第一節(jié)微分方程的基本概念1ppt課件

1、一、微分方程一、微分方程第七章微第七章微 分分 方方 程程第一節(jié)微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念二、微分方程的解二、微分方程的解含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) (或微分或微分) 的方程。的方程。一、微分方程一、微分方程1、微分方程：、微分方程：常微分方程常微分方程(1) y(1) y= kx, k = kx, k 為常數(shù)；為常數(shù)；例如：例如：(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；(3) mv(3) mv(t) = mg - kv(t)(t) = mg - kv(t)；偏微分方程偏微分方程;112yay

2、(4)(4).,(0sindd22為為常常數(shù)數(shù)lglgt (5)(5)2、微分方程的階、微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。3、n 階微分方程的一般形式為階微分方程的一般形式為F(x, y, y, , y(n) = 0，其中其中 x 是自變量，是自變量， y 是未知函數(shù)。是未知函數(shù)。例如例如 mvmv(t) = mg (t) = mg )t(vm 代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù)。代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù)。二、微分方程的解二、微分方程的解3 3、特解：、特解：1 1、微分方程的解：、微分方程的解：2 2、通解：、通解：不含

3、任意常數(shù)的解，即確定的函數(shù)。不含任意常數(shù)的解，即確定的函數(shù)。含有獨(dú)立的任意常數(shù)，且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同。含有獨(dú)立的任意常數(shù)，且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同。例如例如 y = 2xy = x2 + Cy = x2 ，y = x2 + 1 （特解）（特解）（通解）（通解）4 4、初始條件、初始條件,yyxx00 （用來(lái)確定任意常數(shù)的條件）：（用來(lái)確定任意常數(shù)的條件）： 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx5 5、初值問(wèn)題、初值問(wèn)題: :求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題. .,yyxx00 ,yyxx00 二階微分方程的初始條件是二階

4、微分方程的初始條件是一階微分方程的初始條件是一階微分方程的初始條件是例例 1 1 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) y = 3e x xe x y = 3e x xe x 是方程是方程y + 2y + y = 0的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x y = 3e x xe x 的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，y = - 4e x + xe - x, y = 5e x - xe - x,將將 y，y 及及 y 代入原方程的左邊，代入原方程的左邊，(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x = 0，即函數(shù)即函數(shù) y = 3e x xe x 滿足原方程，滿足原方程，

5、得得有有所以該函數(shù)是所以該函數(shù)是所給二階微分方程的解所給二階微分方程的解. 得得 C = 2，故所，故所求特解為求特解為 y = 2x2 . 例例 2 2 驗(yàn)證方程驗(yàn)證方程 的通解的通解xyy2 為為 y = Cx2 (C 為為任意常數(shù)任意常數(shù))，并求滿足初始條件，并求滿足初始條件 y|x = 1 = 2 的特解的特解.解解 由由 y = Cx2 y = Cx2 得得y = 2Cx,將將 y 及及 y 代入原方程的左、右兩邊，代入原方程的左、右兩邊，左邊有左邊有 y= 2Cx，,22Cxxy 而右邊而右邊所以函數(shù)所以函數(shù) y = Cx2 滿足原方程滿足原方程.又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有一個(gè)任意常數(shù)，又因

6、為該函數(shù)含有一個(gè)任意常數(shù)， 所以所以 y = Cx2 是是一階微分方程一階微分方程.2的通解的通解xyy 將初始條件將初始條件 y|x = 1 = 2 代入通解，代入通解，0652221 yyyyececyxx是是否否為為微微分分方方程程)c ,c(為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中212 2、驗(yàn)證函數(shù)、驗(yàn)證函數(shù)的解的解? ?并指出是通解？還是特解？并指出是通解？還是特解？作業(yè)：作業(yè)：特解的圖象特解的圖象: :通解的圖象通解的圖象: :微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .積分曲線族積分曲線族. .第二節(jié)第二節(jié) 幾種常見的一階微分方程幾種常見的一階微分方程一、可分離變量方程一、可分離變量方程二、

7、一階線性微分方程二、一階線性微分方程一階微分方程的一般形式為一階微分方程的一般形式為F(x, y, y) = 0.一、可分離變量方程一、可分離變量方程例如：形如例如：形如dxxfdyyg)()( 解法解法: :1 1、分離變量、分離變量: :dyygdxxf)()(2 2、兩邊積分、兩邊積分: :dyygdxxf)()(3 3、得出通解、得出通解: :CxFyG)()(只寫一個(gè)任意常數(shù)只寫一個(gè)任意常數(shù)稱為可分離變量的方程稱為可分離變量的方程例例 1 1 求方程求方程.1)cos(sin2的的通通解解yxxy 解分離變量，得解分離變量，得,d)cos(sin1d2xxxyy 兩邊積分，得兩邊積分

8、，得,)sin(cosarcsinCxxy 這就是所求方程的通解這就是所求方程的通解例例 2 2 求方程求方程.的通解的通解xyy 解分離變量，得解分離變量，得,d1dxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 0,1,e2221 CxCyCC則則令令,1e1xyC dxxdyy11另外，另外，y = 0 y = 0 也是方程的解，也是方程的解，因 而因 而 C 2 C 2 為 任 意 常為 任 意 常數(shù)數(shù)xCy2 所以所以.xCy 求解過(guò)程可簡(jiǎn)化為：求解過(guò)程可簡(jiǎn)化為：,ddxxyy 兩邊積分得兩邊積分得,ln1lnlnCxy 即通解為即通解為,

9、lnlnxCy ,xCy 其中其中 C C 為任意常數(shù)為任意常數(shù). .中的中的 C2 C2 可以為可以為 0 0，這樣，方程的通解是這樣，方程的通解是分離變量得分離變量得二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程)()(xQyxPy , 0)( yxPy假設(shè)假設(shè) Q (x) 0，則方程成為，則方程成為一階線性齊次微分方程一階線性齊次微分方程一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程自由項(xiàng)自由項(xiàng)1.一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程的解法0)( yxPy可分離變量可分離變量,d)(dxxPyy 兩邊積分兩邊積分,lnd )(lnCxxPy 通解為通解為.ed)( xxPCy例例 6 6 求方程求方程

10、 y y + (sin x)y = 0 + (sin x)y = 0 的通解的通解. .解所給方程是一階線性齊次方程，且解所給方程是一階線性齊次方程，且 P(x) = sin xP(x) = sin x， ,cosdsind )(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解為由通解公式即可得到方程的通解為.ecosxCy 那么那么1、一階線性齊次微分方程、一階線性齊次微分方程, 0)( yxPy.ed)( xxPCy的通解為的通解為)()(xQyxPy 2、一階線性非齊次微分方程為、一階線性非齊次微分方程為2.一階線性非齊次方程的解法一階線性非齊次方程的解法設(shè)設(shè) y = C(x)y1 y = C(

11、x)y1 是非齊次方程的解，是非齊次方程的解， 將將 y = y = C(x)y1 (C(x)y1 (其中其中 y1 y1 是齊次方程是齊次方程 y y + P (x) y = 0 + P (x) y = 0 的解的解) )及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) y y = C = C (x) y1 + C(x) y(x) y1 + C(x) y1 1 代入非齊次方程代入非齊次方程).()(xQyxPy 則有則有),()()()()(111xQyxCxPyxCyxC 即即),()()()(111xQyxPyxCyxC y1為齊次方程的解為齊次方程的解因此有因此有),()(1xQyxC 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?y1 y1 與與

12、 Q(x) Q(x) 均為已知函數(shù)，均為已知函數(shù)，,d)()(1CxyxQxC 代入代入 y = C (x)y1 y = C (x)y1 中，得中，得.d)(111xyxQyCyy 所以可以通過(guò)積分求得所以可以通過(guò)積分求得,ed)(1 xxPy.de )(ed)(d)( xxQCyxxPxxP又又所以所以),()(1xQyxC 上述討論中所用的方法，是將常數(shù)上述討論中所用的方法，是將常數(shù) C C 變?yōu)榇ㄗ優(yōu)榇ê瘮?shù)函數(shù) C(x)C(x)， 再通過(guò)確定再通過(guò)確定 C(x) C(x) 而求得方程解的方法，稱為而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法常數(shù)變易法. .對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解.x)

13、x(QCyx)x(Px)x(P deedd所以一階齊次方程所以一階齊次方程非齊次方程特解非齊次方程特解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解)()(xQyxPy 通解為通解為例例 4 4 求方程求方程 2y2y - y = ex - y = ex 的通解的通解. .解：解：將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy ,)x(Q,)x(Pxe2121 則則那么那么 ,2d21d )(xxxxP,ee2d )(xxxP .de )(ed)(d)( xxQCyxxPxxP ,edee21de )(22d )(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得代入通解公式，得.eee )e

14、(222xxxxCCy . 0 sin1 的的特特解解滿滿足足求求 xyxxyxy,1)(xxP ,sin)(xxxQ CdxexxeCxydxxdxx11sin);( Cdxexxexx|ln|ln|sin解解例例5 5 Cdxxxxx|sin|16/17 Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxxxxx|sin|1由由所所求求特特解解 C cos101 C .cos11)(xxxy 7/17一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法二階微分方程的如下形式

15、二階微分方程的如下形式y(tǒng) + p(x)y + q(x)y = f (x) 當(dāng)當(dāng) f (x) 0 時(shí)，稱為二階線性非齊次微分方程，時(shí)，稱為二階線性非齊次微分方程， 當(dāng)當(dāng) f (x)=0 時(shí)，稱為二階線性齊次微分方程，時(shí)，稱為二階線性齊次微分方程，自由項(xiàng)自由項(xiàng) 例如例如 y + xy + y = x2y + x(y)2 + y = x2 (不是二階微分方程不是二階微分方程)方程中方程中 p(x)、 q(x) 和和 f (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).定理定理 1 1如果函數(shù)如果函數(shù) y1 y1 與與 y2 y2 是線性齊次方程是線性齊次方程的兩個(gè)解，的兩個(gè)解，y = C1

16、 y1 + C2 y2仍為該方程的解，仍為該方程的解，證因?yàn)樽C因?yàn)?y1 與與 y2 是方程是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個(gè)解，的兩個(gè)解，, 0)()(111 yxqyxpy與與. 0)()(222 yxqyxpy所以有所以有其中其中 C1， C2 是任意常數(shù)是任意常數(shù).則函數(shù)則函數(shù),2211yCyCy 又又因因?yàn)闉?2211yCyCy 于是有于是有y + p(x)y + q(x)y )()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC )()()()(22221111yxqyxpyCyxqyxpyC = 0所以所以 y = C1y1 + C2y2 是

17、是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解的解.定義設(shè)函數(shù)定義設(shè)函數(shù) y1(x) y1(x) 和和 y2(x) y2(x) 是定義在某區(qū)間是定義在某區(qū)間 I I 上的兩個(gè)函數(shù)，上的兩個(gè)函數(shù)，k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0如果存在兩個(gè)不全為如果存在兩個(gè)不全為 0 的常數(shù)的常數(shù) k1和和 k2，使使恒成立恒成立. 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y1(x) 與與 y2(x) 在區(qū)間在區(qū)間 上是線性相關(guān)的，上是線性相關(guān)的，否則稱為線性無(wú)關(guān)否則稱為線性無(wú)關(guān).)(yy常數(shù)常數(shù)設(shè)設(shè) 21那么那么 y1 = l y2，即，即 y1 - l y2 = 0.1、線性相關(guān)、線性相關(guān):例如例如 y1 =

18、 ex，y2 = e -x常數(shù)，常數(shù)，而而 21yy2 2、線性無(wú)關(guān)：、線性無(wú)關(guān)：常常數(shù)數(shù) xxxeeeyy,221線線性性相相關(guān)關(guān)例例如如：xy,xy 212定理定理 2 2如果函數(shù)如果函數(shù) y1 y1 與與 y2 y2 是二階線性齊次是二階線性齊次方程方程 y y + p(x)y + p(x)y + q(x)y = 0 + q(x)y = 0 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，的特解，y = C1 y1 + C2 y2是該方程的通解，是該方程的通解，其中其中 C1, C2為任意常數(shù)為任意常數(shù).一、二階常系數(shù)線性齊次方程一、二階常系數(shù)線性齊次方程一般形式一般形式:)(,qyypy10 p,

19、q為常數(shù)為常數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程分析分析 由方程特點(diǎn)可看出由方程特點(diǎn)可看出:為同一類型函數(shù)為同一類型函數(shù),y,y,y 之間相差常數(shù)因子之間相差常數(shù)因子.因此假設(shè)因此假設(shè)rxey rxey 將將 代入代入(1)得得:,e )qprr(rx02 )(,qprr202 r當(dāng)當(dāng) 滿足滿足(2)時(shí)時(shí), 是是(1)的一個(gè)特解的一個(gè)特解.rxe特征方程特征方程特征根特征根根據(jù)特征根的三種不同情形根據(jù)特征根的三種不同情形,方程方程(1)的通解有三種情形：的通解有三種情形：0 u021211 u)qprr(u)pr(u21rr 1、特征根為相異實(shí)根、特征根為相異實(shí)根 :x

20、rxrey,ey2121 是是(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,xrxreCeCy2121 那么那么(1)的通解為的通解為21rr 2、特征根為二重根、特征根為二重根 :xrey11 是是(1)的一個(gè)特解的一個(gè)特解, 求另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解求另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.xre )x(uy12 設(shè)設(shè) 代入方程代入方程(1):取取,xu xrxey12 得到另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得到另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解xrxrxre )xCC(xeCeCy1112121 那么那么(1)的通解為的通解為線性無(wú)關(guān)特解線性無(wú)關(guān)特解)0(,21irir3、特征根為共軛復(fù)根、特征根為共軛復(fù)根:x)i(x)i(ey,e

21、y 21是是(1)的兩個(gè)特解的兩個(gè)特解,)xsinix(coseeyxx)i( 1)xsinix(coseeyxx)i( 2xcose)yy(yx 21121xsine)yy(iyx 21221)sincos(21xCxCeyx那么那么(1)的通解為的通解為 上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：為特征根法，其步驟是：(1) (1) 寫出所給方程的特征方程；寫出所給方程的特征方程；(2) (2) 求出特征根；求出特征根； (3) (3) 根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對(duì)應(yīng)的根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對(duì)應(yīng)的特解，并寫出其通解特解

22、，并寫出其通解. .例例 1 1求方程求方程 y y - 2y - 2y - 3y = 0 - 3y = 0 的通解的通解. .解該方程的特征方程為解該方程的特征方程為 r2 - 2r 3 = 0, r2 - 2r 3 = 0, 它有兩個(gè)不等的實(shí)根它有兩個(gè)不等的實(shí)根 r1 = - 1r1 = - 1， r2 = 3,r2 = 3, 其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為關(guān)的特解為 y1 = e- x y1 = e- x 與與 y2 = e3x,y2 = e3x,所以方程的通解為所以方程的通解為.ee321xxCCy 例例 2 2求方程求方程 y y - 4y - 4y + 4y = 0 + 4y = 0 的滿足的滿足初始條件初始條件 y(0) =