雙曲線經(jīng)典例題

1、【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選A.【評注】嚴(yán)格區(qū)分橢圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關(guān)鍵.【例2】已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則P點的坐標(biāo)為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的倒數(shù).由此可知，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點F（6，0），離心率右準(zhǔn)線為.作于N，交雙曲線右支于P，連FP，則.此時為最小.在中，令，得取.所求P點的坐標(biāo)為. （2）漸近線雙曲線與直線相約天涯對于二

2、次曲線，漸近線為雙曲線所獨(dú)有. 雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例3】過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設(shè)所求雙曲線為點（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置.（3）共軛雙曲線 虛、實易位的孿生弟兄將雙曲線的實、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦距而焦點的

3、位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例4】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.【證明】雙曲線的離心率；雙曲線的離心率. （4）等軸雙曲線和諧對稱 與圓同美實、虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，等軸雙曲線的對稱性可以與圓為伴.【例5】設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實軸的任一弦，求證它的兩端點與實軸任一頂點的連線成直角.【證明】如圖設(shè)等軸雙曲線方程為，直線CD：y=m.代入（1）：.故有：.取雙曲線右頂點.那么：.即CBD=90°.同理可證：CAD=90°. 通法 特法 妙法（1）方程法為解析幾何正名解析法的指導(dǎo)

4、思想是函數(shù)方程思想，其主要手段是列、解方程、方程組或不等式.【例6】如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）【解析1】設(shè)AB交x軸于M，并設(shè)雙曲線半焦距為c，是等邊三角形，點代入雙曲線方程：.化簡得：.（e1，及舍去）故選D.【解析2】連AF1，則AF1F2為直角三角形，且斜邊F1F2之長為2c.令由直角三角形性質(zhì)知：.e1，取.選D.【評注】即使是解析法解題，也須不失時機(jī)地引入幾何手段.（2）轉(zhuǎn)換法為解題化歸立意【例7】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在

5、左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【分析】就題論題的去解這道題，確實難以下手，那就考慮轉(zhuǎn)換吧.其一，直線和雙曲線的兩支都有交點不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點卻很好掌握.其二，因為已知直線的斜率為2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮傾斜角為銳角的漸近線也與之相交.故有如下妙解.【解析】如圖設(shè)直線的傾斜角為，雙曲線漸近線的傾斜角為.顯然。當(dāng)時直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上.由. 雙曲線中，故取e>.選D.（3）幾何法使數(shù)形結(jié)合帶上靈性【例8】設(shè)為雙曲

6、線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A B C. D【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1P F2=90°.選B.【評注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.（4）設(shè)而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請看下例：【例9】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點為（2，

7、1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：【例10】在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結(jié)論對不對呢？我們只須注意如下兩點就

8、夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當(dāng)時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.（5）設(shè)參消參換元自如 地闊天寬一道難度較大的解析幾何綜合題，往往牽涉到多個變量.要從中理出頭緒，不能不恰當(dāng)?shù)靥幚砟?/p>

9、些非主要的變量，這就要用到參數(shù)法，先設(shè)參，再消參.【例11】如圖，點為雙曲線的左焦點，左準(zhǔn)線交軸于點，點P是上的一點，已知，且線段PF的中點在雙曲線的左支上.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，設(shè)，當(dāng)時，求直線的斜率的取值范圍. 【分析】第（）問中，線段PF的中點M的坐標(biāo)是主要變量，其它都是輔助變量.注意到點M是直角三角形斜邊的中點，所以利用中點公式是設(shè)參消參的主攻方向 第（）中，直線的斜率是主要變量，其它包括都是輔助變量. 斜率的幾何意義是有關(guān)直線傾斜角的正切，所以設(shè)置直線的參數(shù)方程，而后將參數(shù)用的三角式表示，是一個不錯的選擇.【解析】（）設(shè)所求雙曲線為

10、：.其左焦點為F（-c。0）；左準(zhǔn)線：.由，得P（，1）；由FP的中點為.代入雙曲線方程： 根據(jù)（1）與（2）.所求雙曲線方程為. （）設(shè)直線的參數(shù)方程為：.代入得：當(dāng)，方程（3）總有相異二實根，設(shè)為. 已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，.于是：.注意到在上是增函數(shù)，（4）代入（5）： 雙曲線的漸近線斜率為，故直線與雙曲線的左右兩支分別交必須.綜合得直線的斜率的取值范圍是.雙曲線1已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你

11、的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直線l不存在 2已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因為A（1，1）為線段PQ的中點， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。3已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什