《余弦定理》教案完美版

1、余弦定理教案（一）教學(xué)目標(biāo)1 .知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。2 .過(guò)程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題,3 .情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（二）教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。（三）學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行

2、量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器（四）教學(xué)設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景如圖1.1-4,在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求邊cba（圖1.1-4）探索研究聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。uirruuruurrr如圖1.1-5,設(shè)CBa,CAb,ABc,那么c從而同理可證b2r r c

3、c r r a ar 2 ab2r r r r a b a br r r r b b 2a br r2a bb22ab cosC2bc cos A22accos B圖 1. 1-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b22c2bc cos Ab2c22aa22cb22ac cos B2abcosC思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論:cosAcosBcosC2bc22a c2ac22b a2bab2理解定理從而知余弦定

4、理及其推論的基本作用為:已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊;已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=900,則cosC0,這時(shí)c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析例1.在ABC中，已知a2點(diǎn)，c品五,B60°,求b及A解：-b2a2c22accosB=(2.3)2(,6.2)222.3(6.2)cos450二12(62)243(31)二8b2.2.求A可以利用余弦定理，也可以利

5、用正弦定理:222解法一：cos A Lc 2bc(2 2)2 ( 6 .2 )2 J2.3)22 2 2 (.6.2)12,A 600解法二：. sin A asinB 2 3b 2.2sin450,又. 6 ,2 > 2.4 1.4 3.8,2 ,3< 2 1.8 3.6,. . a < c ,即 00 V Av 900,600評(píng)述:解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。例2.在 ABC中，已知a134.6cm, b 87.8cm, c 161.7cm,解三角形（見(jiàn)課本第8頁(yè)例4,可由學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行理解）解：由余弦定理的推論得:,222八bcacosA134.622bc87.82161.72287.8161.70.5543,A56020;22.2cabcosB2ca134.62161.7287.822134.6161.70.8398,B32053；C1800(AB)1800(5602032053)90047.隨堂練習(xí)第8頁(yè)練習(xí)第1(1)、2(1)題。補(bǔ)充練習(xí)在ABC中，若a2b2c2bc,求角A(答案：A=1200)課堂小結(jié)(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理