幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、3.3 幾何概型幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生一、教學(xué)目標(biāo)：1、 知識(shí)與技能：（1）正確理解幾何概型的概念；（2）掌握幾何概型的概率公式：P（A）=；（3）會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型；（4）了解均勻隨機(jī)數(shù)的概念；（5）掌握利用計(jì)算器（計(jì)算機(jī)）產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法；（6）會(huì)利用均勻隨機(jī)數(shù)解決具體的有關(guān)概率的問題2、 過程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，通過師生共同探究，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)腦的良好習(xí)慣。3、 情感態(tài)度與價(jià)值

2、觀：本節(jié)課的主要特點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)多，學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、幾何概型的概念、公式及應(yīng)用；2、利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)并運(yùn)用到概率的實(shí)際應(yīng)用中三、學(xué)法與教學(xué)用具：1、通過對(duì)本節(jié)知識(shí)的探究與學(xué)習(xí)，感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數(shù)學(xué)思想與邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；2、教學(xué)用具：投燈片，計(jì)算機(jī)及多媒體教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：1、創(chuàng)設(shè)情境：在概率論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況。例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)這些

3、試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個(gè)。2、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；（3）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等3、 例題分析：課本例題略例1 判下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概度是古典概型，還是幾何概型。（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；（2）如課本P132圖33-1中的(2所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。分析：本題考查的

4、幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)。解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型例2 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算

5、隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件.解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于50,60這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A= =，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為小結(jié)：在本例中，到站等車的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從0,60上的均勻分布，X為0,60上的均勻隨機(jī)數(shù)練習(xí)：1已知地鐵列車每10mi

6、n一班，在車站停1min，求乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率。2兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率解：1由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A= ；2記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A= =例3 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，有幾何概型公式可以求得概率。解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A= =0.004答：鉆到油層面的概率是0.004例4 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入

7、了一種帶麥誘病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10毫克種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率。解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則P(A= =0.01答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01例5 取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？分析：在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍0，3內(nèi)的任意數(shù)，并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)

8、果（基本事件）對(duì)應(yīng)0，3上的均勻隨機(jī)數(shù)，其中取得的1，2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)距離在1，2內(nèi)，也就是剪得兩段長(zhǎng)都不小于1m。這樣取得的1，2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與0，3內(nèi)個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的概率。解法1：（1）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND（2）經(jīng)過伸縮變換，a=a1*3（3）統(tǒng)計(jì)出1，2內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N1和0，3 內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N（4）計(jì)算頻率fn(A=即為概率P（A）的近似值解法2：做一個(gè)帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標(biāo)上刻度0，3（這里3和0重合）轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤記下指針在1，2（表示剪斷繩子位置在1，2范圍內(nèi)）的次數(shù)N1及試驗(yàn)總次數(shù)N，則fn(A=即為概率

9、6如圖所示的圓環(huán)是由阻值R、粗細(xì)均勻的金屬絲制成的A、B、C三點(diǎn)將圓環(huán)分成三等份(P（A）的近似值小結(jié)：用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍。解法2用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大；解法1用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)例6 在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2 與81cm2之間的概率 分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)，此題可以轉(zhuǎn)化

10、為在12cm長(zhǎng)的線段AB上任取一點(diǎn)M，求使得AM的長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間的概率解：（1）用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0，1內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND（2）經(jīng)過伸縮變換，a=a1*12得到0，12內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)（3）統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和6，9內(nèi)隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N1 （4）計(jì)算頻率記事件A=面積介于36cm2 與81cm2之間=長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間，則P（A）的近似值為fn(A=4、課堂小結(jié)：1、幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度成比例；2、均勻隨機(jī)數(shù)在日常生活中，有著廣泛的應(yīng)用，我們可以

11、利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)，從而來模擬隨機(jī)試驗(yàn)，其具體方法是：建立一個(gè)概率模型，它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數(shù) ）有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來確定這些量5、自我評(píng)價(jià)與課堂練習(xí)：1在500ml的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是（ ）A0.5 B0.4 C0.004 D不能確定2平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r 的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率 3某班有45個(gè)，現(xiàn)要選出1人去檢查其他班的衛(wèi)生，若每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，則恰好選中學(xué)生甲主機(jī)會(huì)有多大？4如圖3-18所示，曲線

12、y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個(gè)區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個(gè)正方形，向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，利用計(jì)算機(jī)來模擬這個(gè)試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。6、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：M1 C （提示：由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件 A ：“在取出 2ml 的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比 =0.004 ） 2解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖所示，這樣線段OM長(zhǎng)度（記作OM）的取值范圍就是o,a，只有當(dāng)rOMa時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是P（A

13、）=3提示：本題應(yīng)用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，請(qǐng)按照下面的步驟獨(dú)立完成。（1）用145的45個(gè)數(shù)來替代45個(gè)人；（2）用計(jì)算器產(chǎn)生145之間的隨機(jī)數(shù)，并記錄；（3）整理數(shù)據(jù)并填入下表試 驗(yàn)次 數(shù)50100150200250300350400450500600650700750800850900100010501出現(xiàn)的頻數(shù)1出現(xiàn)的頻率（4）利用穩(wěn)定后1出現(xiàn)的頻率估計(jì)恰好選中學(xué)生甲的機(jī)會(huì)。4解：如下表，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例01之間的隨機(jī)數(shù)，它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)。如果一個(gè)點(diǎn)（x,y）滿足y-x2+1，就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最后一列相應(yīng)地就填上1，否則填0。xy計(jì)數(shù)0.598

14、8950.94079400.5122840.11896110.4968410.78441700.1127960.69063410.3596000.37144110.1012600.65051210.9473860.90212700.1176180.30567310.5164650.22290710.5963930.96969507、作業(yè)：根據(jù)情況安排題目已知地鐵列車每10分鐘一班，在車站停1分鐘則乘客到達(dá)站臺(tái)需要等車的概率是多少? 解 地鐵列車每10分鐘一班，為畫圖和計(jì)算的方便不妨將問題看為“乘客在某時(shí)間段的00-10分鐘之間到達(dá)車站，時(shí)間總間隔為10分鐘， ”并不影響計(jì)算結(jié)果設(shè)乘客是時(shí)刻到達(dá)

15、，列車是時(shí)刻到達(dá)（單位：分鐘）則乘客與列車到達(dá)的所有可能做為全集：，其面積為：乘客到達(dá)站臺(tái)沒有及時(shí)乘上車的所有可能做為乘客先于列車到達(dá)，或乘客是列車到站1分鐘后到站，其集： ，其面積為： 乘客到達(dá)站臺(tái)沒有及時(shí)乘上車的概率是: 幾何概型教學(xué)目標(biāo)：初步體會(huì)幾何概型的意義。教學(xué)重點(diǎn)：初步體會(huì)幾何概型的意義。教學(xué)過程：1古典概型要求樣本點(diǎn)總數(shù)為有限若是有無限個(gè)樣本點(diǎn)，特別是連續(xù)無限的情況，雖是等可能的，也不能利用古典概型但是類似的算法可以推廣到這種情形若樣本空間是一個(gè)包含無限個(gè)點(diǎn)的區(qū)域（一維，二維，三維或n維），樣本點(diǎn)是區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn)此時(shí)用點(diǎn)數(shù)度量樣本點(diǎn)的多少就毫無意義“等可能性”可以理解成“對(duì)任意兩個(gè)區(qū)域，當(dāng)它們的測(cè)度（長(zhǎng)度，面積，體積，）相等時(shí)，樣本點(diǎn)落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關(guān)”在這種理解下，若記事件A=任取一個(gè)樣本點(diǎn)，它落在區(qū)域g，則A的概率定義為P(A= 這樣定義的概率稱為幾何概率2例1 某路公共汽車5分鐘一班準(zhǔn)時(shí)到達(dá)某車站，求任一人在該車站等車時(shí)間少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）可以認(rèn)為人在任一時(shí)刻到站是等可能的 設(shè)上一班車離站時(shí)刻為a，則某人到站的一切可能時(shí)刻為 = (a, a+5，記A=等車時(shí)間少于3分鐘，則他到站的時(shí)刻只能為g