傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析課件

1、4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6能量譜和功率譜能量譜和功率譜4.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.9 取樣定理取樣定理4.8 LTI4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 基本信號基本信號e j t作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 一般信號一般信號f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )的求法的求法 無失真?zhèn)鬏斉c濾波無失真?zhèn)鬏斉c濾波 傅

2、里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對周期信號：對周期信號：對非周期信號：對非周期信號：de)(21)(tjjFtf其其基本信號基本信號為為 ej t一基本信號基本信號e j t作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當激勵是角頻率，當激勵是角頻率的基本信號的基本信號ej t時，其響應(yīng)時，其響應(yīng) tthhtyjj)(jede)(de)()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為H(j )，稱為系統(tǒng)

3、的，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。的幅度和相位隨頻率變化情況。y(t) = h(t)* ej t二、一般信號二、一般信號f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )可定

4、義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換換Y(j )與激勵與激勵f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱為稱為幅頻特性幅頻特性（或（或幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)）；）；( ( ) )稱為稱為相相頻特性頻特性（或（或相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)）。）。 H(j ) 是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 傅里葉變換法傅里葉變換法對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法周期信號周期信號ntjnnntjnnTjnHFthFtfthtye)(e*)()

5、(*)()(若若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH則可推導出則可推導出10)(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnHAHAtyntjnnTFtfe)(例例頻域分析例頻域分析例例：例：某某LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 H(j ) 和和( ( ) )如圖，如圖，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|H(j)|()10- -1001- -解法一：解法一：用傅里葉變換用傅里葉變換F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0)

6、 + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) e ej(j( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 +2sin(5t)解法二：用三角傅里葉級數(shù)解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率的基波角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5

7、t)三、頻率響應(yīng)三、頻率響應(yīng)H(j )的求法的求法1. H(j ) = F h(t) H(j ) = Y(j )/F(j )（1）由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉）由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。變換。（2）由電路直接求出。）由電路直接求出。 例例2 2例例1 1頻率響應(yīng)例頻率響應(yīng)例1例例1：某系統(tǒng)的微分方程為某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)時的響應(yīng)y(t)。解：解：微分方程兩邊取傅里葉變換微分方程兩邊取傅里葉變換j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 2j1)(j)(j)(jFYHf(t) = e-t(

8、t)1j1)(jFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 例例2 ：電路如圖所示，激勵為：電路如圖所示，激勵為us(t)= (t)，求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)uc(t)。 +CR_+us(t)_uC(t)解：電路頻率響應(yīng)函數(shù)為解：電路頻率響應(yīng)函數(shù)為Cj1RCj1)j (U)j (U)H(jSC 激勵的傅里葉變換激勵的傅里葉變換 j1)()t ()(jUSF F jRC1jRC1電路零狀態(tài)響應(yīng)電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為 j1)(j)j (U)j (H)(jUSC j1j1)(取傅里葉逆變換得取傅里葉

9、逆變換得 uC(t)=F F 1UC(j )=(1 et) (t)根據(jù)交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應(yīng)函根據(jù)交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)，由數(shù)，由H(j )可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?？汕蟮孟到y(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波 系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類： 信號的傳輸信號的傳輸 濾波濾波傳輸傳輸要求信號盡量要求信號盡量不失真不失真，而，而濾波濾波則濾去或削弱則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著不需要有的成分，必然伴隨著失真失真。 1 1、無失真?zhèn)鬏?、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：定義：信號信號無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏斒侵?/p>

10、系統(tǒng)的輸出信號與是指系統(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有輸入信號相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出現(xiàn)時間的先后不出現(xiàn)時間的先后不同，同，而沒有波形上的變化。即而沒有波形上的變化。即 輸入信號為輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為其頻譜關(guān)系為 Y(j )=Ke j tdF(j ) (2)無失真?zhèn)鬏敆l件：無失真?zhèn)鬏敆l件：系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j )的要求是：的要求是： (a)對對h(t)的要求的要求： h(t)=K (t td) (b)對對H(j )的要求的要

11、求： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td即即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)纳鲜鍪切盘枱o失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐肜硐霔l件。當傳輸有限帶條件。當傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。相頻特性滿足以上條件即可。 4.9 4.9 取樣定理取樣定理 信號的取樣信號的取樣 取樣定理取樣定理 取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用全可以用離散樣本值離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)表示。

12、這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號?？梢哉f，取樣定理可以說，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。 一信號的取樣信號的取樣 所謂所謂“取樣取樣”就是利用就是利用取樣脈沖序列取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信從連續(xù)信號號f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列離散樣本值離散樣本值的過程。的過程。 這樣得到的離散信號稱為這樣得到的離散信號稱為取樣信號取樣信號fs(t) 。 它是對信號進行它是對信號進行數(shù)字處理數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。

13、的第一個環(huán)節(jié)。 脈沖序列脈沖序列數(shù)字處理過程：數(shù)字處理過程：需要解決的問題：需要解決的問題：Fs(j)與與F(j)的關(guān)系的關(guān)系由由fs(t)能否恢復(fù)能否恢復(fù)f(t)?1理想取樣（周期單位沖激取樣）nnnSnTttts)()(j)()()(sssTS nSnFTFttfF)j(1 j21 jssTsSSF FnnTtnTfttftf)()()()()(ssTsS f(t)F(j) (m 1An=A-n 偶函數(shù)偶函數(shù)nn 數(shù)奇奇函函2、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學推導。負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學推導。負頻率與正頻率成對出現(xiàn)負頻率與正頻率成對出現(xiàn)。tjnnneFtf

14、)(的偶函數(shù)）（nAFFnnn21njnneFF22,.2, 1, 0,)(1TTtjnnndtetfTF的奇函數(shù)）（nnnnnn0,0,3、周期信號的頻譜12nFnA nnFF 雙邊幅度頻譜為偶函數(shù)雙邊幅度頻譜為偶函數(shù)雙邊相位頻譜為奇函數(shù)雙邊相位頻譜為奇函數(shù)nn三角形式的傅里葉級數(shù)需統(tǒng)一用余弦函數(shù)表示；三角形式的傅里葉級數(shù)需統(tǒng)一用余弦函數(shù)表示；如果如果F Fn n為實數(shù)，將兩張圖合為一張，相位體現(xiàn)于正負：為實數(shù)，將兩張圖合為一張，相位體現(xiàn)于正負：。相位為相位為，相位為，相位為, 000 nnFF2、周期矩形脈沖的頻譜、周期矩形脈沖的頻譜)(tfOtTET 22( )dTjntTnFf t e

15、tT221SaEnT2TnSaTEtjnntjnnntjnneTnSaTEenSaTEeFtf)()2()(nF OET2 25T圖中頻譜特點頻譜特點2B頻帶寬度dtetfjFtj)()( dejFtftj )(21)(2Sa)(tg0,1)(ejtt1)(tj2)sgn(tjt )( EE24.常用信號的傅里葉變換的性質(zhì))()(. 5jFtf ftF2 ajFaatf 1;e00tj)j(F)tt (f )( jFe )t (f tj00 )j(Fj)t (f d jtFjfF 0 djFd)t (tfj ; 2121 jFjFtftf jFjFtftf212121 對稱性對稱性尺度尺度時移時移頻移頻移時域微、積分時域微、積分頻域微分頻域微分卷積定理卷積定理附錄5 常用函數(shù)的傅氏變換傅里葉級數(shù)的指數(shù)形