《游戲設(shè)計(jì)》計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)課件

1、專業(yè)教程專業(yè)教程理論講解部分理論講解部分網(wǎng)絡(luò)游戲開(kāi)發(fā)DirectX第第1章章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)四元數(shù)圖形幾何變換 四元數(shù)圖形幾何變換四元數(shù) 掌握四元數(shù)的相關(guān)運(yùn)算 掌握?qǐng)D形幾何變換的概念及數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)1復(fù)數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成的。復(fù)數(shù)的概念(* )zab i復(fù)數(shù)的幾何表示為。1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)1復(fù)數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)的運(yùn)算有9種方式。復(fù)數(shù)的范數(shù)復(fù)數(shù)的范數(shù)可以看作表示復(fù)數(shù)的向量的模。22zab復(fù)數(shù)與標(biāo)量相乘/除符合乘法分配律，實(shí)部與虛部分別進(jìn)行乘除運(yùn)算。)*)*(*()

2、*(*ibkakibakzk1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)1復(fù)數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)加法與減法實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減。復(fù)數(shù)加法恒等元任何復(fù)數(shù)相加，結(jié)果仍為該復(fù)數(shù)，表示為(0+0*i)。)*)()()*()*(21idbcaidcibazz復(fù)數(shù)加法逆元素任何復(fù)數(shù)與其加法逆元素相加，結(jié)果為復(fù)數(shù)加法恒等元。z=(a+b*i) 的加法逆元素為z*=（-a-b*i）。1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)1復(fù)數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。在幾何意義上，復(fù)平面內(nèi)兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。復(fù)數(shù)乘法用一個(gè)復(fù)數(shù)

3、的實(shí)部和虛部分別去乘另一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，把結(jié)果相加。222222()()*zzabi abiaa bia bibiabz1* 2(* )*(* )* * *( * )*( 1)( * )( * )*zzab icd ia ca d ib c ib d i ia ca db cib da cb da db ci1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)1復(fù)數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)除法需要把除數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)進(jìn)行。復(fù)數(shù)與其倒數(shù)復(fù)數(shù)的倒數(shù)和復(fù)數(shù)本身相乘，結(jié)果為1。221/ 2(* )/(* )(* )*(* )/(* )*(* )( * )( * )* )/()zzab icd iab icd i

4、cd icd ia cb db ca dicdibabbaaibaz*)/()/()*/(1/122221.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)2四元數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)四元數(shù)的概念四元數(shù)（quaternion）是由愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓（William Rowan Hamilton）于1843年發(fā)明的。四元數(shù)并不代表現(xiàn)實(shí)世界的任何東西，只在數(shù)學(xué)意義上存在。四元數(shù)本身可視為是在復(fù)數(shù)基礎(chǔ)上的拓展?？煞Q為是超復(fù)數(shù)（hyper-complex number）。四元數(shù)是指有一個(gè)實(shí)部和3個(gè)虛部的復(fù)數(shù)。0123(* )qqqiqjqk0123(* )vvqqqqqiqjqk也可表示為1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1

5、.2.3 四元數(shù)2四元數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)四元數(shù)的概念虛數(shù)基（i,j,k）可以看作是虛擬坐標(biāo)系中3個(gè)相互垂直的單位向量，并且滿足下面的關(guān)系。ijjikkiikjjkkjikjikji*12221.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)2四元數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)四元數(shù)的范數(shù)四元數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)運(yùn)算相似。222220123qqqqq四元數(shù)加法與減法0000()()vvvvqqqpppqpqpqp加法逆元素和原四元數(shù)相加，結(jié)果為0的四元數(shù)。1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)2四元數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)加法恒等元四元數(shù)乘法用向量的形式表示為。和任意四元數(shù)相加，結(jié)果仍為該四元數(shù)的四元數(shù)。*

6、(* )(* )(*)*(*)*(*)*(*)wxyzwxyzyzzywxwxzxxzwywyxyyxwzwzwwxxyyzzp qppipjpk qqiqjqkpqpqqppqipqpqqppqjpqpqqppqkpqpqpqpq000000*(*()(*)vvvvvvvvqqqppprp qpqpqpqqppq1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)2四元數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)乘法恒等元實(shí)部相等，虛部各分量均相反的兩個(gè)四元數(shù)互為共軛四元數(shù)。10*0*0*qijk 共軛四元數(shù)相當(dāng)于數(shù)學(xué)意義上的1。00222220123*vvqqqqqqq qqqqqq1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ)1.2.3 四元數(shù)

7、2四元數(shù)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)單位四元數(shù)四元數(shù)乘以它的倒數(shù)結(jié)果應(yīng)為1。四元數(shù)的倒數(shù)模為1的四元數(shù)，可以用三角函數(shù)的形式表示。(cos ,sin*)cossin*qqquu1112121*1*( * )*/q qq qqqq qqqqqqqqq1.3 圖形幾何變換1.3.1 齊次坐標(biāo)第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)由n+1維向量表示一個(gè)n維向量。使用齊次坐標(biāo)的優(yōu)勢(shì)在于：1）提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。2）可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如，n+1維中，h=0的齊次坐標(biāo)實(shí)際上表示了一個(gè)n維的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，可以進(jìn)行點(diǎn)的投影。1.3 圖形幾何變換1.3.2

8、基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，用矩陣T表示一個(gè)平移矩陣，三維坐標(biāo)系下，T是一個(gè)44的矩陣。 平移變換10000100( )( , )00101xyzxyzT tT t t tttt10000100(,1)00101(,1)xyzxyzxxyyzzpTppptttptptpt1.3 圖形幾何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)向量沒(méi)有位置屬性，因此，向量的平移變換沒(méi)有意義。 平移變換平移矩陣的逆矩陣可以表示為：1( )()TtTt1.3 圖形幾何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)變換保持圖形各部分之間的線性關(guān)系和角度關(guān)系，變換后物體的形狀不會(huì)發(fā)生

9、改變。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，用矩陣R來(lái)表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，三維坐標(biāo)系下，R是一個(gè)44的矩陣。 旋轉(zhuǎn)變換10000cossin0( )0sincos00001xR繞x軸旋轉(zhuǎn)1.3 圖形幾何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)cos0sin00100( )sin0cos00001yRcossin00sincos00( )00100001zR1.3 圖形幾何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換就是點(diǎn)向量與矩陣相乘。 旋轉(zhuǎn)變換對(duì)于繞任意軸旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)矩陣R，從中取出與旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的33的子矩陣，可以計(jì)算出其對(duì)角元素之和是一個(gè)與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)的常

10、數(shù)，稱為跡（Trace）：cossin00sincos00(,1)00100001(cossin ,sincos ,1)xyzxyxyzpRpppppppp( )12costr R 1.3 圖形幾何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，用矩陣S來(lái)表示一個(gè)縮放矩陣，三維坐標(biāo)系下，S是一個(gè)44的矩陣。 縮放變換如果對(duì)縮放矩陣的縮放因子s的一個(gè)或者3個(gè)分量置負(fù)，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反射矩陣（Reflective Matrux），或者稱為鏡像矩陣（Mirror Matrix）。如果其中兩個(gè)因子是-1，將會(huì)旋轉(zhuǎn)180度。000000( )0000001xyzssS ss1.3 圖形幾

11、何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)可以把多個(gè)變換矩陣組合起來(lái)，稱為變換級(jí)聯(lián) 變換級(jí)聯(lián)進(jìn)行組合變換時(shí)，組合變換的矩陣為各個(gè)變換矩陣的乘積。由于矩陣乘法運(yùn)算不滿足乘法交換律，因此，矩陣相乘的先后順序會(huì)直接影響最終結(jié)果。通常情況下，變換時(shí)先進(jìn)行縮放，再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最后平移。()()pp RpT Rp TR1.3 圖形幾何變換1.3.2 基本變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)把一個(gè)點(diǎn)恢復(fù)為原狀，可以用變換后的點(diǎn)乘以變換矩陣的逆矩陣。 逆矩陣1）旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣： 。2）如果矩陣是單個(gè)變換，可以直接按照各自的逆矩陣規(guī)則計(jì)算出相應(yīng)的逆矩陣。3）如果矩陣是組合矩陣，可以通過(guò)計(jì)算得到其逆

12、矩陣。1TRR111( )( )() ()MRTtRTt( ) ( )MT t R1.3 圖形幾何變換1.3.3 特殊變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)歐拉變換是一種非常直觀的方式，主要用來(lái)構(gòu)造一個(gè)自定位（如攝像機(jī)）或者使任何實(shí)體處于特定方向的矩陣，其命名源于瑞典的著名數(shù)學(xué)家Euler Leonard。 歐拉變換1.3 圖形幾何變換1.3.3 特殊變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)歐拉變換是繞3個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積。 歐拉變換yxzMR R R繞x軸旋轉(zhuǎn)的角稱為傾斜角（pitch），繞y軸旋轉(zhuǎn)的角稱為翻滾角（head，在飛行模擬中稱為偏轉(zhuǎn)角yaw），繞z軸旋轉(zhuǎn)的角稱為搖擺角（roll）。歐拉角的局限性

13、在于：1）歐拉變換的順序不能交換；2）歐拉角會(huì)產(chǎn)生萬(wàn)向節(jié)死鎖（Gimbal Lock）現(xiàn)象。1.3 圖形幾何變換1.3.3 特殊變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)單位四元數(shù)可以用來(lái)表示繞任意軸的旋轉(zhuǎn)。 四元數(shù)變換旋轉(zhuǎn)軸為uq，旋轉(zhuǎn)角度為2。(cos ,sin*)qqu1.3 圖形幾何變換1.3.3 特殊變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)四元數(shù)轉(zhuǎn)換為矩陣。 四元數(shù)變換矩陣轉(zhuǎn)換為四元數(shù)。10000)(21)(2)(20)(2)(21)(20)(2)(2)(21222222yxxwzyywzxxwzyzxzwyxywzxzwyxzyqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqMwqqzwqqy

14、wqqxqwqmm qqmm qqmm qq4 ,4 4 , )(tr21011020021221M1.3 圖形幾何變換1.3.4 投影變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)平行投影使用一組平行投影線將投影對(duì)象投影到投影面。 平行投影投影對(duì)象與投影平面的距離不會(huì)影響到投影對(duì)象的投影結(jié)果大小。1.3 圖形幾何變換1.3.4 投影變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)平行投影分為兩種。 平行投影正交平行投影的投影線與投影平面成90角。正交平行投影1000010000000001P1.3 圖形幾何變換1.3.4 投影變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 平行投影斜交平行投影的投影線與投影面成交角。斜交平行投影100001001

15、cos1sin000001PLL1.3 圖形幾何變換1.3.4 投影變換第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 透視投影透視投影使用一組由投影中心產(chǎn)生的放射投影線，將三維對(duì)象投影到投影平面上去。/()0000/()0000000001dzddzdP 小結(jié)（理論課）第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)圖形學(xué)相關(guān)的線型代數(shù)知識(shí)：四元數(shù)及其運(yùn)算圖形幾何變換平移旋轉(zhuǎn)縮放投影四元數(shù)相關(guān)變換歐拉變換小測(cè)驗(yàn)（題目部分）第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)選擇題（單選題）選擇題（單選題）1下面的變換中，哪種是不可逆的？（下面的變換中，哪種是不可逆的？（ ）A平移平移 B旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) C縮放縮放 D投影投影判斷題判斷題2三維坐標(biāo)系中，圖形的變換矩陣都是三維坐標(biāo)系中，圖形的變換矩陣都是44的方陣。（的方陣。（ ）3使用四元數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，容易引起萬(wàn)向節(jié)死鎖問(wèn)題。（使用四元數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，容易引起萬(wàn)向節(jié)死鎖問(wèn)題。（ ）小測(cè)驗(yàn)（答案部分）第1章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)選擇題（單選題）選擇題（單選題）1下面的變換中，哪種是不可逆的？（下面的變換中，哪種是不可逆的？（ D ）A平移平移 B旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) C縮放縮放 D投影投影判斷題判斷題2三維坐