恒成立高中數(shù)學(xué)恒成立專題解法總結(jié)

1、、曲線恒過定點(diǎn)問題有關(guān)含有參數(shù)的曲線方程的恒成立問題是學(xué)生普 遍感到困難的問題參數(shù)與主變元交錯在一起，目標(biāo)不 明確，將參數(shù)別離岀來，可使問題明朗化.例12 a- 3b= 1,證明直線與+ by二5恒 過定點(diǎn)證明：由la - 3 b 1 ，得相二3Z? + I打代入直線 方程后別離參數(shù)b,得(x- 1 ()丿 + b( 3x + 2y) = (1亠亠丁 J -V-10=010?由方程組解幫3x+ 2y= 0y= - 15.二方程仏- 1 0； + b( 3x + 2y) - 0表示經(jīng)過兩直 線龍- 10=()與3x+ 2y= 0的交點(diǎn)f 10, - 15丿的直線 系方程.故直線欣+ by= 5在

2、2“ - 3心1時恒過定點(diǎn) (10? - 15；.直線mx-y+2m+1=0經(jīng)過一定點(diǎn)，那么該點(diǎn)的坐標(biāo)是A (-2 , 1) B (2, 1) C (1, -2) D (1, 2)1 例2 己知動圓-20= 0,取任何實(shí)數(shù)值，動G相切.C: X+ v 一 4rrv + 2av + 20a a R,定圓(；2； X 2+ j-2= 4 f 1 ；證明不管 aG恒過一個定點(diǎn)"2丿求礙使圓證明 1丿將圓Ci屮的參數(shù)“別離出來，得 + J. - 20 = 6 有一解2y- 4x+ 20= 0工+-2()j +a(2y- 4.r +20) =0_/方程組工二丄了二-2.二f半)式表不過直線2y

3、 - 4x + 20= 0與圓X ' + y、20的交點(diǎn)/4, - 2丿的圓系方程.G不管口取任何實(shí)數(shù)值恒過定點(diǎn)故動(屯一 2幾、方程恒有解問題別離參數(shù)法源于函數(shù)思想.化歸思想-在含有參數(shù) 的方程屮，將參數(shù)視為主變元的函數(shù)假設(shè)能通過適當(dāng)?shù)?恒等變形，使方程一端化成只含參數(shù)的解析式，而另一 端為與參數(shù)無關(guān)的主變元的函數(shù).函數(shù)關(guān)系就由衣隱T 轉(zhuǎn)化為'顯J我們只要能求出主變元函數(shù)的值域，那么參 數(shù)的取值范圍便可以確定了.例3關(guān)于兀的方程9 + (4+ a)才+ 4= 0恒有 解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：別離參數(shù)島得(4+ a)= 3* + t3'* f 4+ a) 4,.即

4、一8.當(dāng)a C- 8時方程恒有解(x = logs2時取，于丿 此例充分表達(dá)了別離參數(shù)法的優(yōu)越性，顯然要比 篥判別式賴法簡捷丁且不易出錯.例4 關(guān)于。的方程sin0- acosfi + 2盤- 3= 0恒 有解，求實(shí)數(shù)口的取值范圍.解j原方程等價于J 1 + a2 si n( 9 -k= 3- 2和(其屮t呂4二-門人別離參數(shù)a.得3- 2a匸sinf94鬥.T I sin("9+ 幼I <1,二2 J3J C a C6+ 2 Ji).范用遛象直線)可得上述結(jié)論等價于或!IL的取逍范圍在即城<0<f(n) <0大于故有及幾關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變 量另

5、個作為常數(shù)乜顯然可將尸視作自變 量，那么上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2,2內(nèi)關(guān)于分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母三、不等式恒成立1、一次函數(shù)一、一次函數(shù)型給定一次函數(shù)v=/(x)=ax4 SHC& 假設(shè) yf(x)在網(wǎng)剛內(nèi)恒有/Xi) >0*叮.根據(jù)函數(shù)的i.迥設(shè)條件答價于不 曲 A 0 隹 * / L *例L對于滿足啊£2的所有實(shí)數(shù)弘求 便不等式嚴(yán)412尸+戈恒成立的例1.對于滿足p2的所有實(shí)數(shù)卉求 使不等式?4+|>2?+.r恒成立的r的取值I時毬設(shè)條件等倚于不等盤u L即0工) u 在 k ,的2j > 0+掃ZQ JI1-旳*剜問題可轉(zhuǎn)化為 .2/上恒成立.

6、I- QT.則問錘叮轉(zhuǎn)化為 2上恒成立.>/ -aj < (h ft 內(nèi) < ay(m) X)Jy-ni) >0f(.n) >0=2 as A 0 且 M (L 2/ _t恒或立 MS即 h( 2j < a芋S >0 即口2> >0x>3 或 X<1P的一次函數(shù)大于0恒成立的問題n 略解：不等式即(一1)卩+/-2|丸,設(shè) f(p) = (x 1)p+x22x+1,那么/傘)在-2,2上恒例J關(guān)于*的不辭式1/2- z" 0 在應(yīng)哥八2；上巡成立.求賓竝"的取值范 圈.分?jǐn)?平等式1O0- m Y O在區(qū)間

7、上悄成立"等價于不等式1怦2- di ! <葉罪-f L, 2J恒成芷 M當(dāng)Ov 辱式2亠ax A 上怛成立令力工i -> 0 莊 JC £ / I綜合，門討耳町冉。弋fl < V注 本龜涉及一次函Sk 在某個區(qū)I網(wǎng)a導(dǎo) 匕恒大于3或恒那于* 由于一次函數(shù)在區(qū)間fm內(nèi)上的罔象最一纜 段.玆只霜保證該S!段兩；#點(diǎn)均徑j(luò)t軸上力 或T方八即/ a) > fl> a_r2-4r+3>0解得，七0a<0亦可合并成 f(n) >0同浬假設(shè)在Q內(nèi)恒有./ Cr) <0,那么有2、二次函數(shù)型/(jr)>0在jG a禺上恒成立3

8、=bw)>o；20/(-I) M0類型 1 設(shè) /(r)=djr: +方工+c 5HQ). /lx)>0 在 xGR±恒成立<>d>0 且 /(zXO 在 j&Rl 恒成立 <>d<0 且 i<0.類型2 設(shè)/(工)一衛(wèi)工+撫r + fdHOh(D當(dāng)a>0時，/(x)>0在 *"上恒成立e廠或嚴(yán)專切或廠召沖/(z)<0在x6 /上恒成立(2)當(dāng) d<0 時、AxXO在JtC 日卩上恒成立例 2設(shè)/Ct) =x2-2ar+2t當(dāng) xe-lf+« 吋，都有f&)勿恒成立，求口

9、的取值范圉.解:設(shè)AXx)寸兀) -a=x- 2ax+2-ff1)當(dāng) _1=4 (a- 1) G+2) <0 時 t 即一2g 1時，對切x c 1,+* |i A (x)鼻)恒成立:ii)當(dāng)(卄2) mo時中圖可得 以下充要條件：(a 1) 3+2) 2()即 a+30盤 W .11h孑 r-汙或/(a)>0(得-3WW-2;粽合口J得左的取值范圉為-3心3、變量別離法(構(gòu)造為參數(shù)和X的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值處理)f(x) a 對一切 x I 恒成立 f (x)min a， f(x) a 對一切 x I 恒成立 f(x)max a f (x) g(x)對一切x I恒成立 f (x)的圖

10、像在g (x)的圖像上方或 f(x) g(x) 0三、變量分禽型假設(shè)在等式或不等式中出規(guī)兩個變誌. 其中一"變量的范國已丸h另一個變量的 范闔為所求.且容易通過恒等變形將兩 個變量分別置于等號或不等號的兩邊* 那么可將恒成立問翹轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問 題求解。例3-己劃當(dāng)X e R時*不等式«+cos2x< 恒成立，求實(shí)數(shù)代朗取值 范圉.解:原不等式即t n +cns2x <5 teiux + 7乂要使上式恒成立*只需 、5«-4 -a+5 大于 4siiu +<:os2i 的最大值. 故上述問題轉(zhuǎn)化成求f 3 =4站卄小出五L：j 最值問題Qf (

11、耳)=4 situ + c(>s2a = 士 2si II"t + Uiiu + L -2 (siii.r -1) +3 M 3 *4 «+5>3 5-4 >ri+2Z莎0'5<0上式等價于或.凸 0 5«-4>2G2)I I聲得辛WE； I4、數(shù)形結(jié)合假設(shè)把等式或不等式進(jìn)行合理的變形 后，能非常容易地回岀等號或不等號兩邊 函數(shù)的圖象.那么可以通過曲圖直接判斷得 岀結(jié)果尤其對于選擇題、填空題這種方法 更顯方便、快捷例5.當(dāng)工w2時/、等式x-D :<logjc 恒成立，求口的取值范圍.解：設(shè) = Cr-D ：譏= 那么V

12、,的圖像 為右圖所示的拋物線，要使對一切X E 2 ,了莊耳恒成立T顯然心>1并且必須也 只需當(dāng)a=2時門的函數(shù)值大于等于r,的函 數(shù)值二log4r2> I f r£>l 7 所以 l<a2cserO單伽訓(xùn)南貨抵川5傣旗級中學(xué)5、轉(zhuǎn)化為恒成立處理1假設(shè)函數(shù)y x3 ax 6在區(qū)間1,為增函數(shù)，求a的取值范圍y 3x2 a 0在區(qū)間1,恒成立，即a 3x2在在區(qū)間1,恒成立，顯然a 34 w Z4四、舉例四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)假設(shè)函數(shù)是奇偶函數(shù)，那么對一切定 義域中的 x =-/'Cr廳-.=fCr f亙成 立;假設(shè)函數(shù)yh®的周期

13、為八那么對一切定 義域中的Xt/Cr恒成立。例 4.假設(shè) fr =sin Gr+a +cos Gr-o為偶 函數(shù)求o的值.分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當(dāng) 于告訴我們一個恒成立問題。解：由題得：、f 1 -x才&對一切x e R恒 成立，方法一(雷數(shù)法)原不等式變形為: cos'0+2co52 53m2<0,即 cos;2m cor! 0+3/n + 2O*令 cosfl=ft f E 0,1那么 t2 2用f+ 3加+ 2>0, 令 fM = r-2mt+3m+2.:.據(jù)題意Sit0J上恒成立.一 7審<0> 217/(0) = 3ffi-|-2&g

14、t;0+.'.sin (-x+Qt： +cos (-x-a) =sin Cx +a) cos (x-oi)艮卩 sin (x+q) +sin (% -a) =cns (j +tf) ros Lv-a)2siiu cosa=-2siiv * sina.3i11t (sinci+cosa) =0對一切x e R IS成立»二只需也必須sina+cosa=0或嚴(yán)帯s3= 一2陽尸一4乂1乂3曲+2<4L或 V 2X1'1 y* 1= 12 席+3加+2 >01解得一才s<o或XX1或w>i.7?:.加一虧即應(yīng)的取值范圍為一F卄8,方法二最值法原不等式

15、可化為2如+3加+ 2>0,在f60,l上恒成立其中r=co.設(shè) f/n"3 2M+F+2,要便 /«>0 恒成 立，即求/mTOO>0時m的取值范圍.函數(shù)/加是斜率613截距底23 之間的一系列直線，易證曲數(shù)/加為增歯數(shù).:.在迢0,1上，當(dāng)！=0時,"取到最小值, 即/加“二3皿+2.由題意得3tm+2>0解得ni> 即 加的取值范圍為一#，十8.電評閨木題也可別離矣敦m和Hi.得m > 一吿'求得一者的最大值為一壬仃=°也 從而解得刃：> 一亍其紅法解題思珞是將恒成丈問 題向根本類型3轉(zhuǎn)化，印變換主元與輪朮或別離參數(shù) 與變量求出對應(yīng)函數(shù)的最值而到達(dá)解題的目的方法三數(shù)形結(jié)合 法原不等式可化為： 2mf+3e+20 在/£0，1上恒成立 其中！ = COS力化不等式為r + 2>2mf在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出vi = r +2mt 3mt0.1 的圖像如右圖而】S一條 猶物線的一局部，刃