圓錐曲線?？碱}型總結(jié)

1、圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線?？碱}型和熱點(diǎn)問題- ?？碱}型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點(diǎn)問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點(diǎn)共線問題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問題）kx m，存在實(shí)數(shù)，三角形（等邊、等腰、題型一：存在性問題（存在點(diǎn)，存在直線y直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓）熱點(diǎn)問題1定義與軌跡方程問題2交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題3弦長及面積問題4. 對稱冋題5范圍問題6存在性問題7最值問題8.定值，定點(diǎn)，定直線問題第二部分知識儲備1.判

2、別式:2.韋達(dá)定理:兒二次方程ax2b2 4ac若一兀二次方程bx2axc 0(a0）相關(guān)的知識（三個“二次”問題）bx c0（a0）有兩個不等的實(shí)數(shù)根Xl,X2，則x-ix2bc,x! X2aa3.求根公式:若一兀二次方程2axbx c0（a0）有兩個不等的實(shí)數(shù)根xX2，則bxi,2.b2 4ac2a二與直線相關(guān)的知識1. 直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，兩點(diǎn)式，一般式2.與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率:y tan ,0,);點(diǎn)到直線的距離公式:Axo Byo C（一般式）或d kXo yo b （斜截式）Ji2 k23.弦長公式：直線 y kx b上兩點(diǎn)A（xi ,yj,

3、B（X2, y2）間的距離:AB頁k2X1 X27(1 k2)(X1X2)24x1x2(或 ABy1 y2)4.兩直線l1: y1k1x1bl ： y2k2x2b2的位置關(guān)系：11I2k1 k21l1/I2k1 k2且 bb25.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)Ad，yj, B（X2, y?），若點(diǎn)M x,y線段AB的中點(diǎn)，則Xi X!yi y2x -,y -22 2三圓錐曲線的重要知識考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的

4、標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b,c三者的關(guān)系，p的幾何意義等4. 圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓2 b22 b2絲，雙曲線絲，拋物線2paa焦點(diǎn)三角形的面積：p在橢圓上時sviPF b2 tan-2p在雙曲線上時 SvFiPF2 b2/tan 2四常結(jié)合其他知識進(jìn)行綜合考查1. 圓的相關(guān)知識：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2. 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，特別是與切線方程相關(guān)的知識3. 向量的相關(guān)知識：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4. 三角函數(shù)的相關(guān)知識：各類公式及

5、圖像與性質(zhì)5. 不等式的相關(guān)知識：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五.不同類型的大題（1）圓錐曲線與圓例1.（本小題共14分）2 2已知雙曲線C:%篤a2 b21(a o,b o)的離心率為，右準(zhǔn)線方程為 x(I)求雙曲線的方程;(n)設(shè)直線I是圓O : X2y2 2上動點(diǎn)P(xo, yo)(xoyo o)處的切線,I與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明AOB的大小為定值 【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.(I)由題意，得cc，解得a1,c,3 , b2所求雙曲線的方程為(n)點(diǎn) P Xo,

6、 yo Xo yo在圓2上,圓在點(diǎn)P x0, y0處的切線方程為yoX0Xo化簡得XoXyoy 2.XoX2y- 12yoy 2yo2Xo2 yo2 23xo 4 x 4xox8 2x：切線I與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,2Xo3xo4 o，且2 216xo 4 3xo 482xo0 ,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Xi,yi , X2,y2則 X. X24X0 , X| x22 3x2 4UJU uuu OA OB UJU| |UUU OA OB cos AOBuuu uuuOA OB x1x28 2xo3Xo 4，且1y2X1X22 2X0X12X0X2 ,yoXjX24 2x0 X1 X2

7、X02X0 Xi X28 2x23Xg 48x22 2X 8 2X03Xq 48 2富3x： 48 2xo0. AOB的大小為.【解法2】(I)同解法1.(n)點(diǎn) P X0,y0x0y00 在圓 x22上,圓在點(diǎn)Px0, y0處的切線方程為yX0y xy0X0，化簡得XoXY0Y2 由x2XqX2y2y0y 23X22 2x 4x0x 8 2x03xq 48y0X 8 2x0 0切線I與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,x22, 3xf40，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Xi,yi,X2,y2 ，則x28 2富2x2 82 ，3X04UJU- OAUJUOB x1x2y20, AOB的大小為2 且 x&

8、#176;y0 02X。2,0 y 2，從而當(dāng)3X2 4 0時，方程和方程的判別式均大于零)練習(xí)1:已知點(diǎn)是橢圓Cx22y_t0的左頂點(diǎn)，直線I : X my 1(m R)與橢圓相交于兩點(diǎn)，與 x軸相交于點(diǎn).且當(dāng)m0時，的面積為16 .3(I )求橢圓的方程;(n)設(shè)直線，與直線分別交于，兩點(diǎn),試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)并請說明理由(2) 圓錐曲線與圖形形狀問題2x例已知A, B, C是橢圓W:+ y2= 1上的三個點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn).4(1) 當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形 OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2) 當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理由.x2解：

9、橢圓W:+ y2 = 1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).4因?yàn)樗倪呅?OABC為菱形，所以 AC與0B相互垂直平分.321所以可設(shè)A(1, m),代入橢圓方程得 丄+ m2= 1,即卩m =4所以菱形 OABC 的面積是 1 | 0B| |-AC| = - X 2 xm| = J3 2 2假設(shè)四邊形OABC為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是 W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y= kx+ m(kQ m0)x24y24,kx m消 y 并整理得(1 + 4k2)x2 + 8kmx + 4m2 4 = 0.設(shè) A(x1, y1), CX2, y2),則 x1x224kmy1 y22，1 4k 2m

10、m21 4k所以AC的中點(diǎn)為M4 kmm1 4k2'1 4 k2因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線 OB的斜率為 4k1因?yàn)閗 -丄4k 1,所以AC與OB不垂直.所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形 OABC不可能是菱形.2 2練習(xí)1：已知橢圓C :篤 每 1(a b 0)過點(diǎn)C-2 , 1)，且以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)和 a2b2一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )設(shè)M (x, y)是橢圓C上的動點(diǎn)，P ( p,0)是X軸上的定點(diǎn)，求 MP的最小值及取最小值時點(diǎn)M的坐標(biāo).(3) 圓錐曲線與直線問題 例已知橢圓C : x2

11、 2y24 ,(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)0為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y 2上，且OA OB,求直線AB2 2與圓x y 2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 2 2解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1，42a / y0 2 2，b 2 則c 2，離心率e -；a 2 '2 2直線AB與圓X y 2相切證明如下：法一：設(shè)點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別為 X0 y0 t 2，其中Xoluur luin2因?yàn)镺A丄0B，所以0A 0B 0，即tx0 2y00，解得t 理.Xo2 _當(dāng)X0 t時，y。 L ,代入橢圓C的方程，得t 2 ,2故直線AB的方程為X 2 .圓心°到直線AB的距離d 2

12、.22c此時直線AB與圓X y 2相切.當(dāng)X0 t時，直線AB的方程為y 2旦二X t ,X0 t即 y°2 x X0 t y 2X0 ty00.圓心0到直線AB的距離2X0t運(yùn).d|2X0 ty。此時直線AB與圓X2 y22相切.法二：由題意知，直線0A的斜率存在，設(shè)為k，則直線0A的方程為y kX , 0A丄0B,當(dāng)k 0時，A 2 0 ,易知B 0 2 ,此時直線AB的方程為x y 2或x y 2 ,原點(diǎn)到直線AB的距離為、2，此時直線AB與圓x2 y2 2相切；當(dāng)k 0時，直線OB的方程為y 1x ,k22k1 2k2. 1 2k2 ；22k聯(lián)立y2 " 2得點(diǎn)A的

13、坐標(biāo)1錄 1錄或x 2y 41y x,聯(lián)立k得點(diǎn)B的坐標(biāo)y 22k2于是直線AB的方程為:y 21 2k2J0x 2k22k1 2k2即 k 1 2k2 x 12 2k 1 2k y 2k2 0，99k由點(diǎn)A的坐標(biāo)的對稱性知，無妨取點(diǎn)A 莎進(jìn)行計算，k "卞x1 k 1 2k22k|2k22原點(diǎn)到直線AB的距離d 2-2J k <1 2k 1 k“1 2k此時直線AB與圓x2 y22相切。綜上知，直線 AB 一定與圓x2 y22相切法三：當(dāng)k °時，A 2 0，易知B 0 2，此時OA 2 OB 2，2 2，原點(diǎn)到直線AB的距離dOA OBAB2 22、2此時直線AB

14、與圓x2 y22相切；當(dāng)k 0時，直線OB的方程為y 亠，k設(shè) 7y1BX2y2，則 OAJE|X1, |0B&|y22春TI7，_2_ _2k_2_ _2k_聯(lián)立y2 kx 2得點(diǎn)A的坐標(biāo)或花x2 2y24于是 |0A & k2 |xa 2f1-，OB 2J1 k2 ,V1 2k2>4 1 k2AB . 24 1 k 1 2k2 2 1k2J 2 k2所以dOAabOB2 2 1 k-2，直線AB與圓x2y22相切;.1 2k所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為綜上知，直線 AB 一定與圓x2 y22相切2X練習(xí)1:已知橢圓C：pa2 y b21(a b 0)過點(diǎn)(0,1)，且長軸長

15、是焦距的 近 倍.過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)若直線AB垂直于x軸，判斷點(diǎn)O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由;(川)若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線 AB的斜率k的取值范圍(4) 圓錐曲線定值與證明問題例已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且橢圓C上的點(diǎn)到兩個2焦點(diǎn)的距離之和為4 .(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線I與橢圓交于點(diǎn) M，與y軸交于點(diǎn)N，過原點(diǎn)與I平行的直線與橢圓交于點(diǎn)P .證明:| AM | | AN | 2|OP f .解：(I)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2X _

16、2 a2y_b21(ab 0),b224,解得a由題意知 -a2a(n)設(shè)直線AM的方程為：y k(x2)，則 N(0,2k).16k2x 16k2 4 0 (*).由y2 k(X2 2)，得(1+4k2)x2x2 4y24,設(shè)A( 2,0) , M (石，yj，則2 ,石是方程(*)的兩個根,所以Xi2 8k21 4k2所以M (18k24P4k )216 16k24k2) (1 4k2)24Jk21 4k22 8k2 2 8k2、2/|AM 1 也 1 4k2)(1I AN |.4 4k22 1 k2 .|AM|AN| 4口2口8(1 k2)1 4k24k2設(shè)直線OP的方程為：yy kx,

17、由x2 4y2 4 得(12 24k )x設(shè) P(xo,y。)，則 xo242 ，1 4k2yo4k21 4k2所以|op|2泮,2|OP|28k21 4k2所以 | AM | | AN | 2 | OP |2 .£1( a>b>0)的離心率為-，A( a,0),B(0,b)，O( 0, 0)，bX2例:已知橢圓c： pa OAB的面積為1.(I)求橢圓C的方程；(II)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線 PA與Y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N。求證：AN ? BM為定值。L4【門由已如得.e =|= y .= 1"Iftika2 = h2 +由®2凈專”2

18、山1則愉鬪方刑為三+尸=1(II)師遜上點(diǎn)P的址標(biāo)為(2皿彈沖加廠又已韌機(jī)臥LWU). QWELWiP*的方程為sinffy - (x _ 2)2cqs - Z>x=D-就可以稈SlM點(diǎn)電標(biāo)* (0,l-cos&同樣町以徇到N的坐標(biāo)為1 SI 用 »則|刖|【冊| = |-2磊7胡駕朋1 + cojSI1-jpsfl2練習(xí)1:已知橢圓篤a2y_b2構(gòu)成的三角形的面積為5.2.3sin - COS1(a b 0)的離心率為I),63,橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)(I )求橢圓的方程；1(n)已知動直線y k(x 1)與橢圓相交于、兩點(diǎn).若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一，求斜27UU

19、UT UULT率k的值；若點(diǎn)M (,0)，求證：MA MB為定值3練習(xí)2:已知拋物線C : y2 = 2 px ( p > 0),其焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AB (不垂直于x 軸)過點(diǎn)F且拋物線C交于A, B兩點(diǎn)，直線OA與 OB的斜率之積為p .(1 )求拋物線C的方程；(2)若M為線段AB的中點(diǎn)，射線OM交拋物線C于點(diǎn) D ,求證：|OD| >2|OM |1練習(xí)3:動點(diǎn)P(x, y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與它到定直線l:x 4的距離之比為-2(I )求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(H) 已知定點(diǎn)A( 2,0) , B(2,0)，動點(diǎn)Q(4,t)在直線I上，作直線 AQ與軌跡

20、C的 另一個交點(diǎn)為 M，作直線BQ與軌跡C的另一個交點(diǎn)為 N，證明：M , N,F三點(diǎn)共線.(5) 圓錐曲線最值問題例5：已知橢圓C:爲(wèi) 爲(wèi) 1(a b 0)的離心率為 ，橢圓C與y軸交于A B兩點(diǎn)， a b2|AB| 2.(I)求橢圓C的方程；(H)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè).直線PA, PB與直線x 4分 別相交于M , N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E, F ,求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的 取值范圍及| EF |的最大值解：(I)由題意可得，b1,1分c J36分ea 2得13得26分a42解a 4 ,4分橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 Xy2 1.6分4(叮設(shè) P(Xo,yo)(

21、oXo2), A(o,1), B(o, 1),所以kPA，直線pa的方程為y1 ,6分XoXo同理：直線PB的方程為y 止x 1 ,Xo直線PA與直線x 4的交點(diǎn)為M (4,° 1),7分X。直線PB與直線x 4的交點(diǎn)為N (4, 4(yo 1) 1),Xo線段MN的中點(diǎn)S,4) ,8分Xo所以圓的方程為(x 4)2 (y 4匹)2 (1 )2,9分XoXo2令y 0,則(x 4)2巴色(1匹),10分Xo4因?yàn)閄o y i，所以y°T1,19分4Xo42 8所以(X 4) 5 o ,Xo因?yàn)檫@個圓與X軸相交，該方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解,88所以 5 o ,解得 xo (,2

22、.19分Xo5設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(Xi,0),(X2,0)，則 |Xi X2I 2 58 ( 8 Xo2)VXo5所以該圓被X軸截得的弦長為最大值為2.14分2 2練習(xí)已知橢圓C: J y 1a b的一個焦點(diǎn)為F(2, o)，離心率為點(diǎn)F的直線I與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，線段 AB中點(diǎn)為D, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O, D的直線交 橢圓于M , N兩點(diǎn)。(1) 求橢圓C的方程；(2) 求四邊形AMBN面積的最大值。練習(xí)2:已知橢圓C : mx2 3my2 1(m 0)的長軸長為26 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)(I )求橢圓C的方程和離心率；(n )設(shè)點(diǎn)A(3,0)，動點(diǎn)B在y軸上，動點(diǎn) P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若| BA| |BP|，求四邊形OPAB面積的最小值.(6) 圓錐曲線存在性問題例6.已知橢圓C :22J2務(wù)占 1 a b 0的離心率為，點(diǎn)P 0,1和點(diǎn)A m, n m 0 a2b22都在橢圓