第二章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析

1、第二章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析本章要解決的問題： 隨機(jī)信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? 傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號？ 相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 功率譜的應(yīng)用 采樣定理 白噪聲的定義2.1 隨機(jī)過程的譜分析1、付氏變換:對于一個(gè)確定性時(shí)間信號x(t)，設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t) 滿足狄利赫利條件（有限個(gè)極值，有限個(gè)斷點(diǎn)，斷點(diǎn)為有限值）且絕對可積，能量有限，則x(t)傅里葉變換存在。即：滿足上述三個(gè)條件的x(t)的傅里葉變換為： 其反變換為：2、帕賽瓦等式由上面式子可以得到： 稱為非周期性時(shí)間函數(shù)的帕塞瓦(Parseval)等式。物理意義：若x(t)表示的是電壓(或電流)，則上式左

2、邊代表x(t)在時(shí)間(-,)區(qū)間的總能量（單位阻抗）。因此，等式右邊的被積函數(shù) 表示了信號x(t)能量按頻率分布的情況，故稱為能量譜密度。一個(gè)信號的付氏變換是否存在，需要滿足三個(gè)條件，那么隨機(jī)信號是否滿足這三個(gè)條件從而存在付氏變換呢？隨機(jī)信號持續(xù)時(shí)間無限長，因此，對于非0的樣本函數(shù)，它的能量一般也是無限的，因此，其付氏變換不存在。但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的條件下，仍然可以利用博里葉變換這一工具。為了將傅里葉變換方法應(yīng)用于隨機(jī)過程，必須對過程的樣本函數(shù)做某些限制，最簡單的一種方法是應(yīng)用截取函數(shù)。截取函數(shù)(t):圖2.1 (t)及其截取函數(shù)當(dāng)x(t)為有限值時(shí)，裁取函數(shù)(t)滿足絕對

3、可積條件。因此，(t)的傅里葉變換存在，有很明顯，(t)也應(yīng)滿足帕塞瓦等式，即：（注意積分區(qū)間和表達(dá)式的變化）用2T除上式等號的兩端，可以得到等號兩邊取集合平均，可以得到:令，再取極限，便可得到隨機(jī)過程的平均功率。交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序，可以得到：(注意這里由一條樣本函數(shù)推廣到更一般的隨機(jī)過程，即下面式子對所有的樣本函數(shù)均適用) 上式等號的左邊表示的正是隨機(jī)過程消耗在單位電阻上的平均功率（包含時(shí)間平均和統(tǒng)計(jì)平均），以后我們將簡稱它為隨機(jī)過程的功率并記為Q。再看等式的右邊，它當(dāng)然也存在，并且等于Q。又因?yàn)榉秦?fù)，所以極限必定存在，記為： 注意：（1）Q為確定性值，不是隨機(jī)變量 （2）為確定性實(shí)

4、函數(shù)。（見式） 兩個(gè)結(jié)論：1式中， 表示時(shí)間平均。它說明，隨機(jī)過程的平均功率可以通過對過程的均方值求時(shí)間平均來得到，即對于一般的隨機(jī)過程（例如，非平穩(wěn)隨機(jī)過程）求平均功率，需要既求時(shí)間平均，又求統(tǒng)計(jì)平均。顯然， Q不是隨機(jī)變量。若隨機(jī)過程為平穩(wěn)的，則這是因?yàn)榫街蹬c時(shí)間t 無關(guān)，其時(shí)間平均為它自身。由于已經(jīng)對 求了數(shù)學(xué)期望，所以不再具有隨機(jī)性，它是的確定性函數(shù)。 功率譜密度：描述了隨機(jī)過程X(t)的功率在各個(gè)不同頻率上的分布稱為隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度。 對在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有： 證明：證明：因?yàn)檫M(jìn)行了取模運(yùn)算，這是的實(shí)

5、函數(shù)，所以也是的實(shí)函數(shù)，且為確定性實(shí)函數(shù)。證明：因此：即：得：證明：對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有：2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互功率譜密度可由單個(gè)隨機(jī)過程的功率譜密度的概念，以及相應(yīng)的分析方法推廣而來?？紤]兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)， 它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個(gè)截取函數(shù)、為：因?yàn)?、都滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍(-T，T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)過程的互功率為:（注意、為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均）由于、的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即: 注意到上式中，和是任一樣本函數(shù)，因此，具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令，得： 定義互功率譜密度為：得：同理，有

6、：又知以上定義了互功率和互功率譜密度，并且導(dǎo)出了它們之間的關(guān)系。平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉變換，互相關(guān)函數(shù)與互譜密度之間也存在著類似關(guān)系。定義：對于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即：式中，表示時(shí)間平均。顯然：證明：略，參見自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度關(guān)系的證明。結(jié)論：對于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。 互功率譜密度和功率譜密度不同，它不再是頻率的正的、實(shí)的和偶函數(shù)。性質(zhì)1：證明： 令 性質(zhì)2：；證明：式中Re·表示實(shí)部。亦

7、即互譜密度的實(shí)部為的偶函數(shù)。所以： 令 其它同理可證。性質(zhì)3：證明：類似性質(zhì)2證明。性質(zhì)4：若X(t)與Y(t)正交，則有證明：若X(t)與Y(t)正交，則 所以，性質(zhì)5：若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和,則證明：因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以 （注意）性質(zhì)6：式中，A<>表示時(shí)間平均。這給出了一般的隨機(jī)過程（包含平穩(wěn)）的互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系式。 例2.2 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為:求互譜密度,解：先求：再求2.3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 確定信號：x(t) 。隨機(jī)信號：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)功率

8、譜密度。1定義：若隨機(jī)過程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：這一關(guān)系就是著名的維納辛欽定理、或稱為維納辛欽公式。2. 證明：下面就來推導(dǎo)這一關(guān)系式。證明方法類似式的證明。 因?yàn)椋?交換積分和數(shù)學(xué)期望順序 設(shè)，則，所以： 圖2.2則 （1） (注意T, ；且時(shí)， 。因此，通常情況下，第二項(xiàng)為0 證畢。推論：對于一般的隨機(jī)過程X(t)，有： 則平均功率為：（）時(shí)間平均加統(tǒng)計(jì)平均。利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納辛欽定理表示成： 3單邊功率譜 由于實(shí)平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常

9、利用只有正頻率部分的單邊功率譜。 （常見的幾種付氏變換關(guān)系需要記?。├?.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為，A>0, ，求過程的功率譜密度。解：應(yīng)將積分按和分成兩部分進(jìn)行。解：注意此時(shí)不是有限值，即不可積，因此的付氏變換不存在，需要引入函數(shù)。 （注意：） （注意： ） 顯然，它與時(shí)間t有關(guān)，所以Y(t)為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，（一定要注意一般隨機(jī)過程與平穩(wěn)隨機(jī)過程的平均功率和譜密度的求法區(qū)別）2.4 離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜度1平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)設(shè)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程，或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為:簡寫為：2平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度式中，

10、T是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。是頻率為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為。的傅里葉級數(shù)的系數(shù)恰為，這里 就是奈奎斯特頻率（不是采樣頻率）。這說明離散序列的功率譜為周期函數(shù)。因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，周期為，3. 譜分解 z變換定義在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為的z變換，并記為，即式中z=，且上式中，D為在的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。 性質(zhì) 因?yàn)樽韵嚓P(guān)函數(shù)=，帶入式即可。 譜分解 譜分解定理：設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過程，具有有理功率譜密度函數(shù)。則可分解為：單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)；B()中包含了單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)。證明：總可以將表示

11、成兩個(gè)多項(xiàng)式之比：上式中：由于是實(shí)函數(shù)，因此多項(xiàng)式N(z)、D(z)的系數(shù)也都是實(shí)數(shù)、且有MN。設(shè)是N(z)的一個(gè)根，是的一個(gè)零點(diǎn)，那么，應(yīng)滿足這就是說，也一定是N(z)的一個(gè)根；或者說是的一個(gè)零點(diǎn)。于是，兩個(gè)零點(diǎn)和總是同時(shí)出現(xiàn)。 同理，若是的一個(gè)極點(diǎn)，則也必定是的一個(gè)極點(diǎn)?；蛘哒f，兩個(gè)極點(diǎn)必定同時(shí)出現(xiàn)。單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)；B()中包含了單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)。-即證。整理得:將z=代人上式，即可求得1預(yù)備知識在分析確定性的離散時(shí)間信號時(shí)，香農(nóng)采樣定理占有重要地位。它建立了連續(xù)信號與其采樣離散信號之間的變換關(guān)系。 設(shè)s(t)是一個(gè)確定性連續(xù)限譜實(shí)信號，它的頻帶范圍限于(-，+)之間

12、。香農(nóng)采樣定理告訴我們，當(dāng)采樣周期小于或等于1/2(=時(shí))，可將s(t)展開成: 因此，采樣頻率為：原信號的恢復(fù)：滿足采樣定理的采樣值通過一個(gè)低通濾波器（沖激響應(yīng)為函數(shù)），就可以無失真的恢復(fù)原信號。2平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理現(xiàn)在將香農(nóng)采樣定理推廣到隨機(jī)信號。定義：若X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，具有零均值，它的功率語密度限于(-,+)之間：（即假設(shè)連續(xù)過程的功率譜有界）則可證明，當(dāng)滿足條件T小于或等于1/2時(shí)，便可將X(t) 按它的振幅樣本展開為：這就是平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理。式中，T為采樣周期X(nT)表示在時(shí)間t=nT時(shí)，對隨機(jī)過程X(t)的任一樣本函數(shù)證明：因?yàn)?X(t)的自相關(guān)函數(shù)及是的確定性

13、因數(shù)， 由維納辛欽定理， 又因?yàn)閹捰邢?，由預(yù)備知識的香農(nóng)采樣定理，的振幅可以展開成： 由付氏變換時(shí)移性質(zhì)，可得： 這里a為任一常數(shù)。顯然。帶寬也是有限的。再由香農(nóng)采樣定理，將展開:令，再令，則上式可變?yōu)椋含F(xiàn)在令：若采樣定理就得到了證明。下面分別證明上式的兩項(xiàng)均為0。 （4） 令, a=t，得： (5)比較（4）（5）式得：0 （6）令, a=mT，得： （7） 又： （8）（7）（8）式比較，上式等號右端為零。于是可得：由 可見： 證畢。 為了書寫方便，也常把采樣定理寫成：但應(yīng)注意，上式的近似是表示均方意義下的極限，它與一般意義下的近似是不同的。由平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理，可以通過對平穩(wěn)隨機(jī)過

14、程X(t)的采樣而得到與之相對應(yīng)的離散時(shí)間隨機(jī)過程X(n)。現(xiàn)在討論X(n)的自相關(guān)函數(shù)(或稱自相關(guān)序列)與X(t)的自相關(guān)函數(shù)、X(n)功率譜密度和X(t)功率譜密度之間的關(guān)系。定義：設(shè)X(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，用和分別表示它的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，且的帶寬有限（這里下標(biāo)C表示連續(xù)）?，F(xiàn)在，應(yīng)用采樣定理對X(t)采樣，構(gòu)成采樣離散時(shí)間隨機(jī)過程X(n)X(nT)，其中T為采樣周期。和分別表示X(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，則式中即功率譜密度的采樣定理。（隨機(jī)序列功率譜為周期函數(shù)）結(jié)論：（1） 離散時(shí)間隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(m)正是對連續(xù)過程自相關(guān)函數(shù)的采樣。（2） 等于及的所有各位移之

15、和，即以為周期延拓，所以為周期函數(shù)。與關(guān)系如下圖示意：圖2.3 、與、的對應(yīng)關(guān)系證明： 預(yù)備知識： 若確定性函數(shù)f(t)為周期函數(shù)，周期為T，即f(t)=f(t+mT)，m為任意整數(shù)，則它總可以展開為傅立葉級數(shù)：（信號與線性系統(tǒng)分析吳大正主編，P129）指數(shù)形式表示： , 注意是確定性函數(shù)。 因?yàn)槭侵芷跒榈倪B續(xù)函數(shù)，則傅里葉級數(shù)展開式為： (這里與通常的傅立葉級數(shù)不同)其中： =帶入上式得： （離散時(shí)間功率譜密度的定義）定理證畢。2.5 白噪聲隨機(jī)過程通常可按它的概率密度和功率譜密度的函數(shù)形式來分類。就概率密度而言，正態(tài)分布(或稱為高斯分布)的隨機(jī)過程占有重要地位；就功率譜密度來說，則具有均勻

16、功率譜密度的白噪聲非常重要。定義：若N(t)為一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度均勻分布在(-，+)的整個(gè)頻率區(qū)間，即其中N0為一正實(shí)常數(shù)，則稱N(t)為白噪聲過程或簡稱為白噪聲。自相關(guān)函數(shù)為理解：白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其面積等于功率譜密度。理解：白噪聲在任何兩個(gè)相鄰時(shí)刻(不管這兩個(gè)時(shí)刻多么鄰近)的取值都是不相關(guān)的。這就意味著白噪聲過程隨時(shí)間的起伏極快，過程的功率譜極寬?？偨Y(jié)：（1）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。（2）白噪聲的均方值為無限大，而物理上存在的隨機(jī)過程，其均方值總是有限的。（3）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便等優(yōu)點(diǎn)。限帶白噪聲又可分為低通型的和帶通型的。1低通型定義：若過程的功率譜密度滿足則稱此過程為低通型限帶白噪聲。將白噪聲通過一個(gè)理想低通濾波器，便可產(chǎn)生出低通型限帶白噪聲。低通型限帶白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為圖2.4示出了低通型限帶白噪聲的和的圖形，注意，時(shí)間間隔為整數(shù)倍的那些隨機(jī)變量，彼此是不相關(guān)的（均值為0，相關(guān)函數(shù)值為0）。圖2.4 低通限帶白噪聲 （a） ; （b）2. 帶通型帶通型限帶白噪聲的功率譜密度為由維納辛欽定理，得到相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為圖2.5中示出了帶通型限帶白噪聲的和的圖形。不難看出，將白噪聲通過一個(gè)理想帶通濾波器便可產(chǎn)生