩陣A非奇異(n 一2)，A*是A的伴隨矩陣，貝U (A*)*解：A* = AAl(A*)* = AA4(AAj)4= (A)n若這樣看起來比較復(fù)雜，則可以令 A= A A = B* *_4 j I4(A ) =B = B B =|A A (AA )n=(A)A = ( A)n<A則有:結(jié)果其實(shí)是一樣的，只是看起來容易理解一點(diǎn)6設(shè)1, 2,s是非齊次線性方程組Ax二b

5、的解，ki 1 k2ks s也是Ax =b的解，則k1,k2,ks應(yīng)滿足的關(guān)系為k1 k J|l k。解：由題目條件得有Aq = b,i =s，要使得kjj+k?十+ kss也是解 則應(yīng)該有：A(ki i k2ks sb，而我們知，A(K 1k22 川kss)=kiA1k?A2ksAs =(Kk2HIks)b二 b因此，要求k1 k J11 ks = 1二、選擇題(每小題 3分，共27分)k k +21.式0的充分必要條件是(C)。k+3 2k+10A、k -1 B、k - -6 C、k - -6且 k = 1 D、k - -6或 k -1解:直接計(jì)算得2k+10二 k(2k 10)-(k 2

6、)(k 3) = (k 6)(k-1)= 0=k = -6 且 k =1，選 C2設(shè)代B, A B以及A-B均為n階可逆矩陣，則(A，- B，)等于(C)A、A，B，B、A B C、A(A B)B D、(AB)解：考察矩陣的逆運(yùn)算。A的逆必須滿足AA二a'*A=I，(Aj'-A。選項(xiàng)A中，(A BJ)(A4 Bj(A4 B)2不會(huì)恒等于I ;選項(xiàng) B 中(A B)(A4 B)= aA BA4 AB，BB =21 BA，AB，不恒等于I ;同理運(yùn)算D,不是答案；選項(xiàng)C中，設(shè)A(A - B)4B的逆為P,要證P 即為A B ，(A(A B)_B)P =1 = (A B)，BP 二

7、A* ： BP = (A B)A，二 P =B(A B)A4 =B"*AA4 BBA -B4 A斗二(A(A B)4B)(A" B"* I，即(A B*) 為 A(A B)B，選 C3. 設(shè)n階方陣A,B,C滿足關(guān)系式ABC =1，其中I是n階單位矩陣，則必有(D)。A、ACB =1 B、CBA = I C、 BAC = I D 、 BCA = I解：同樣考察矩陣，包括逆矩陣、矩陣乘積等運(yùn)算。由于ABC =1，般我們有ppi =pp =I，因此題目我們可以得出有以下兩種結(jié)果：(AB)C =C(AB) =1A(BC) =(BC)A =1將與之四個(gè)選項(xiàng)對比，明顯選 D

8、。4. 已知P,Q為n階正交矩陣，則下列為錯(cuò)誤的是( A )A、|Q|=1B、PQ也為正交矩陣C qT hQ”d、|Q|解：考察正交矩陣的性質(zhì)，看教材 P188:由性質(zhì)1和正交矩陣行列式值有兩種可能，1或-1，故A錯(cuò)；由性質(zhì)3知PQ也為正交矩陣，故B正確；由性質(zhì)2知QT，而我們知|Q|=|Q十，因此C項(xiàng)與D項(xiàng)均正確，答案選Ao5. 下列所指明的各向量組中,(B )中的向量組是線性無關(guān)的A. 向量組中含有零向量B. 任何一個(gè)向量都不能被其余向量線性表出C. 存在一個(gè)向量可以被其余向量線性表出D. 向量組的向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)解：考察線性相關(guān)和無關(guān)的性質(zhì)。首先，零向量與任何向量都是線性相關(guān)的，因

9、此線性無關(guān)的向理組中不可能有零 向量，A錯(cuò)；定理3.7，教材P132,向量組線性相關(guān)充要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合，即至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出 (見P124定義3.5 ), 其逆否定題為：任何一個(gè)向量都不能被其余向量線性表出則是線性無關(guān)， B正確; C中是使得定理3.5線性相關(guān)成立的條件，故錯(cuò)誤；D中，向量組的維數(shù)即等于向量組的秩，即是其極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，若 向量組的向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)， 說明極大無關(guān)組不是向量組本身，而只是其 子集，說明向量組線性相關(guān)，D錯(cuò)誤，選擇Bo6. 下列敘述中，錯(cuò)誤的有(C )A、若向量、丄與卩正交，則對于任意實(shí)數(shù)a, b,

10、a與b -也正交B若向量：與向量r,2都正交，貝U :與r, 2的任一線性組合也正交C若向量、£與正交，則、一與中至少有一個(gè)零向量D若向量:-與任意同維向量正交，則 :-是零向量解：對于 A,因：=0，則(a T)(b - ) = ab(T J = 0對于 B,因=0，： T 0，貝u(kv1Tk2：T)1=k*i-k2： J二 KOk20 = 0對于C,設(shè)=(1,0)T, (0,1)T,則:【=0，但是：與均為非零向量，C錯(cuò)。對于 D,設(shè) G =(Xi,X2,，Xn)T,可=(1,0,0,，0)T ,則a'i=Xi=0，同理可證x2 = X3二二xn = 0，故、；是零向量

11、。選Co7. 設(shè)A, B為n階矩陣，且 代B相似，則以下錯(cuò)誤的是( CA、r(A)=r(B) ；B、A=B ;C、A, B有相同的特征向量；D A, B有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。解：考察相似的定義及相關(guān)性質(zhì)，教材 P117相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列 式值，但不一定有相同的特征向量，因此，明顯選Co8. 若A是m n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組 Ax=b所對應(yīng)的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正 確的是(DA、若Ax =0僅有零解，則 Ax =b有惟一解；B、若Ax =0有非零解，則 Ax =b有無窮多個(gè)解；C、若Ax =b有無窮多個(gè)解，則 Ax=0

12、僅有零解；D若Ax =b有無窮多個(gè)解，則 Ax=0有非零解。解：考察Ax =0與Ax =b之間的關(guān)系，請參看教材第三章第五節(jié)。同時(shí)要注意到Ax二0有解時(shí),Ax二b未必有解.因?yàn)锳x二b解的形式為：一個(gè)特解+ Ax=0的基礎(chǔ)解系，當(dāng)然它也可以無解；若Ax=0僅有零解，等價(jià)于Ax=0只有唯一解，即基礎(chǔ)解系就為零，因此Ax=b要么無解，要么解的形式：一個(gè)特解 +0 (即唯一解)，因此A錯(cuò)；若Ax=O有非零解，即基礎(chǔ)解系不等于 0,則Ax=b要么無解，要么解的形式: 一個(gè)特解+ Ax=0的非零基礎(chǔ)解系，即有無窮多解，因此 B錯(cuò)；反過來，若Ax =b有無窮多個(gè)解，則解的形式必為：一個(gè)特解 + Ax=0的

13、非零基9.設(shè)向量組:-1礎(chǔ)解系，因此Ax =0有非零解，故C錯(cuò)，選D。二2 =( -1,1, 一 1,3), ： 3 =(5,-2,8,-9),： 4 =( 一 1,3,1,8)，則其極大線性無關(guān)組為（1宀，3A 1,2,3, >4>1,解:考察極大線性無關(guān)組的定義及求解, 設(shè) A = :11-15-1、1-15-P'1-15-1、11-2302-74702-743-181 、02-7470000<13-98<04-149<0001A =T 25-J ：'4進(jìn)行初等行變換100<0-12005-700-1410720010272001

14、6;其中：倍加到第三行，第一行的（-1）（1）將第一行的（-1）倍加到第二行，第一行的（-3） 倍加到第四行；(2)(3)(4)(5)將第二行的（-1）倍加到第三行，第一行的（-2 ）倍加到第四行； 互換第三行和第四行；將第二行除以2;將第三行加到第一行；第三行的（-2 ）倍加到第二行；第二行加到第一行；由于矩陣的初等變換不改變其列向量的線性關(guān)系，故得該向量組有兩個(gè)極大線 性無關(guān)組，分別為冷，2,4或冷，（實(shí)際上，上式只需化簡到（2）后面的矩陣（記為B）即可.對矩陣B,通過觀察可 知.）因此，只有選項(xiàng)C符合答案，故選C。100.1.0 $.0b2三、(8分)計(jì)算行列式：+¥¥

15、;kf4400 .1bn0 1 . 0第二行乘以(-a2)加到最后一行亠-2<4.I.0 0 . 1bn0 0 . an -qbi -a2b2依此類推，作如下的初等行變換第三行乘以(-a3)加到最后一行第四行乘以(-a4)加到最后一行第n行乘以(-an)加到最后一行10 .0b10+1 .i.0hb2i+00 .I-.1Rbn00 .0-玄初-a?b2 -.二-曲-妙2 -anbnn二-' Qbi &aa? an 010 .0bi10 .0bi01 .0b201 .0b2亠>1第一行乘以(-a.)加到最后一行-+1I-:lJjhr卜 hbFl!I-00 .1bn00

16、 .1bna1a?an00a?an-a1b1解：考察行列式的計(jì)算，期間最多用到的就是初等行變換的性質(zhì)。10 .0b1b2442四、（10分）已知矩陣A -2I。試求矩陣C 。-20、(121-2，B =2-1-2°1I-202、0，又C = A-ABAB),1解：C 二 A(ABA B)二 AABAABr12-2、廣2-20、r_24-4、BA =2-10-21-2=:6-52<-201 ><0-2°V42°因此，要先求BA14則(BA| I)一51.;第一行乘以3加到第二行-10第一行乘以蘭加到第三行T 0-6第二行乘以* 6加到第三行7T-2

17、一4-10第三行乘-74第三行乘以10加到第二行第二行除以7-4-1-2-1-3-6-7-21第一行除以-2-1-1-232-1-1-23廣-2C=BA-(BA)=642-5-23"252-3729274五、(10 分)已知向量組二 1,1,12 二 1,2,3，:匕二 1,3, k .(1) 試求k為何值時(shí)，向量組 S,：、線性相關(guān)？(2) 試求k為何值時(shí)，向量組 S,：、線性無關(guān)？ 當(dāng)向量組123線性相關(guān)時(shí)，將：3表示為：1和2的線性組合。解：設(shè)有數(shù)組 k1, k2, k3，使得匕：j k2> 2 k3 ： 3 = 0寫成方程組即等價(jià)于:k1 k2 k3 = 0k1 2k2

18、 3k3 = 0k1 3k2 亠 kk3 = 0則以X= k2為未知量的齊次線性方程組，其系數(shù)矩陣的行列為：<k3丿1 1 1D=1 2 3 =k -5，13 k（1）k =5= D = 0，則方程組不是僅有唯一解，即有非零解，因此向量組1,2,>3線性相關(guān)（2） 當(dāng)k式5=DH0，則齊次線性方程組有唯一解，此解必為零解，即X= k2=0©此時(shí)，向量組1，2，3線性無關(guān)(3)當(dāng)k=5時(shí)，向量組線性相關(guān)，貝U系數(shù)矩陣的秩小于3,為廣 111、1A =123初等行變換0135l0因此有以下方程成立:11、50-1、12初等行變換01200l000«譏=0k2 2k0

19、則可取k3為自由未知量，取k3=1，則有k-2,k1因此即：冷-22比3 =0因此將-3表示為r和 2的線性組合為：>3 -2 2為 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1六、（12分）已知線性方程組X2 X3 + 2 X4 X5 = 12x! 3x2 x3 4x4 花=33x1 5x2 x3 7x4 x5 = 5求：（1 ）對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系；（2）該方程組的通解。解：對方程組的增廣矩陣作初等變換，具體過程如下:廣10111-1121-11、1第一行乘以/加到第三行 第一行乘以-3加到第四行<10111-1121-11 '1(A| b)=>231413

20、01-12-11051715丿<02-24-22丿(111111'第二行乘以 第二行乘以-1加到第三行-2加到第四行01-12-11、000000<000000>n02第二行乘以-1加到第一行017000e00-12 02-110000 0 0 7（1）從而得出對于齊次方程組 AX=0來講，有X1 二-2x3 x 2x5X2 * _2X4 X5嚴(yán) +2X3 X4 +2X5 =0X2 -X32人-X0兩個(gè)等式，五個(gè)未知量，故讓X3,X4,X5為自由變量，故為求基礎(chǔ)解系，分別令從而求得基礎(chǔ)解系:ZX1 '2 '，Z-2XX21-21X1 =X31,X2 =00X40101°丿3丿J丿故齊次線性方程組解的形式為X :X2X3X4兇=C1X1 C2X2 ； C3X3 二Ci3<1、1-2)1-211+ c20+ C30010<0>U丿（2）要求得線性方程組的解，需先求一個(gè)特解，我們由'