冪函數(shù)的圖像性質(zhì)和應用(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上冪函數(shù)分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）1、 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點，除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時，冪函數(shù)圖像過原點且在上是增函數(shù) 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在上是減函數(shù) 任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy冪函數(shù)基本性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象

2、都過點（1，1）；（2）0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在0，+上，是增函數(shù)（3）0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù).規(guī)律總結(jié)1在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負整指數(shù)冪化為分式形式再去進行討論；2對于冪函數(shù)y，我們首先應該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即0，01和1三種情況下曲線的基本形狀，還要注意0，1三個曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負雙，大豎小橫”，即0（1）時圖象是拋物線型；0時圖象是雙曲線型；1時圖象是豎直拋物線型；01時圖象是橫臥拋物線型2、 冪函數(shù)的應

3、用xOy例1、 冪函數(shù)（、，且、互質(zhì)）的圖象在第一，二象限，且不經(jīng)過原點，則有 （ ） 、為奇數(shù)且為偶數(shù)，為奇數(shù)，且為偶數(shù)，為奇數(shù)，且奇數(shù)，為偶數(shù)，且xOy例2、 右圖為冪函數(shù)在第一象限的圖像，則的大小關(guān)系是（ ） 解：取，由圖像可知：，應選例3、 比較下列各組數(shù)的大小：（1），；（2），；（3），解：（1）底數(shù)不同，指數(shù)相同的數(shù)比大小，可以轉(zhuǎn)化為同一冪函數(shù)，不同函數(shù)值的大小問題在上單調(diào)遞增，且，（2）底數(shù)均為負數(shù)，可以將其轉(zhuǎn)化為，在上單調(diào)遞增，且，即，（3）先將指數(shù)統(tǒng)一，底數(shù)化成正數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，即：點評：比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性

4、；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小例4、 若，求實數(shù)的取值范圍分析：若，則有三種情況，或解：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，有三種可能：或或，解得：例3已知冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點，且關(guān)于原點對稱，求的值解：冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點，；，又函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，是奇數(shù)，或例4、設(shè)函數(shù)f（x）x3，（1）求它的反函數(shù)；（2）分別求出f1（x）f（x），f1（x）f（x），f1（x）f（x）的實數(shù)x的范圍解析：（1）由yx3兩邊同時開三次方得x，f1（x）x（2）函數(shù)f（x）x3和f1（x）x的圖象都經(jīng)

5、過點（0，0）和（1，1）f1（x）f（x）時，x1及0；在同一個坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象，由圖可知f1（x）f（x）時，x1或0x1；f1（x）f（x）時，x1或1x0點評：本題在確定x的范圍時，采用了數(shù)形結(jié)合的方法，若采用解不等式或方程則較為麻煩例5、求函數(shù)y2x4（x32）值域解析：設(shè)tx，x32，t2，則yt22t4（t1）23當t1時，ymin3函數(shù)y2x4（x32）的值域為3，）點評：這是復合函數(shù)求值域的問題，應用換元法【同步練習】1. 下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（ ）答案：2. 下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（ ）答案：3. 下列冪函數(shù)中定義域為的是（ ）答案：4函數(shù)y（x22x）的定義

6、域是（）Ax|x0或x2B（，0）（2，） C（，0）2，D（0，2）解析：函數(shù)可化為根式形式，即可得定義域答案：B5函數(shù)y（1x2）的值域是（）A0，B（0，1） C（0，1） D0，1解析：這是復合函數(shù)求值域問題，利用換元法，令t1x2，則y1x1，0t1，0y1答案：D6函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A（，1）B（，0） C0，D（，）解析：函數(shù)y是偶函數(shù)，且在0，）上單調(diào)遞增，由對稱性可知選B答案：B7若aa，則a的取值范圍是（）Aa1Ba0 C1a0 D1a0解析：運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，選C答案：C8函數(shù)y的定義域是 。解析：由（152xx2）30152xx203x5答案：A9函數(shù)y在第二

7、象限內(nèi)單調(diào)遞增，則m的最大負整數(shù)是_解析：m的取值應該使函數(shù)為偶函數(shù)故m1答案：m110、討論函數(shù)y的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫出圖象的示意圖思路：函數(shù)y是冪函數(shù)（1）要使y有意義，x可以取任意實數(shù)，故函數(shù)定義域為R（2）xR，x20y0（3）f（x）f（x），函數(shù)y是偶函數(shù)；（4）n0，冪函數(shù)y在0，上單調(diào)遞增由于冪函數(shù)y是偶函數(shù)，冪函數(shù)y在（，0）上單調(diào)遞減（5）其圖象如下圖所示12已知函數(shù)y（1）求函數(shù)的定義域、值域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析：這是復合函數(shù)問題，利用換元法令t152xx2，則y，（1）由152xx20得函數(shù)的定義域為5，3，t16（x1）20，16函數(shù)的值域為0，2（2）函數(shù)的定義域為5，3且關(guān)于原點不對稱，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（3）函數(shù)的定義域為5，3，對稱軸為x1，x5，1時，t隨x的增大而增大；x（1