兩人合作收益的整體最優(yōu)分配

1、兩人合作收益的整體最優(yōu)分配    關(guān)鍵詞:合作;饜足性假設(shè);整體最優(yōu)分配在生活中,勞動合作現(xiàn)象十分常見,合作之后的收益如何分配,通常所見的是在參與者之間平均分配。但是,也經(jīng)常見到現(xiàn)實(shí)中參與者之間某一方因?yàn)槠骄峙涠麓尉芙^繼續(xù)合作。本文因篇幅所限,從最簡單模型入手,給出了兩人平均分配的充要條件:新加入者的邊際產(chǎn)出大于平均產(chǎn)出,也即凸條件,為研究多人合作最優(yōu)分配作了一個基礎(chǔ)性工作。 一、引言 生產(chǎn)中的合作是現(xiàn)代社會的一種普遍現(xiàn)象,小至夫妻作坊,大至富可敵國的大型現(xiàn)代企業(yè),都可以稱得上是一種合作,合作之所以普遍存在,一方面是因?yàn)楹献髂軌蚬?jié)約交易成本(Coas

2、e 1968),另一方面是合作能夠帶來比自己單干更大的收益。亞當(dāng)·斯密(1776)考察的合作生產(chǎn)織針的例子中,單個的工人可能一天一枚針都造不出來,但是,幾個人一起合作后在內(nèi)部進(jìn)行分工,卻可以平均每人一天制造出上千枚針來。對這種社會普遍存在的合作生產(chǎn)該怎樣在合作者之間進(jìn)行分配,是理論經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個重點(diǎn)內(nèi)容。 傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論是以競爭作為主要研究對象的理論,合作理論在某種程度上不如競爭理論一樣被大家熟悉和了解。合作理論中對合作收益的分配,一直是研究合作理論的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。斯密在國富論中雖然占用了大量的篇幅對合作(他稱之為分工)進(jìn)行了描述,但是并沒有對合作生產(chǎn)織針例子給出如何分配的具體答案,

3、只是在這篇文章中的另一個章節(jié)認(rèn)為應(yīng)該根據(jù)工作的難易或愉悅程度、學(xué)習(xí)的難易程度、工作的穩(wěn)定程度、工作所擔(dān)負(fù)的責(zé)任大小以及成功可能性程度來確定工資的多少。對合作如何分配的規(guī)范研究應(yīng)該說起始于John von Neumann and Morgenstern(1944),兩人合著的Theroy of Games and Economic Behavior,由于其過于抽象,以致被了解和應(yīng)用的范圍非常有限。后來John Nash(1953)的談判博弈(Bargaining Game)和L.Shapley(1953)的夏普利值(Shapley value),在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究合作產(chǎn)生了廣泛且深刻的影響。隨著對合作

4、研究的進(jìn)展,目前對合作中的分配解主要有核心(Gillies1953)、夏普利值(Shapley 1953),內(nèi)核(Davis and Maschler 1965)、值(Value,Tijs S.H 1981),核仁(Nucleolus,Schmeidler 1969)、歐文值(owen 1977)等。在各種各樣的分配方案中挑選出能被大家都能接受的唯一分配方案,在沒有一個統(tǒng)一的“解”的概念之前,幾乎是不可能的。對同一問題,依據(jù)這些不同的分配方法,經(jīng)常出現(xiàn)不同的分配結(jié)果,各個經(jīng)濟(jì)主體追求自己最大化利益,會難以達(dá)成一個共同接受的分配方案,導(dǎo)致一些能夠改善社會福利的經(jīng)濟(jì)合作不能得到進(jìn)行。同時,上面的這

5、些研究合作的數(shù)學(xué)方法,在應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中只是考慮了收益的分配或成本的分?jǐn)?沒有考慮到國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中生產(chǎn)和消費(fèi)的銜接問題。沒有把合作經(jīng)濟(jì)放到生產(chǎn)消費(fèi)的循環(huán)系統(tǒng)中來研究。 二、本文的假設(shè)以及社會最優(yōu)評價標(biāo)準(zhǔn) 對合作生產(chǎn)中分配的研究之所以成為難點(diǎn),一是多主體構(gòu)成的合作方式數(shù)量龐大,在多人情況下出現(xiàn)的合作形式近乎天文數(shù)字(n人會有2n種生產(chǎn)方式)。二是合作除了人與人之間的合作外,還有資本參與的合作,在存在多種消費(fèi)品種類時,還涉及到生產(chǎn)的分工和交換,分工和合作交織到一起,更是復(fù)雜化了對這方面的研究。三是對合作產(chǎn)出的分配標(biāo)準(zhǔn)上,什么是合理和公平的分配標(biāo)準(zhǔn),很難達(dá)成一個被參與合作的多個主體得到統(tǒng)一承認(rèn)。在

6、經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用本屬于數(shù)學(xué)運(yùn)籌學(xué)分支的研究方法,運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)消費(fèi)循環(huán)系統(tǒng)后,增添了對合作生產(chǎn)研究的復(fù)雜性。因此,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用合作理論分析和研究問題在考慮到消費(fèi)需求后首先必須在比較嚴(yán)格的假設(shè)下予以分析才具備可行性。 (一)本文的假設(shè)條件 1. 參與人具有單一的有限理性。在這里對有限理性的理解是:采用某種策略后收益不會減少就不拒絕這個經(jīng)濟(jì)策略的采用。采用的不是個人收益最大化策略,在合作中對合作剩余的分配采用最大化收益策略,會產(chǎn)生個體間最大化策略的沖突,容易使能產(chǎn)生社會帕累托改進(jìn)的合作不能得以實(shí)現(xiàn)。有了這個假設(shè)之后,合作參與人的分配向量集只要位于核內(nèi),參與人都不會拒絕這樣的分配,在這樣的假設(shè)之

7、下,使求出滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的社會最優(yōu)解具備了條件。 2. 參與人的消費(fèi)具有饜足性。即一定周期內(nèi),參與人對消費(fèi)品的消費(fèi)滿足邊際效用遞減規(guī)律,在邊際效用遞減到0時,即停止對該物品的消費(fèi)。而不是新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)中在消費(fèi)價格曲線推導(dǎo)中所采用的效用對消費(fèi)量具有無饜足性以及嚴(yán)格單調(diào)上升的假設(shè)。 3. 參與人在消費(fèi)品和閑暇之間的選擇順序?yàn)閮?yōu)先滿足消費(fèi)品的需求,只有在滿足消費(fèi)品的飽和需求之后才會轉(zhuǎn)而追求閑暇的需求。 4. 研究期內(nèi)當(dāng)期的生產(chǎn)等于當(dāng)期的消費(fèi)。在這里為簡化研究,假設(shè)儲備為過去就已經(jīng)存在的常量,研究期內(nèi)當(dāng)期的生產(chǎn)始終等于當(dāng)期的消費(fèi)。     

8、0;  5. 生產(chǎn)和消費(fèi)只有單一的物品。在這里由于篇幅所限,只考慮生產(chǎn)一種消費(fèi)品的兩人合作情形,因此不涉及勞動分工與產(chǎn)品交換。 根據(jù)假設(shè)條件(2)、(3),設(shè)飽和消費(fèi)量為Qs,可定義如下偏好: 定義:ui(qi,ti)>uj(qj,tj),(qi?燮QSi,qj?燮QSj,ti?燮C,tj?燮C)(1) 當(dāng)滿足以下條件: (1)如果qi?燮QS,qj?燮QS,qi>qj,?坌ti,即物質(zhì)消費(fèi)沒有達(dá)到飽和之前,物質(zhì)消費(fèi)量大的參與人效用優(yōu)于消費(fèi)量少的參與人,與閑暇時間的多少無關(guān)。 (2)如果qi=qj=QS,t1>t2,即當(dāng)物質(zhì)消費(fèi)都達(dá)到飽和消費(fèi)之后,閑暇時間

9、大的參與人效用要優(yōu)于閑暇時間小的參與人。 其中u為效用,q是對x物品的消費(fèi)量,t為閑暇,QS為x物品的飽和消費(fèi),C為固定常數(shù)。 (二)個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的社會最優(yōu)評價指標(biāo) 由于本文研究內(nèi)容為合作生產(chǎn)中個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的社會最優(yōu)分配,因此對社會最優(yōu)必須給出一個定義和評價標(biāo)準(zhǔn)。在這里,個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)是指參與人參加合作后的效用至少不比合作前變差。社會最優(yōu)和個體效用最大化是統(tǒng)一的,社會最優(yōu)就是參與人在滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的各個參與人效用總和達(dá)到最大時定義為社會最優(yōu)。個人的效用體現(xiàn)在兩方面,一是對消費(fèi)品的消費(fèi),二是對閑暇的消費(fèi)。效用的大小比較滿足上面的定義及條件。 三、兩人合作生產(chǎn)的整體最優(yōu)分配 現(xiàn)在假設(shè)

10、生產(chǎn)消費(fèi)周期為1天,生產(chǎn)活動為捕魚,產(chǎn)出為勞動效率和勞動時間的函數(shù)。兩個漁民單獨(dú)捕魚效率不同,設(shè)漁民甲的效率為1,漁民乙的效率為2,合作捕魚的效率為,捕到的魚只能當(dāng)天消費(fèi)不能儲藏,兩個漁民一天的飽和消費(fèi)都為1單位,由于消費(fèi)都得到滿足,福利的衡量用閑暇指標(biāo)來衡量,即生產(chǎn)1單位的食品所花的勞動時間越少閑暇福利越高。現(xiàn)在需要討論的問題是:(1)何種情況下兩者才會合作?(2)合作之后單位時間內(nèi)的產(chǎn)出增加,這種合作剩余如何分配,用什么比例來分配從而使雙方福利相對于不合作至少不變差并且整體福利最大? 摘要:傳統(tǒng)合作博弈中對合作剩余的分配,沒有納入到生產(chǎn)和消費(fèi)的系統(tǒng)循環(huán)中來考慮,只是在對公平與合理的個人主觀

11、理解上給出了對合作剩余的分配辦法。在引入消費(fèi)在一定期限內(nèi)具有饜足性的假設(shè)條件下,把生產(chǎn)和消費(fèi)納入一個統(tǒng)一的分析框架之內(nèi),在最簡單的兩人合作中,用線性規(guī)劃對具體數(shù)值給出一個唯一解,用代數(shù)方法得出兩人合作中的一般整體最優(yōu)分配解。實(shí)證結(jié)果證明,兩人合作效率優(yōu)于單人。 關(guān)鍵詞:合作;饜足性假設(shè);整體最優(yōu)分配在生活中,勞動合作現(xiàn)象十分常見,合作之后的收益如何分配,通常所見的是在參與者之間平均分配。但是,也經(jīng)常見到現(xiàn)實(shí)中參與者之間某一方因?yàn)槠骄峙涠麓尉芙^繼續(xù)合作。本文因篇幅所限,從最簡單模型入手,給出了兩人平均分配的充要條件:新加入者的邊際產(chǎn)出大于平均產(chǎn)出,也即凸條件,為研究多人合作最優(yōu)分配作了一個基

12、礎(chǔ)性工作。 一、引言 生產(chǎn)中的合作是現(xiàn)代社會的一種普遍現(xiàn)象,小至夫妻作坊,大至富可敵國的大型現(xiàn)代企業(yè),都可以稱得上是一種合作,合作之所以普遍存在,一方面是因?yàn)楹献髂軌蚬?jié)約交易成本(Coase 1968),另一方面是合作能夠帶來比自己單干更大的收益。亞當(dāng)·斯密(1776)考察的合作生產(chǎn)織針的例子中,單個的工人可能一天一枚針都造不出來,但是,幾個人一起合作后在內(nèi)部進(jìn)行分工,卻可以平均每人一天制造出上千枚針來。對這種社會普遍存在的合作生產(chǎn)該怎樣在合作者之間進(jìn)行分配,是理論經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個重點(diǎn)內(nèi)容。 傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論是以競爭作為主要研究對象的理論,合作理論在某種程度上不如競爭理論一樣被大家熟悉和

13、了解。合作理論中對合作收益的分配,一直是研究合作理論的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。斯密在國富論中雖然占用了大量的篇幅對合作(他稱之為分工)進(jìn)行了描述,但是并沒有對合作生產(chǎn)織針例子給出如何分配的具體答案,只是在這篇文章中的另一個章節(jié)認(rèn)為應(yīng)該根據(jù)工作的難易或愉悅程度、學(xué)習(xí)的難易程度、工作的穩(wěn)定程度、工作所擔(dān)負(fù)的責(zé)任大小以及成功可能性程度來確定工資的多少。對合作如何分配的規(guī)范研究應(yīng)該說起始于John von Neumann and Morgenstern(1944),兩人合著的Theroy of Games and Economic Behavior,由于其過于抽象,以致被了解和應(yīng)用的范圍非常有限。后來John

14、Nash(1953)的談判博弈(Bargaining Game)和L.Shapley(1953)的夏普利值(Shapley value),在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究合作產(chǎn)生了廣泛且深刻的影響。隨著對合作研究的進(jìn)展,目前對合作中的分配解主要有核心(Gillies1953)、夏普利值(Shapley 1953),內(nèi)核(Davis and Maschler 1965)、值(Value,Tijs S.H 1981),核仁(Nucleolus,Schmeidler 1969)、歐文值(owen 1977)等。在各種各樣的分配方案中挑選出能被大家都能接受的唯一分配方案,在沒有一個統(tǒng)一的“解”的概念之前,幾乎是不可能的。

15、對同一問題,依據(jù)這些不同的分配方法,經(jīng)常出現(xiàn)不同的分配結(jié)果,各個經(jīng)濟(jì)主體追求自己最大化利益,會難以達(dá)成一個共同接受的分配方案,導(dǎo)致一些能夠改善社會福利的經(jīng)濟(jì)合作不能得到進(jìn)行。同時,上面的這些研究合作的數(shù)學(xué)方法,在應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中只是考慮了收益的分配或成本的分?jǐn)?沒有考慮到國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中生產(chǎn)和消費(fèi)的銜接問題。沒有把合作經(jīng)濟(jì)放到生產(chǎn)消費(fèi)的循環(huán)系統(tǒng)中來研究。        二、本文的假設(shè)以及社會最優(yōu)評價標(biāo)準(zhǔn) 對合作生產(chǎn)中分配的研究之所以成為難點(diǎn),一是多主體構(gòu)成的合作方式數(shù)量龐大,在多人情況下出現(xiàn)的合作形式近乎天文數(shù)字(

16、n人會有2n種生產(chǎn)方式)。二是合作除了人與人之間的合作外,還有資本參與的合作,在存在多種消費(fèi)品種類時,還涉及到生產(chǎn)的分工和交換,分工和合作交織到一起,更是復(fù)雜化了對這方面的研究。三是對合作產(chǎn)出的分配標(biāo)準(zhǔn)上,什么是合理和公平的分配標(biāo)準(zhǔn),很難達(dá)成一個被參與合作的多個主體得到統(tǒng)一承認(rèn)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用本屬于數(shù)學(xué)運(yùn)籌學(xué)分支的研究方法,運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)消費(fèi)循環(huán)系統(tǒng)后,增添了對合作生產(chǎn)研究的復(fù)雜性。因此,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用合作理論分析和研究問題在考慮到消費(fèi)需求后首先必須在比較嚴(yán)格的假設(shè)下予以分析才具備可行性。 (一)本文的假設(shè)條件 1. 參與人具有單一的有限理性。在這里對有限理性的理解是:采用某種策略后收益

17、不會減少就不拒絕這個經(jīng)濟(jì)策略的采用。采用的不是個人收益最大化策略,在合作中對合作剩余的分配采用最大化收益策略,會產(chǎn)生個體間最大化策略的沖突,容易使能產(chǎn)生社會帕累托改進(jìn)的合作不能得以實(shí)現(xiàn)。有了這個假設(shè)之后,合作參與人的分配向量集只要位于核內(nèi),參與人都不會拒絕這樣的分配,在這樣的假設(shè)之下,使求出滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的社會最優(yōu)解具備了條件。 2. 參與人的消費(fèi)具有饜足性。即一定周期內(nèi),參與人對消費(fèi)品的消費(fèi)滿足邊際效用遞減規(guī)律,在邊際效用遞減到0時,即停止對該物品的消費(fèi)。而不是新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)中在消費(fèi)價格曲線推導(dǎo)中所采用的效用對消費(fèi)量具有無饜足性以及嚴(yán)格單調(diào)上升的假設(shè)。 3. 參與人在消費(fèi)品和閑暇之間的選

18、擇順序?yàn)閮?yōu)先滿足消費(fèi)品的需求,只有在滿足消費(fèi)品的飽和需求之后才會轉(zhuǎn)而追求閑暇的需求。 4. 研究期內(nèi)當(dāng)期的生產(chǎn)等于當(dāng)期的消費(fèi)。在這里為簡化研究,假設(shè)儲備為過去就已經(jīng)存在的常量,研究期內(nèi)當(dāng)期的生產(chǎn)始終等于當(dāng)期的消費(fèi)。 5. 生產(chǎn)和消費(fèi)只有單一的物品。在這里由于篇幅所限,只考慮生產(chǎn)一種消費(fèi)品的兩人合作情形,因此不涉及勞動分工與產(chǎn)品交換。 根據(jù)假設(shè)條件(2)、(3),設(shè)飽和消費(fèi)量為Qs,可定義如下偏好: 定義:ui(qi,ti)>uj(qj,tj),(qi?燮QSi,qj?燮QSj,ti?燮C,tj?燮C)(1) 當(dāng)滿足以下條件: (1)如果qi?燮QS,qj?燮QS,qi>qj,?坌t

19、i,即物質(zhì)消費(fèi)沒有達(dá)到飽和之前,物質(zhì)消費(fèi)量大的參與人效用優(yōu)于消費(fèi)量少的參與人,與閑暇時間的多少無關(guān)。 (2)如果qi=qj=QS,t1>t2,即當(dāng)物質(zhì)消費(fèi)都達(dá)到飽和消費(fèi)之后,閑暇時間大的參與人效用要優(yōu)于閑暇時間小的參與人。 其中u為效用,q是對x物品的消費(fèi)量,t為閑暇,QS為x物品的飽和消費(fèi),C為固定常數(shù)。 (二)個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的社會最優(yōu)評價指標(biāo) 由于本文研究內(nèi)容為合作生產(chǎn)中個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的社會最優(yōu)分配,因此對社會最優(yōu)必須給出一個定義和評價標(biāo)準(zhǔn)。在這里,個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)是指參與人參加合作后的效用至少不比合作前變差。社會最優(yōu)和個體效用最大化是統(tǒng)一的,社會最優(yōu)就是參與人在滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)

20、下的各個參與人效用總和達(dá)到最大時定義為社會最優(yōu)。個人的效用體現(xiàn)在兩方面,一是對消費(fèi)品的消費(fèi),二是對閑暇的消費(fèi)。效用的大小比較滿足上面的定義及條件。 三、兩人合作生產(chǎn)的整體最優(yōu)分配 現(xiàn)在假設(shè)生產(chǎn)消費(fèi)周期為1天,生產(chǎn)活動為捕魚,產(chǎn)出為勞動效率和勞動時間的函數(shù)。兩個漁民單獨(dú)捕魚效率不同,設(shè)漁民甲的效率為1,漁民乙的效率為2,合作捕魚的效率為,捕到的魚只能當(dāng)天消費(fèi)不能儲藏,兩個漁民一天的飽和消費(fèi)都為1單位,由于消費(fèi)都得到滿足,福利的衡量用閑暇指標(biāo)來衡量,即生產(chǎn)1單位的食品所花的勞動時間越少閑暇福利越高?，F(xiàn)在需要討論的問題是:(1)何種情況下兩者才會合作?(2)合作之后單位時間內(nèi)的產(chǎn)出增加,這種合作剩余

21、如何分配,用什么比例來分配從而使雙方福利相對于不合作至少不變差并且整體福利最大? 第二,當(dāng)<21時,此時,致使在不等式條件(1)、(2)約束下無公共解。 情形2:如甲的分配比例?燮?燮1,同理可得上面的兩個結(jié)論。 為了進(jìn)一步分析多人合作的方便,把上面的證明的結(jié)論總結(jié)為四個判定定理: 定理1:當(dāng)1 2?燮時,從整體而言,合作生產(chǎn)至少不比單獨(dú)生產(chǎn)差。此為合作產(chǎn)生的必要條件。 定理2:當(dāng)?燮?燮合作是滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)的選擇,此為合作產(chǎn)生的充分條件。(為合作中甲的分配比例,相應(yīng)地,乙的分配比例為1-) 定理3:當(dāng)?叟max(1,2)時,平均分配滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)的整體最優(yōu)。 定理4:當(dāng)?燮ma

22、x(1,2)時,對單干效率低下者實(shí)行定理2中上限比例分配,是個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的整體最優(yōu)分配。 對上述結(jié)論及定理的解釋和說明: 在生產(chǎn)和消費(fèi)只有一種消費(fèi)品的兩人合生產(chǎn)中,平均分配(合作效率大于任意參與人效率的兩倍時),或?qū)胃尚瘦^高者按帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的最低意愿分配。是滿足個人帕累托標(biāo)準(zhǔn)下的兩人整體福利最優(yōu)的分配。 兩人合作是合作現(xiàn)象中的最少參與人形式,在生產(chǎn)消費(fèi)統(tǒng)一系統(tǒng)中對復(fù)雜的多人合作求分配解時,最終會退化為超可加條件存在核心就始終存在的兩人聯(lián)盟形式,兩人合作整體最優(yōu)分配結(jié)論雖然簡單,但是為分析三人或多人合作提供了進(jìn)一步基礎(chǔ)性的工作,為分析存在多種消費(fèi)品、同時涉及分工和合作的社會化生產(chǎn)提供了一

23、個基礎(chǔ)性的結(jié)論。        注釋: 亞當(dāng)·斯密:國富論,商務(wù)出版社1972年版,第43-62頁。 同樣在滿足消費(fèi)需求的情況下,核仁和夏普利值分配方案的總勞動時間為1.375單位,加權(quán)分配方案的總勞動時間為1.39單位,整體最優(yōu)分配的勞動總時間為1.33單位。 參考文獻(xiàn) 1【英】亞當(dāng)·斯密.國富論M.北京:商務(wù)印書館,1972. 2Coase R. 1937.The Nature of the FirmJ. Economies. 3Von Neuman J,Morgenstern O,1944

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26、l of Applied Mathematics,(17). 10Owen G,1977.On the nuleolusJ.International of Game Theory,(3). 11Bezalel Peleg, Peter Sudh?lter,2007.Introduction to the Theory of Cooperative Games .Springer; 2nd ed. Edition. 12Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs, 2008. Models in Cooperative Game TheoryM, Springer; 2nd ed. edition. 責(zé)任編輯:焦世玲 責(zé)任校對:關(guān) 華 On the Overall Optimal Allocation of the Two-person Cooperation Benefits Lv Zongyao (Economics School, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China) Abstract: Distribution of co-operatio