復雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法.

1、復雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法在物理競賽過程中經(jīng)常遇到，無法直接用串聯(lián)和并聯(lián)電路的規(guī)律求出整個電路電阻的情況，這樣的電路也就是我們說的復雜電路，復雜電路一般分為有限網(wǎng)絡(luò)和無限網(wǎng)絡(luò)。那么，處理這種復雜電路用什么方法呢？下面，我就結(jié)合自己輔導競賽的經(jīng)驗談?wù)剰碗s電路的處理方法。一：有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上講解決復雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個自然的結(jié)論：（ 1）對電路中任何一個節(jié)點，流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個閉合回路，都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。1：對稱性簡化所謂的對稱性簡化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對稱性簡化等效電阻的計算

2、。它的效果是使計算得以簡化，計算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來完成。在一個復雜的電路中，如果能找到一些完全對稱的點，那么當在這個電路兩端加上電壓時，這些點的電勢一定是相等的，即使用導線把這些點連接起來也不會有電流（或把連接這些點的導線去掉也不會對電路構(gòu)成影響），充分的利用這一點我們就可以使電路大為簡化。例（ 1）如圖 1 所示的四面體框架由電阻都為R的 6 根電阻絲連接而成，求兩頂點 A 、B 間的等效電阻。圖1圖2分析 :假設(shè)在 A 、B 兩點之間加上電壓，并且電流從 A 電流入、 B 點流處。因為對稱性，圖中 CD 兩點等電勢，或者說 C、 D 間的電壓為零。因

3、此， CD 間的電阻實際上不起作用，可以拆去。原網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使問題迎刃而解。解：根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖 2 所示的簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由串、并聯(lián)規(guī)律得RAB=R/2例（ 2）三個相同的金屬圈兩兩正交地連成如圖所示的形狀，若每一個金屬圈的原長電阻為 R，試求圖中 A 、B 兩點之間的等效電阻。圖3圖4圖5分析：從圖 3 中可以看出，整個電阻網(wǎng)絡(luò)相對于AB 的電流流入、流出方式上具有上下對稱性，因此可上下壓縮成如圖所時的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖 4 所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從 A 點流到 O 電流與從 O 點到 B 電流必相同；從 A1 點流到 O 電流與從 O 點到 B1 電流

4、必相同。據(jù)此可以將 O 點斷開，等效成如圖 5 所示的簡單網(wǎng)絡(luò)，使問題得以求解。解：根據(jù)以上分析求得 RAB=5R/48例（ 3）如圖 6 所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是R。求 A、G 之間的電阻是多少？分析 : 假設(shè)在 A 、G 兩點之間加上電壓時，顯然由于對稱性D、 B、 E 的電勢是相等的， C、F、H 的電勢也是相等的，把這些點各自連起來，原電路就變成了如圖 7 所示的簡單電路。解 :由簡化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得RAG=5R/6（同學們想一想，若求A 、F 或 A 、E 之間的電阻又應(yīng)當如何簡化？）如圖8 所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中，每一小段電阻均為R，試求例（ 4）在A 、B 之間

5、的等效電阻RAB 。圖 8 圖9圖10圖11分析 :由于網(wǎng)絡(luò)具有相對于過 A 、B 對角線的對稱性，可以折疊成如圖 9 所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電勢點之間可以拆開也可以合并的思想簡化電路即可。解法 (a：簡化為如圖 9 所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將 3、O 兩個等勢點短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖 10 所示的簡單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得RAO=ROB=5R/14RAB= RAO+ROB=5R/7解法 (b：簡化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的 O 點上下斷開，如圖 11 所示，最后不難算得RAB=5R/72：電流分布法設(shè)定電流 I 從網(wǎng)絡(luò) A 電流入， B 電流出。應(yīng)用電流分流思

6、想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點之間不同路徑等電壓的思想，建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流 I 的比例關(guān)系，然后選取 A 到 B 的某一路經(jīng)計算 A 、B 間的電壓，再由 RAB=UAB/IAB 即可算出 RAB例：有如圖12 所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求A 、B 之間的電阻 RAB分析：要求 A 、B 之間的電阻 RAB 按照電流分布法的思想，只要設(shè)上電流以后，求得 A 、B 間的電壓即可。圖 12解：設(shè)電流由 A 流入， B 流出，各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得I2=I-I1I3=I2-I1=I-2I1A、 O 間的電壓，不論是從AO 看，還是從 ACO 看，都應(yīng)該是一樣的，因此I

7、1(2R=(I-I1R+(I-2I1R解得 I1=2I/5取 AOB 路徑，可得 AB 間的電壓UAB=I1*2R+I4*R根據(jù)對稱性I4=I2=I-I1=3I/5所以 UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RAB=UAB/I=7R/5這種電流分布法事實上已經(jīng)引進了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3：Y變換復雜電路經(jīng)過 Y 變換，可以變成簡單電路。如圖 13 和 14 所示分別為 網(wǎng)絡(luò)和 Y 網(wǎng)絡(luò)，兩個網(wǎng)絡(luò)中得 6 個電阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個網(wǎng)絡(luò)完全等效呢 ?所謂完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=UcaIa=IA,Ib=IB,Ic=IC在 Y 網(wǎng)

8、絡(luò)中有IaRa-IbRb=UabIcRc-IaRa=UcaIa+Ib+Ic=0圖13圖14解得 Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa在網(wǎng)絡(luò)中有IAB=UAB/RABICA=UCA/RCAIA=IAB-ICA解得 IA= （UAB/RAB ）-（ UCA/RCA ）因為要求 Ia=IA ，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa=（UAB/RAB ） -（ UCA/RCA ）又因為要求 Uab= UAB ，Uca= UCA 所以要求上示中對應(yīng)項系數(shù)相等，即RAB=(RaRb+RbRc+R

9、cRa/ Rc -（ 1）RCA=(RaRb+RbRc+RcRa/ Rb-（ 2）用類似的方法可以解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa/ Ra-(3(1、（ 2）、（ 3）三式是將 Y 網(wǎng)絡(luò)變換到網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在 (1、（ 2）、（ 3）三式中將 RAB 、 RBC、 RCA 作為已知量解出 Ra、Rb、 Rc 即可得到Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA-（ 4）Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA -（5）Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA -（6）(4、（ 5）、（ 6）三式是將網(wǎng)絡(luò)變換到 Y 網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。例（ 1）求如圖 15 所示雙 T

10、 橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻RAB 。圖15圖16分析：此題無法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解，需要將雙 T 橋網(wǎng)絡(luò)中兩個小的元變換成兩個小的 網(wǎng)絡(luò)元，再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。Y 網(wǎng)絡(luò)解 :原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16 所示的網(wǎng)絡(luò)，由此可以算得RAB=118/93 例（ 2）有 7 個電阻同為 R 的網(wǎng)絡(luò)如圖 17 所示，試求 A 、B 間的等效電阻 RAB 。圖17圖18解：將 Y 網(wǎng)絡(luò) O-ABC 變換成網(wǎng)絡(luò)如圖 18 所示其中 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa/ Rc=5RRBC=(RaRb+RbRc+RcRa/ Ra=5R/2RCA=(RaRb+RbRc+RcRa/ Rb=5R這樣就是一個簡單電路了

11、，很容易算得RAB=7R/54：電橋平衡法圖 19如圖 19 所示的電路稱為惠斯通電橋，圖中 R1、 R2、R3、R4 分別叫電橋的臂， G 是靈敏電流計。當電橋平衡（即靈敏電流計的示數(shù)為零）的時候，我們稱之為電橋平衡。這時有I1=I2, I3=I4, I1RI=I3R3, I2R2=I4R4有這些關(guān)系可以得到R1/R2=R3/R4上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡化對稱性不明顯的電路，十分方便。例 :有 n 個接線柱，任意兩個接線柱之間都接有一個電阻 R 求任意兩個接線柱之間的電阻。圖 20分析：粗看本題根本無法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識，則能十分方便得求解。解：如圖 20 所示，設(shè)

12、想本題求兩接線柱 A 、 B 之間的等效電阻，根據(jù)對稱性易知，其余的接線柱 CDE- 中，任意兩個接線柱之間的電阻無電流通過，故這些電阻都可以刪除，這樣電路簡化為 :A 、B 之間連有電阻 R，其余（ n-2）個接線柱之間僅有電阻分別與 A 、B 兩點相連，它們之間沒有電阻相連。即1/RAB=1/R+1/2R/(n-2所以 RAB=2R/n二：無限電阻網(wǎng)絡(luò)無限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無限網(wǎng)絡(luò)和面型無限網(wǎng)絡(luò)，下面我們就這兩個方面展開討論1：線型無限網(wǎng)絡(luò)所謂 “線型 ”就是一字排開的無限網(wǎng)絡(luò)，既然研究對象是無限的，就可以利用 “無限 ” 這個條件，再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問題。例（1）

13、如圖所示的電路是一個單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個電阻的阻值都是 R，求 A 、B 之間的等效電阻 RAB .圖 21解：因為是 “無限 ”的，所以去掉一個單元或增加一個單元不影響等效電阻即 RAB 應(yīng)該等于從 CD 往右看的電阻 RCDRAB=2R+R*RCD/(R+RCD=RCD整理得 RCD2-2RRCD-2R2=0解得： RCD=（1+31/2）R= RAB例（ 2）一兩端無窮的電路如圖 22 所示，其中每個電阻均為 r 求 a、b 兩點之間的電阻。圖22圖23解：此電路屬于兩端無窮網(wǎng)絡(luò)，整個電路可以看作是由三個部分組成的，如圖所示，則Rab=(2Rx+rr/(2Rx+2r即是無窮網(wǎng)絡(luò)， b

14、b1 之間的電阻仍為Rx則 Rx=（31/2-1）r代入上式中解得Rab=（6-31/2） *r/6例（ 3）電阻絲無限網(wǎng)絡(luò)如圖 24 所示，每一段金屬絲的電阻均為 r，求 A 、 B 之間的等效電阻 RAB .圖 24圖25圖26解 :根據(jù)對稱性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那根無限長的電阻絲中 各點等勢，故可以刪去這根電阻絲，這樣原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖 25 所示的網(wǎng)絡(luò)。又因為網(wǎng)絡(luò)相對 AB 連線具有左右對稱性，故可以折疊成如圖 26 所示的網(wǎng)絡(luò)，再利用例（ 1）的方法可得RCD=REF=Rx即 Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3/(Rx+r/3解得： Rx=(3+211/2r/6RAB=(2r*Rx/3/

15、(2r/3+Rx=2(211/2r/212：面型無限網(wǎng)絡(luò)解線性無限網(wǎng)絡(luò)的指導思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復性，而解面型無限網(wǎng)絡(luò)的指導思想是利用四個方向的對稱性。例（ 1）如圖 27 所示是一個無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是 R 求相鄰的兩個結(jié)點 A 、B 之間的等效電阻。分析：假設(shè)電流 I 從A 點流入，向四面八方流到無窮遠處，根據(jù)對稱性，有 I/4 電流由 A 點流到B 點。假設(shè)電流 I 經(jīng)過無限長時間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到 B 點后流出，根據(jù)對稱性，同樣有I/4電流經(jīng) A 點流到 B 點。圖 27解 :從以上分析看出， AB 段的電流便由兩個 I/4 疊加而成，為 I/2 因此 UAB=(I/2*r A、 B 之間的等效電阻RAB=UAB/I=r/2例（ 2）有一無限平面導體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖 28 所示。所有正六邊型每邊的電阻均為 R0，求間位結(jié)點 a、b 間的電阻。分析：