最小割集徑集

1、相關(guān)概念割集也叫做截集或截止集，它是導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的基本事件 的集合。也就是說事故樹中一組基本事件的發(fā)生，能夠造成頂上事件發(fā) 生，這組基本事件就叫割集。引起頂上事件發(fā)生的基本事件的最低限度 的集合叫最小割集。徑集也叫通集或?qū)?，即如果事故樹中某些基本事件不發(fā) 生，頂上事件就不發(fā)生。那么，這些基本事件的集合稱為徑集。不引起 頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件的集合叫最小徑集。TOP最小割集求解方法e行列法.結(jié)構(gòu)法布爾代數(shù)化簡法行列法行列法是1972年福塞爾提出的方法，所以也稱其為福塞爾 法。其理論依據(jù)是：“與門”使割集容量增加，而不增加割集的 數(shù)量；“或門”使割集的數(shù)量增加，而不增加割集的容量

2、。這種 方法是從頂上事件開始，用下一層事件代替上一層事件，把“與 門”連接的事件，按行橫向排列；把“或門”連接的事件，按列 縱橫向擺開。這樣，逐層向下，直至各基本事件，列出若干行， 最后利用布爾代數(shù)化簡?；喗Y(jié)果，就得出若干最小割集。為了說明這種計算方法，我們以圖4 25所示的事故樹為例，求其最小割集o事故樹示意圖我們看到，頂上事件T與中間事件A1. A2是用“或門連 接的，所以，應(yīng)當(dāng)成列擺開，即Al、A2與下一層事件Bl、B2、XI、X2、X4的連結(jié)均為“與 門”，所以成行排列:下面依此類推：整理上式得：下面對這四組集合用布爾代數(shù)化簡，根據(jù)A A=A,=X” X4 X,= X.,即 rT|辰

3、A 乂根據(jù)A+A - B= A,貝ij X, - X：+ Xx- X： - X3= X： - X：, T鳳昆 爲(wèi)4 N尤于是，就得到三個最小割集X】，X：, Xo x5,按最小割集化簡后的事故樹，如圖426所示：X, X6) o結(jié)構(gòu)法孕種方法的理論根據(jù)是：事故樹的結(jié)構(gòu)完全可以用最小割集來表 不O下面再來分析圖4一25事故樹示意圖：AiU B： X:U X., B：=X】(XiU X3) X2U Xr (CU X6)=x】 x2u X】 X3 x:u (x( x5u x6)=X| X2U X】 X： X3U X“ X, X5U x6=x】 x2u X】 x： x3u x5u x( x6=X| x

4、2u x5u x,-九這樣，得到的三個最小割集Xi，XJ、X” X、X, XJ完全 與上例用行列法得到的結(jié)果一致。說明這種方法是正確的。TOP布爾代數(shù)化簡法這種方法的理論依據(jù)是：上述結(jié)構(gòu)法完全和布爾代數(shù)化簡事故樹法 相似，所不TOP事故樹等效圖同的只是“U ”與“+”的問題。實質(zhì)上，布爾代數(shù)化簡法 中的“ + ”和結(jié)構(gòu)式中的“U ”是一致的。這樣，用布爾代數(shù)化簡法， 最后求出的若干事件邏輯積的邏輯和，其中，每個邏輯積就是最小割集。 現(xiàn)在還以圖4一25為例，進行化簡。T = A1 + A2 = X1 Bl X2 + X4 B2=X1 (X1 + X3) X2 + X4 (C + X6)=X1 X

5、I X2 + X1 X3 X2 + X4 (X4 X5 + X6)=X1 X2 + X1 X2 X3 + X4 X4 X5 + X4 X6=X1 X2 + X1 X2 X3 + X4 X5 + X4 X6 =X1 X2 + X4 X5 + X4 X6所得的三個最小割集 XI, X2、X4, X5、X4, X6與第一、第 二種算法的結(jié)果相同?？偟膩碚f，三種求法都可應(yīng)用，而以第三種算法最為簡單，較為普遍采用最小徑集求法求最小徑集是利用它與最小割集的對偶性，首先作出與事故樹對偶 的成功樹，就是把原來事故樹的“與門”換成“或門”，“或門”換“與門”，各類事件發(fā)生換成不發(fā)生。然后，利用上節(jié)所述方法，求出

6、 成功樹的最小割集經(jīng)對偶變換后就是事故樹的最小徑集。圖4-27給出 了兩種常用的轉(zhuǎn)換方法。4-27與事放樹對偶的成功樹的轉(zhuǎn)殘關(guān)系囲與事故樹對偶的成功樹的轉(zhuǎn)換關(guān)系圖為什么要這樣轉(zhuǎn)換呢？因為，對于“與門”連接輸入事件和輸出事 件的悄況，只要有一個事件不發(fā)生，輸出事件就可以不發(fā)生，所以，在 成功樹中換用“或門”連接輸入事件和輸出事件；而對于“或門”連接 的輸入事件和輸出事件的情況，則必須所有輸入事件均不發(fā)生，輸出事 件才不發(fā)生，所以，在成功樹中換用“與門”連接輸入事件和輸出事件。 例如圖4-27所示，其中：T、XI、X2表示事件T, XI, X2不發(fā)生。例如，與圖4-25事故樹對偶的成功樹，如圖4-

7、28所示。sJ c4-28與圏4 25所示事故樹對偶的成功樹事故樹對偶的成功樹圖用T、Al、A2、BT、B2、C、XI、X2、X3、X4、X5,、X6分別表示各事件T、Al、A2、Bl、B2、C、XI、X2、X3、X4、X5、X6不發(fā)生。用求最小割集的第三種方法，即用布爾代數(shù)化簡法，求最小徑集：= A1 A2=(XI+ B1+ X2，)(X4+ B2)=(xr+ X1 X3+ X2,)(X4 +CX6)=(X1+ X2,)X4+ ( X4 +X5) X6=(xr+ X2,)-(X4*+ X4 X6 +X5X6，)=(XI,+ X2*)(X4,+ X5, X6，)= X1， X4+ X1X5 X6 +X2X4 +X2 X5, X6這樣，就得到成功樹的四個最小割集，經(jīng)對偶變換就是事故樹的四 個最小徑集，即T= (X1 + X4) ( X1 + X5 +X6) ( X2 + X4) ( X2 + X5 + X6)每一個邏輯和就是一個最小徑集，則得到事故樹的四個最小徑集為(XI, X4,