大數(shù)賽《解析幾何》第五章培訓(xùn)講義.

1、大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解析幾何培訓(xùn)講義第五章二次曲線的一般理論一、本章知識脈絡(luò)框圖一般式方程二次曲線的方程雙線性式方程矩陣式方程兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn)兩個(gè)重合的實(shí)交點(diǎn)直線與二次曲線 兩個(gè)共軛的虛交點(diǎn)的相關(guān)位置惟一實(shí)交點(diǎn)沒有交點(diǎn)直線在二次曲線上二次曲線按中心分類二次曲線的中心、漸近方向及漸近線二次曲線按漸近方向分類二次曲線的直徑及共軛直徑、主方向及主直徑用坐標(biāo)變換化簡二次曲線的化簡用不變量化簡二、本章重點(diǎn)及難點(diǎn)二次曲線屬于平面解析幾何的內(nèi)容。 在中學(xué)我們已經(jīng)對二次曲線的各種具體表現(xiàn)形式做了比較多的研究，如橢圓、雙曲線、拋物線等。在這一章，我們主要是對所有的二次曲線作一個(gè)一般理論上的研究。本章的重點(diǎn)是：二次曲線

2、與直線的交點(diǎn)；二次曲線按中心分類、二次曲線按漸近方向分類；二次曲線的中心、漸近方向和漸近線、主方向和主直徑；化簡二次曲線 .本章的難點(diǎn)是：主方向和主直徑；化簡二次曲線 .利用二次曲線的不變量解決有關(guān)問題.三、本章的基本知識要點(diǎn)1. 將二次曲線的一般方程表示為雙線性式：F ( x, y)xF1( x, y) yF2 (x, y)F3 ( x, y) 0其中 F ( x, y) a11 x 22a12 xya22 y 22a13 x2a23 ya33F1 ( x, y) a11 x a12 y a13F2 ( x, y) a12 x a22 y a23F3 (x, y)a13 xa23 ya33也

3、可以表示成短陣形式：xF ( x, y)x, y,1 A y01a11a12a13其中矩陣 A 是一個(gè)對稱矩陣Aa21a22a23 , aija jia31a32a33xx0tX代入二次曲線的方程中，得到2. 將直線 l :yy0tY( x, y)t 22 F ( x0, y0) XF( x, y)Y t F ( x , y) 0120000其中 ( x, y) a11 x 22a12 xya22 y 2記F1(x0,y0)X F2(x0,)2(,)(x0,y0) 0y0 YXYF通過方程的系數(shù)的討論，直線與二次曲線的位置關(guān)系如下：（ 1）( x, y)0,>0直線與二次曲線有兩個(gè)不同的

4、實(shí)交點(diǎn)（ 2）( x, y)0,=0有一對相重合的實(shí)交點(diǎn)（ 3） ( x, y)0, 0沒有實(shí)交點(diǎn)（ 4） ( x, y) 0, XF1 (x0 , y0 )YF2 (x0 , y0 ) 0直線與二次曲線只有一個(gè)實(shí)交點(diǎn)（ 5）( x, y)0, XF1 (x0 , y0 )YF2 ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0直線與二次曲線沒有實(shí)交點(diǎn)（ 6）( x, y)0, XF1 (x0 , y0 )YF2 ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0直線落在曲線上3. 在二次曲線上一點(diǎn) Mo(x。， y。 ) 處的切線方程xF1 ( x0 , y0 )yF2

5、 (x0 , y0 )F3 ( x0 , y0 )04.滿足( X , Y)0 的方向X ,Y稱為二次曲線的漸近方向，按漸近方向可以將二次曲線分成三類：（ 1） I 2 >0：橢圓型、（ 2） I 2 =0：拋物型（ 3） I 2 0：雙曲型其中 I2a11a12a21a225. 滿足F1(x0 , y0 )0F2(x0 , y0 )的點(diǎn) (x 。，y。 ) 稱為二次曲線的中心，按中心也可以將二次曲0線分為三類：（1）I20 ：中心曲線（ 2） a11a12a13：無心曲線a12a22a23（ 3） a11a12a13：線心曲線a12a22a23F1 ( x0 , y0 )06. 滿足F

6、2 ( x0 , y0 )0 的點(diǎn) (x 。，y。) 稱為二次曲線的奇異點(diǎn)，二次曲線在奇異點(diǎn)的F3 ( x0 , y0 )0切線不確定 .7. 二次曲線的直徑是二次曲線的對稱軸（ 1)中心曲線無實(shí)的漸近方向，對任意方向X,Y 的直徑為XF1 ( x, y) YF2 (x, y) 0（ 2）無心曲線的直徑平行于曲線的漸近方向（ 3)線心曲線只有一條直徑： a11 x a12 ya13 08. 二次曲線的與非漸近方向 X : Y 共軛的直徑方向X : Y(a12 Xa22Y ) : (a11 X a12Y) 叫做非漸近方向X : Y 的共軛方向，具有共軛方向的直徑稱為共軛直徑 .9. 與共軛方向垂

7、直的方向稱為主方向，具有主方向的直徑稱為主直徑.X : Y 成為二次曲線的主方向的條件是a11 Xa12YX 1)a12 Xa22Y(5Ya11a120由特征方程a22a12即 2I1I 20 解出再代入 (5 1) 就可求出曲線的主方向. 其中I 1a11a2210. 化簡二次曲線的方程（ 1）用坐標(biāo)變換化簡二次曲線的方程如果曲線為中心二次曲線可以求出中心作新坐標(biāo)系的原點(diǎn)進(jìn)行移軸消去二次曲線方程的一次項(xiàng)， 然后再通過使轉(zhuǎn)角滿足 cot 2a11a22的轉(zhuǎn)軸變換消去二次曲線方程的交2a12叉項(xiàng)；如果曲線是無心曲線，則先作使轉(zhuǎn)角滿足 cot 2a11 a22 的轉(zhuǎn)軸變換消去二次2a12曲線方程的

8、交叉項(xiàng)，然后再通過對方程配方的方法找出移軸公式進(jìn)行移軸化簡方程；如果曲線是線心曲線，可以通過分解因式的方法化簡.利用轉(zhuǎn)軸來消去二次曲線方程的xy 項(xiàng)，它有一個(gè)幾何意義，就是把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到與二次曲線的主方向平行的位置. 這是因?yàn)槿绻吻€的特征根確定的主方向?yàn)閄 : Y ，那么由(5 1) 可以得Ya12a11tana22a12X21a121tan2a22cot 22 tana122a22所以a12a111a22a12a11a222a122a12a22因此，上面介紹的通過轉(zhuǎn)軸與移軸來化簡二次曲線的方程，實(shí)際上是把坐標(biāo)軸變換到與二次曲線的主直徑 （即對稱軸） 重合的位置 . 如果是中心曲線， 坐

9、標(biāo)原點(diǎn)與曲線的中心重合；如果是無心曲線， 坐標(biāo)原點(diǎn)與曲線的頂點(diǎn)重合； 如果是線心曲線， 坐標(biāo)原點(diǎn)可以與曲線的任何一個(gè)中心重合 . 因此，二次曲線的方程的化簡，只要先求出曲線的主直徑，然后以它作為坐標(biāo)軸，作坐標(biāo)變換即可 .(2) 用曲線的不變量和半不變量化簡二次曲線的方程在直角坐標(biāo)變換下， I 1 , I 2 , I 3 都是不變量；K 10 是半個(gè)不變量所以可以通過二次a11a12a13曲線的系數(shù)矩陣 A 求出二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程其中I 3a21a22a23a31a32a33如果曲線為中心二次曲線，從特征方程2I 1I 20 求出1 ，2 就可以寫出曲線的簡化方程為 1x 22 y2I 30 .

10、I 2如果曲線是無心曲線，簡化方程為I 1 y 22I 3x0 .I 1如果曲線是線心曲線，簡化方程為I 1 y 2K 10 .I 1四、基本例題解題點(diǎn)擊【例 1】作轉(zhuǎn)軸變換， 消去二次曲線x 2xyy22x4y0中的 xy 項(xiàng)，求轉(zhuǎn)角.【解】 因?yàn)樽魇?cot 2a11a22 的轉(zhuǎn)角就可以消去二次曲線方程中的xy 項(xiàng)2 a12所以 cot 2110 ，14【例 2】 求二次曲線3x22xy3y 24x4y 40 的簡化方程 .【提示 】因?yàn)橹灰笄€的簡化方程，不要求畫圖 . 因此可以用二次曲線的不變量來解.【解】 因?yàn)?I23180 ，所以曲線為中心曲線 .13312I1 3 3 6,I3

11、13264224從特征方程2I 1I 20 即2680 求出12 ， 24簡化方程為1 x22 y2I 30 ，解得簡化方程為x 22y 24 0I 2【例 3】 作移軸變換，消去中心二次曲線x22xy2 y 22x4 y0 中的一次項(xiàng)，求新原點(diǎn)的坐標(biāo) .【解】 因?yàn)?I21110 ，所以曲線為中心曲線 .12只要求出曲線的中心作新坐標(biāo)系的原點(diǎn)進(jìn)行移軸就可以消去二次曲線方程的一次項(xiàng).解方程組xy100，1）.x2y2求得曲線的中心坐標(biāo)為（0【例 4】 如果二次曲線 x26 xy ay 23x 9 y40 是線心曲線，求a 的值 .【解】 因?yàn)槎吻€為線心曲線的充要條件是a11a12a13a1

12、2a22.a23所以 133293a2求出 a9【例 5】 求二次曲線x 2 + 2xy + y 2 + 3x + y = 0 的漸近方向 .【解】 因?yàn)闈M足(X ,Y) 0的方向 X,Y就稱為二次曲線的漸近方向所以只要解方程X 22 XYY 20 就可以求得二次曲線的漸近方向因此已知二次曲線只有一個(gè)的漸近方向X:Y 1: 1【例 6】.求二次曲線 xyy22x3y10 對于方向1, 1 共扼的直徑【解】 將二次曲線表示成矩陣形式：0112x13x, y,11y02231112由方程組10y 12310xy22解出中心坐標(biāo)為 (1,2)設(shè)與方向 1, 1共軛的方向?yàn)閄 ,Y由共軛方向之間的關(guān)系

13、得1 X3 Y022所以 X,Y3,1因此二次曲線的對于方向1,1 共扼的直徑為x1y231【例 7】求二次曲線 4x 24xyy 28x8y 4 0 的主方向和主直徑 .【解】 二次曲線的矩陣形式為424xx, y,1214y04441由于 I24220 ，所以該曲線為非中心曲線 .1由特征方程4225(5) 021解出15,20. 分別將15,20代入線性方程組4i2X i021Yii解出對應(yīng)的主方向?yàn)?,1 ， 1,2. 其中1,2是漸近主方向 .因此曲線只有一條主直徑，方程為2(4x2y4)(2xy4)0即 10x 5 y 40【例 8】設(shè)二次曲線 a11x22axya22y22a13

14、x2a23ya330表示兩條平行直12線，證明這兩條直線的距離為d 4K1 .I12【證明】 因?yàn)槎吻€表示兩條平行直線，故有I 2I 30, K 1 0，從而該曲線為線心曲線，其簡化方程為I 1 y 2K 10 ，即 yK1 與 yK 1I 1I 12I12所以兩直線的距離為 d 2K14K1 .I12I 12五、擴(kuò)展例題解題點(diǎn)擊【 例1 】證 明 二 次 曲 線 x 2xyy 22x4y0 為 中 心 二 次 曲 線 ， 且 直 線7xy20 通過該中心?！咎崾尽縄 20 曲線就是為中心二次曲線. 求出中心坐標(biāo)代入直線方程，如果滿足直線方程，那么該直線就通過中心.【例2】證明二次曲線(a

15、xbyc)20 上的每一點(diǎn)都是奇異點(diǎn)【提示】 用奇異點(diǎn)的定義【證明】 二次曲線可以表示為a2abacxx, y,1 abb2bcy0acbcc21由于對于二次曲線上的點(diǎn)(x,y)，下面各方程F1 (x, y)a 2 xabyaca(axbyc)0F2 (x, y)abxb 2 ybcb(axbyc)0F3 (x, y)acxbcyc 2c(ax by c) 0是恒等式，故任意的（x,y ）都成立，所以二次曲線( axby c) 20 上的每一點(diǎn)都是奇異點(diǎn) .【例 3】 求二次曲線 2x253y23xy20的漸近線 .xy【解】 二次曲線可以表示成短陣形式25322x5x, y,131y0221

16、13222由方程組2x5 y30225 x3 y1022解出中心坐標(biāo)為 (13 , 19)4949又由 (,Y)2X25XY320，解得漸近方向?yàn)閄YX1:Y11: 2, X2 :Y23 : 1x13y19x13y194949 和4949因此漸近線為2131【例 4】 求平面直角坐標(biāo)變換將二次曲線x22xy y 22x y0 化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程 .【提示】 有兩個(gè)方法化簡.一個(gè)是轉(zhuǎn)軸移軸分別作；另一個(gè)是求出主直徑就可以求出坐標(biāo)變換公式化簡方程.下面給出一個(gè)解法.【解】 二次曲線的矩陣形式為111xx, y,1 111y021 1102由于 I1112,I 211，所以該曲線為非中心曲線 .101由

17、特征方程22(2)0解出12,20. 分別將12,20 代入線性方程組1i1X i011iYi解出12, 對應(yīng)的主方向?yàn)?,1因此曲線只有一條主直徑，方程為(xy 1)( xy1) 032即 xy04315) ，所以過曲線的頂點(diǎn)且以非漸近求出主直徑與曲線的交點(diǎn)，即曲線的頂點(diǎn)為(,1616主方向?yàn)榉较虻闹本€為x3y1591616 即 xy08113這也是過頂點(diǎn)垂直于主直徑的直線，取主直徑x0 為新坐標(biāo)系的x 軸，而過y94頂點(diǎn)垂直于主直徑的直線 xy0 為 y軸作坐標(biāo)變換，它的變換公式為8xy9x8 ,2xy3y4 ,2解出 x, yx2 x2 y3 ,2216y2 x2 y15 ,2216代入

18、已知方程，經(jīng)過整理得2y 22 x02化為標(biāo)準(zhǔn)方程y 22x4【例 5】 已知二次曲線的方程為x 22xyy 22x2 y3 0 .證明： 1. 二次曲線為線心曲線2. 二次曲線的簡化方程為2y 240 .【證明】 1. 二次曲線的方程為x22xyy22x2 y3011111I 2111010,I31113由于 I 2I 30 ，所以曲線表示.線心曲線2.I 12, K111118簡化方程為 I 12 y 2 K101313I1即 2y 240【例 6】證明以直線 A1 xB1 yC10為漸近線的二次曲線方程總能寫成( A1 x B1 y C1 )( Ax Bx C ) D 0【證明】 設(shè)以直

19、線 A1 xB1 yC10為漸近線的二次曲線方程為F ( x, y)a11 x22a12 xy a22 y 22a13 x 2a23 ya33 0它的漸近線方程為( xx0 , yy0 )0其中 ( x0 , y0 ) 為曲線的中心，因?yàn)? x x0 , y y0 ) 是關(guān)于 xx0 , y y0 的二次齊次式，所以它可以分解成兩個(gè)一次式之積，從而有(xx0 , yy0 ) = ( A1 x B1 y C1 )( Ax Bx C )(xx0 , yy0 ) = a11 ( x x0 )22a12 ( x x0 )( y y0 ) a22 ( y y0 ) 2 =a11 x 22a12 xya2

20、2 y 22(a11x0a12 y0 ) x2(a12 x0a22 y0 )a11 x022a12 x0 y0a22 y02因?yàn)?( x0 , y0 ) 為曲線的中心，所以a11 x0a12 y0a13 , a12 x0a22 y0a13令 (x0 , y0 )a33D 代入上式得F ( x, y) = ( x x0 , y y0 ) D即 F (x, y) = (A1x B1 y C1 )( Ax Bx C ) D故以直線 A1 xB1 yC10為漸近線的二次曲線方程可寫成：( A1 x B1 y C1 )( Ax Bx C ) D 0【例 7】試證明二次曲線兩個(gè)不同特征根確定的主方向相互垂

21、直.【證明】 設(shè) 12 ，由它們確定的主方向分別為X1:Y1與 X2: Y2 ，則有a11 X 1a12Y11 X 1 與 a11 X 2a12Y22 X 2a12 X 1a22Y11Y1a12 X 2a22Y22Y21X1 X21Y1Y2( a11 X1a12Y1 ) X 2 (a12 X1a22Y1 )Y2所以 ( a11 X 2a12Y2 ) X1(a12 X 2a22Y2 )Y12X2X12Y2Y1故有( 12)(X1X2Y1Y2 ) 0因?yàn)?12 ，所以 X1X2Y1Y20 ，故兩個(gè)主方向X1:Y1與 X2:Y2相互垂直 . 【例 8】試證二次曲線 a11 x 22a12 xya22 y 22a13 x2a23 ya330 是一個(gè)實(shí)圓的充要條件是 I 124I2,I1I 30.【證明】 因?yàn)閳A為橢圓的特例，故二次曲線是一個(gè)實(shí)圓的充要條件是I2 >0，I1I30，且簡化方程1 x22 y 2I 30中的12 ，所以特征方程2I 1I 20 的判別式I 2I 124I 20 . 所以有 I124I2 ，此時(shí)有 12I 1 .2因此方程又可簡化為x2y 22I 3I1I2由于 I2 >0， I1I30可得2I 3 >0 ，曲線為實(shí)圓 .I1I2故該二次曲線是一個(gè)實(shí)圓的充要條件是I 124I2,I1I30.六、本章訓(xùn)練題及提示【訓(xùn)練題1】已知二次