十四章排隊論ppt課件

1、排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分單效力臺泊松到達、負指數(shù)效力時間的排隊模型單效力臺泊松到達、負指數(shù)效力時間的排隊模型多效力臺泊松到達、負指數(shù)效力時間的排隊模型多效力臺泊松到達、負指數(shù)效力時間的排隊模型排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析單效力臺泊松到達、恣意效力時間的排隊模型單效力臺泊松到達、恣意效力時間的排隊模型單效力臺泊松到達、定長效力時間的排隊模型單效力臺泊松到達、定長效力時間的排隊模型多效力臺泊松到達、恣意的效力時間、損失制排隊模型多效力臺泊松到達、恣意的效力時間、損失制排隊模型顧客來源有限制排隊模型顧客來源有限制排隊模型1 排隊論，又稱隨機效力系統(tǒng)實際或等待線實際，是研討排隊論，

2、又稱隨機效力系統(tǒng)實際或等待線實際，是研討要求獲得某種效力的對象所產(chǎn)生的隨機性聚散景象的實際。要求獲得某種效力的對象所產(chǎn)生的隨機性聚散景象的實際。它是運籌學(xué)的一個重要分支。本章只引見排隊論的根本實它是運籌學(xué)的一個重要分支。本章只引見排隊論的根本實際與方法。際與方法。 2第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing Theory)19101910年年: :丹麥工程師丹麥工程師A.K.A.K.埃爾朗在處理自動設(shè)計問題時開埃爾朗在處理自動設(shè)計問題時開場構(gòu)成的，當時稱為話務(wù)實際。他在熱力學(xué)統(tǒng)計平衡實際場構(gòu)成的，當時稱為話務(wù)實際。他在熱力學(xué)統(tǒng)計平衡實際的啟發(fā)下，勝利地

3、建立了統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組的啟發(fā)下，勝利地建立了統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推形狀方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗損失率公式。遞推形狀方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗損失率公式。 3第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing Theory)自自2020世紀初以來，系統(tǒng)的設(shè)計不斷在運用這個公式。世紀初以來，系統(tǒng)的設(shè)計不斷在運用這個公式。3030年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家.欣欽把處于統(tǒng)計平衡的呼叫流稱欣欽把處于統(tǒng)計平衡的呼叫流稱為最簡單流。瑞典數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念為最簡單流。瑞典數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義。他們用數(shù)學(xué)方法深化地分析

4、了呼叫的本征特性，和定義。他們用數(shù)學(xué)方法深化地分析了呼叫的本征特性，促進了排隊論的研討。促進了排隊論的研討。4第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing Theory)5050年代初，美國數(shù)學(xué)家關(guān)于生滅過程的研討、英國數(shù)學(xué)家年代初，美國數(shù)學(xué)家關(guān)于生滅過程的研討、英國數(shù)學(xué)家D.G.D.G.肯德爾提出嵌入馬爾可夫鏈實際，以及對排隊隊型的肯德爾提出嵌入馬爾可夫鏈實際，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了實際根底。在這以后，分類方法，為排隊論奠定了實際根底。在這以后，L.L.塔卡塔卡奇等人又將組合方法引進排隊論，使它更能順應(yīng)各種類型奇等人又將組合方法引進排隊

5、論，使它更能順應(yīng)各種類型的排隊問題。的排隊問題。7070年代以來，人們開場研討排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜年代以來，人們開場研討排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題的漸近解等，成為研討現(xiàn)代排隊論的新趨勢。排隊問題的漸近解等，成為研討現(xiàn)代排隊論的新趨勢。5第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing Theory)5050年代初，美國數(shù)學(xué)家關(guān)于生滅過程的研討、英國數(shù)學(xué)家年代初，美國數(shù)學(xué)家關(guān)于生滅過程的研討、英國數(shù)學(xué)家D.G.D.G.肯德爾提出嵌入馬爾可夫鏈實際，以及對排隊隊型的肯德爾提出嵌入馬爾可夫鏈實際，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了實際根底。在這以后，分類方法，為排隊論奠

6、定了實際根底。在這以后，L.L.塔卡塔卡奇等人又將組合方法引進排隊論，使它更能順應(yīng)各種類型奇等人又將組合方法引進排隊論，使它更能順應(yīng)各種類型的排隊問題。的排隊問題。7070年代以來，人們開場研討排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜年代以來，人們開場研討排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題的漸近解等，成為研討現(xiàn)代排隊論的新趨勢。排隊問題的漸近解等，成為研討現(xiàn)代排隊論的新趨勢。6第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing Theory)賭徒輸光問題：兩個賭徒甲、乙進展一系列賭博。在每一賭徒輸光問題：兩個賭徒甲、乙進展一系列賭博。在每一局中甲獲勝的概率為局中甲獲勝的概率為p p，乙獲勝的概率為，

7、乙獲勝的概率為q q，p+q=1p+q=1，每一，每一局后，負者要付一元給勝者。假設(shè)起始時甲有資本局后，負者要付一元給勝者。假設(shè)起始時甲有資本a a元，乙元，乙有資本有資本b b元，元，a+b=ca+b=c，兩個賭徒直到甲輸光或乙輸光為止，兩個賭徒直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸光的概率。求甲輸光的概率。7第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing Theory) 排隊是日常生活中經(jīng)常遇到的景象，如顧客到商店去買東西，病排隊是日常生活中經(jīng)常遇到的景象，如顧客到商店去買東西，病人到醫(yī)院去看病，當售貨員、醫(yī)生的數(shù)量滿足不了顧客或病人及時人到醫(yī)院去看病，當售貨員

8、、醫(yī)生的數(shù)量滿足不了顧客或病人及時效力的需求時，就出現(xiàn)了排隊的景象。效力的需求時，就出現(xiàn)了排隊的景象。 出現(xiàn)這樣的排隊景象，使人感到厭惡，但由于顧客到達人數(shù)出現(xiàn)這樣的排隊景象，使人感到厭惡，但由于顧客到達人數(shù)即顧客到達率和效力時間的隨機性，可以說排隊景象又是不可即顧客到達率和效力時間的隨機性，可以說排隊景象又是不可防止的。當然添加效力設(shè)備如售貨員、醫(yī)生能減少排隊景象，防止的。當然添加效力設(shè)備如售貨員、醫(yī)生能減少排隊景象，但這樣勢必添加投資且因供大于求使設(shè)備經(jīng)?？臻e。但這樣勢必添加投資且因供大于求使設(shè)備經(jīng)?？臻e。8第十三章第十三章 排隊論排隊論 (Queuing Theory) (Queuing

9、 Theory) 作為管理人員來說，就要研討排隊問題，把排隊時間控制在一定作為管理人員來說，就要研討排隊問題，把排隊時間控制在一定的限制內(nèi)，在效力質(zhì)量的提高和本錢的降低之間獲得平衡，找到最的限制內(nèi)，在效力質(zhì)量的提高和本錢的降低之間獲得平衡，找到最適當?shù)慕?。適當?shù)慕狻?排隊論就是處理這類問題的一門科學(xué)，它被廣泛地運用于處理諸排隊論就是處理這類問題的一門科學(xué)，它被廣泛地運用于處理諸如局的占線問題，車站、碼頭、機場等交通樞紐的堵塞與引導(dǎo)，缺如局的占線問題，車站、碼頭、機場等交通樞紐的堵塞與引導(dǎo)，缺點機器的停機待修，水庫的存貯調(diào)理等有形無形的排隊景象的問題。點機器的停機待修，水庫的存貯調(diào)理等有形無形的

10、排隊景象的問題。9 排隊論模型是由一些數(shù)學(xué)公式和它們相應(yīng)之排隊論模型是由一些數(shù)學(xué)公式和它們相應(yīng)之間的關(guān)系所組成，這些數(shù)學(xué)公式使我們可以求出排間的關(guān)系所組成，這些數(shù)學(xué)公式使我們可以求出排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的，這些數(shù)量目的刻劃了排隊系統(tǒng)隊系統(tǒng)的數(shù)量目的，這些數(shù)量目的刻劃了排隊系統(tǒng)運轉(zhuǎn)的優(yōu)劣情況。運轉(zhuǎn)的優(yōu)劣情況。101. 系統(tǒng)中無顧客的概率，即效力設(shè)備空閑的概率 P02. 排隊的平均長度，即排隊的平均顧客數(shù) Lq 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)(排隊和被效力的顧客數(shù)) Ls 4. 顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 (排隊和被效力) Ws 6. 顧客得不到及時效力必需排隊等待的

11、概率 Pw7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率 (排隊和被效力) Pn11 排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。12效力后顧效力后顧客離去客離去顧客顧客到達到達排隊排隊效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)圖圖 13-11 排隊過程的組成部分 排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。13效力后顧效力后顧客離去客離去顧客顧客到達到達排隊排隊效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)圖圖 13-11 排隊過程的組

12、成部分 排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。14效力后顧效力后顧客離去客離去顧客顧客到達到達排隊排隊效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力1 排隊過程的組成部分效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力 排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。15效力后顧效力后顧客離去客離去顧客顧客到達到達排隊排隊效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力1 排隊過程的組成部分效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力排隊排隊排隊排隊效力后顧效

13、力后顧客離去客離去效力后顧效力后顧客離去客離去 排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排排隊過程的根本組成部分為：顧客的到達、排隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。隊規(guī)那么和效力機構(gòu)的效力。16效力后顧效力后顧客離去客離去顧客顧客到達到達排隊排隊效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力1 排隊過程的組成部分排隊排隊效力機構(gòu)效力機構(gòu)效力效力一些排隊系統(tǒng)的例子一些排隊系統(tǒng)的例子排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 顧客顧客 效力臺效力臺 服服 務(wù)務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng) 呼叫呼叫 總機總機 接通呼叫接通呼叫/ / 取消呼叫取消呼叫售票系統(tǒng)售票系統(tǒng) 購票旅客購票旅客 售票窗口售票窗口 收款、售票收款、售票設(shè)備維修設(shè)備維修 出缺點的設(shè)備出缺點的設(shè)備 修繕工修繕

14、工 排除設(shè)備缺點排除設(shè)備缺點防空系統(tǒng)防空系統(tǒng) 進入陣地的敵機進入陣地的敵機 高射炮高射炮 瞄準、射擊直至瞄準、射擊直至 敵機被擊落或分開敵機被擊落或分開17 為了闡明排隊過程的這些組成部分，我們舉例加以闡明。中國工為了闡明排隊過程的這些組成部分，我們舉例加以闡明。中國工商銀行在某居民小區(qū)的儲蓄所，其主要業(yè)務(wù)是為居民的定期、活期商銀行在某居民小區(qū)的儲蓄所，其主要業(yè)務(wù)是為居民的定期、活期儲蓄提供效力和銷售國庫券和債券，雖然儲蓄所希望當每一位顧客儲蓄提供效力和銷售國庫券和債券，雖然儲蓄所希望當每一位顧客一到馬上為其提供效力，但是有時顧客的人數(shù)一下到達過多，儲蓄一到馬上為其提供效力，但是有時顧客的人數(shù)

15、一下到達過多，儲蓄所不能同時為一切的顧客提供效力，顧客不得不排隊等待效力。儲所不能同時為一切的顧客提供效力，顧客不得不排隊等待效力。儲蓄所的指點為了減少顧客的等待時間改良效力，開場對儲蓄所的排蓄所的指點為了減少顧客的等待時間改良效力，開場對儲蓄所的排隊系統(tǒng)進展了調(diào)查研討，首先做了以下的一些調(diào)查隊系統(tǒng)進展了調(diào)查研討，首先做了以下的一些調(diào)查: :18排隊系統(tǒng)中的一些要素：排隊系統(tǒng)中的一些要素：1 1、效力機構(gòu)的效力臺或通道的數(shù)目。這個儲蓄所只設(shè)一、效力機構(gòu)的效力臺或通道的數(shù)目。這個儲蓄所只設(shè)一個效力窗口，一切的業(yè)務(wù)都由這個窗口來處置，也就是說效力個效力窗口，一切的業(yè)務(wù)都由這個窗口來處置，也就是說效

16、力機構(gòu)只需一個效力臺，我們把這樣的排隊系統(tǒng)稱之為單效力臺機構(gòu)只需一個效力臺，我們把這樣的排隊系統(tǒng)稱之為單效力臺或通道的排隊系統(tǒng)?；蛲ǖ赖呐抨犗到y(tǒng)。效力臺或通道數(shù)目：單效力臺或單通道、多效力臺效力臺或通道數(shù)目：單效力臺或單通道、多效力臺或多通道。或多通道。 192、顧客到達過程。一位顧客的到達相對于另外的顧客的到達是獨立的，沒有聯(lián)絡(luò)的。儲蓄所經(jīng)過調(diào)查又了解到顧客到達儲蓄所的時間是隨機的，有一個顧客到達的概率與某一時辰 t 無關(guān)，但與時間的間隔長度有關(guān)，即在較長的時間間隔里有一個顧客到達的概率越大，并且當時間的間隔長度 t 充分小時，有一個顧客到達的概率與 t 的長度成正比例。 在充分小的時間間隔

17、里有兩個顧客同時到的概率極小，可以忽略不計。這些特征正好滿足了泊松分布的三個條件，也就是說儲蓄所的顧客到達過程構(gòu)成了泊松流。 運用泊松概率分布函數(shù)，知道在單位時間里有 x個顧客到達的概率 P(x) = x e- / x! (x = 0, 1, 2,)這里 x 為單位時間到達的顧客數(shù)， 為單位時間平均到達的顧客數(shù)， e 2.71828。20本教材主要思索顧客的到達服從泊松分布的排隊問題。本教材主要思索顧客的到達服從泊松分布的排隊問題。例例: : 這個儲蓄所根據(jù)統(tǒng)計分析得知顧客的到達過程服從泊這個儲蓄所根據(jù)統(tǒng)計分析得知顧客的到達過程服從泊松分布，并且平均每小時到達顧客松分布，并且平均每小時到達顧客

18、 36 36人，即平均每分鐘人，即平均每分鐘到達的顧客人數(shù)為到達的顧客人數(shù)為 36/ 60 = 0.6 36/ 60 = 0.6。假設(shè)把時間單位定為。假設(shè)把時間單位定為分鐘，那么平均到達率分鐘，那么平均到達率 = 0.6 = 0.6 ，每分鐘有，每分鐘有 x x 個顧客個顧客到達的概率到達的概率 21.!6 . 0!)(6 . 0 xexexPxx,5488. 0!06 . 0)0(6 . 00eP,3292. 05488. 06 . 0! 1)6 . 0() 1 (6 . 01eP.098. 025488. 036. 0!2)6 . 0()2(6 . 02eP以上我們看到在一分鐘以上我們看到

19、在一分鐘里沒有人到達的概率為里沒有人到達的概率為 0.5488 0.5488，正好有一人到達的概率為正好有一人到達的概率為 0.3292 0.3292，正好有兩個人到達的概率為正好有兩個人到達的概率為 0.098 0.098。22.!6 . 0!)(6 . 0 xexexPxx,5488. 0!06 . 0)0(6 . 00eP,3292. 05488. 06 . 0! 1)6 . 0() 1 (6 . 01eP.098. 025488. 036. 0!2)6 . 0()2(6 . 02eP滿足下面四個條件的輸入流稱為泊松流滿足下面四個條件的輸入流稱為泊松流 ( (泊松過程泊松過程) )： 平

20、穩(wěn)性：在時間區(qū)間平穩(wěn)性：在時間區(qū)間 t t，t + t + t) t) 內(nèi)到達內(nèi)到達 k k 個顧客的概率與個顧客的概率與 t t 無關(guān)，只與無關(guān)，只與 t t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 pk ( pk (t t； 無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)相互獨立；無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)相互獨立； 普通性：在充分小的時間間隔里多于一個顧客到達的概率極普通性：在充分小的時間間隔里多于一個顧客到達的概率極小，可以忽略不記；小，可以忽略不記； 有限性：恣意有限個區(qū)間內(nèi)到達有限個顧客的概率等于有限性：恣意有限個區(qū)間內(nèi)到達有限個顧客的概率等于 1 1 。233.3.效力時間的分布效力時間的

21、分布效力時間效力時間: :是指顧客從開場接受效力到效力完成所破費的時間。是指顧客從開場接受效力到效力完成所破費的時間。 由于每位顧客要辦的業(yè)務(wù)都不一樣，又存在很多影響效力機由于每位顧客要辦的業(yè)務(wù)都不一樣，又存在很多影響效力機構(gòu)的效力時間的隨機要素，因此效力時間也是一個隨機變量。構(gòu)的效力時間的隨機要素，因此效力時間也是一個隨機變量。普通來說，負指數(shù)概率分布能較好地描畫一些排隊系統(tǒng)里的效普通來說，負指數(shù)概率分布能較好地描畫一些排隊系統(tǒng)里的效力時間的概率分布情況，在負指數(shù)概率分布里，效力時間小于力時間的概率分布情況，在負指數(shù)概率分布里，效力時間小于或等于時間長度或等于時間長度 t t 的概率的概率P

22、(P(效力時間效力時間 t ) = 1 t ) = 1e -e -t t。這里這里 為單位時間里被效力完的平均顧客數(shù)。為單位時間里被效力完的平均顧客數(shù)。24 儲蓄所以為負指數(shù)概率分布能近似地反映了儲蓄所的效力時儲蓄所以為負指數(shù)概率分布能近似地反映了儲蓄所的效力時間的概率分布情況，并統(tǒng)計出這一個效力窗口平均每小時能處間的概率分布情況，并統(tǒng)計出這一個效力窗口平均每小時能處置置 48 48 位顧客的業(yè)務(wù)，也就是說每分鐘平均能處置位顧客的業(yè)務(wù)，也就是說每分鐘平均能處置 48/60=0.8 48/60=0.8 位顧客的業(yè)務(wù)，即平均效力率位顧客的業(yè)務(wù)，即平均效力率 0.80.8，這樣我，這樣我們可求得們可

23、求得P P效力時間效力時間 0.5 0.5分分 ) = 1 ) = 1 e e(0.8(0.80.5)0.5)0.3297 0.3297 P P效力時間效力時間 1 1分分 ) = 1 ) = 1 e e(0.8(0.81)1)0.55070.5507P P效力時間效力時間 2 2分分 ) = 1 ) = 1 e e(0.8(0.82)2)0.79810.7981。P(P(效力時間效力時間 t ) = 1 t ) = 1e -e -t t。25二、排隊規(guī)那么二、排隊規(guī)那么 排隊規(guī)那么也是排隊系統(tǒng)的一個重要組成部分。當顧客到達時，排隊規(guī)那么也是排隊系統(tǒng)的一個重要組成部分。當顧客到達時，一切效力臺

24、都正被占用時，在有些排隊系統(tǒng)里顧客隨即離去如呼喚一切效力臺都正被占用時，在有些排隊系統(tǒng)里顧客隨即離去如呼喚系統(tǒng)，我們把它稱為損失制。系統(tǒng)，我們把它稱為損失制。 在另一些排隊系統(tǒng)里顧客會排隊等待效力如機場候機排隊系統(tǒng)，在另一些排隊系統(tǒng)里顧客會排隊等待效力如機場候機排隊系統(tǒng)，我們把它稱為等待制。我們把它稱為等待制。 對于等待制系統(tǒng)，為顧客進展效力的次序可以采用以下一些規(guī)那對于等待制系統(tǒng)，為顧客進展效力的次序可以采用以下一些規(guī)那么：先到先效力，這是最常見的情形；后到先效力，如乘用電梯的么：先到先效力，這是最常見的情形；后到先效力，如乘用電梯的顧客常是先入后出；隨機效力，如郵局分信經(jīng)常是隨機分揀的；有

25、顧客常是先入后出；隨機效力，如郵局分信經(jīng)常是隨機分揀的；有優(yōu)先權(quán)的效力，如醫(yī)生對于病情嚴重的患者將給予優(yōu)先治療。優(yōu)先權(quán)的效力，如醫(yī)生對于病情嚴重的患者將給予優(yōu)先治療。 在這一章排隊模型里都是按照先到先效力的規(guī)那么處置問題的。在這一章排隊模型里都是按照先到先效力的規(guī)那么處置問題的。儲蓄所的排隊規(guī)那么顯然也是先到先效力的。儲蓄所的排隊規(guī)那么顯然也是先到先效力的。26排隊規(guī)那么分類排隊規(guī)那么分類 (1) (1) 損失制：當顧客到達時，由于一切的效力臺都被損失制：當顧客到達時，由于一切的效力臺都被占用，有部分顧客未接受效力就離去了。占用，有部分顧客未接受效力就離去了。 (2) (2) 等待制：當顧客到

26、達時，由于一切的效力臺都被等待制：當顧客到達時，由于一切的效力臺都被占用，顧客需求等待效力，直到接受效力終了以后才離占用，顧客需求等待效力，直到接受效力終了以后才離去，這時有：先到先效力，后到先效力，隨機效力，有去，這時有：先到先效力，后到先效力，隨機效力，有優(yōu)先權(quán)的效力。優(yōu)先權(quán)的效力。三、平穩(wěn)形狀三、平穩(wěn)形狀 當儲蓄所早上剛開門營業(yè)時，顧客很少，普通把這個當儲蓄所早上剛開門營業(yè)時，顧客很少，普通把這個時間稱為過渡時期，過了過渡時期，儲蓄所的業(yè)務(wù)活動時間稱為過渡時期，過了過渡時期，儲蓄所的業(yè)務(wù)活動才進入正常的平穩(wěn)形狀，排隊論的模型是描畫排隊系統(tǒng)才進入正常的平穩(wěn)形狀，排隊論的模型是描畫排隊系統(tǒng)的

27、平穩(wěn)形狀的平穩(wěn)形狀 。27排隊系統(tǒng)的排隊系統(tǒng)的 ( ( 肯道爾肯道爾 ) ) 符號表示符號表示一個排隊系統(tǒng)的特征可以用六個參數(shù)表示，方式為：一個排隊系統(tǒng)的特征可以用六個參數(shù)表示，方式為：A AB BC C D DE E F F A A 顧客到達的概率分布，可取顧客到達的概率分布，可取 M M、D D、G G、Ek Ek 等；等；B B 效力時間的概率分布，可取效力時間的概率分布，可取 M M、D D、G G、Ek Ek 等；等；C C 效力臺的個數(shù)，取正整數(shù)；效力臺的個數(shù)，取正整數(shù)；D D 排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或 ；E E 顧客源的最大容量，可取正整數(shù)

28、或顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或 ；F F 排隊規(guī)那么。排隊規(guī)那么。其中：其中：M M 泊松分布、負指數(shù)分布泊松分布、負指數(shù)分布Ek k Ek k 階愛爾朗分布階愛爾朗分布D D 定長分布定長分布G G 普通分布普通分布先到先效力先到先效力FCFSFCFS； 后到先效力后到先效力LCFSLCFS；隨機效力隨機效力SIROSIRO； 優(yōu)先權(quán)效力優(yōu)先權(quán)效力PRPR。28例如例如M / M / 1 / M / M / 1 / / / / FCFS / FCFS 表示顧客到達過程服從泊松分布，效力時間服從負表示顧客到達過程服從泊松分布，效力時間服從負指數(shù)分布，一個效力臺，排隊的長度無限制和顧客指數(shù)分布

29、，一個效力臺，排隊的長度無限制和顧客的來源無限制，排隊效力規(guī)那么是先到先效力。的來源無限制，排隊效力規(guī)那么是先到先效力。29泊松分布與負指數(shù)分布的聯(lián)絡(luò)泊松分布與負指數(shù)分布的聯(lián)絡(luò)定理：顧客到達過程是一個具有參數(shù)定理：顧客到達過程是一個具有參數(shù) 的泊松分布的充的泊松分布的充分必要條件是，相繼到達間隔分必要條件是，相繼到達間隔 Tk Tk 是一簇相互獨立的隨是一簇相互獨立的隨機變量，且每個隨機變量機變量，且每個隨機變量 Tk Tk 都服從參數(shù)為都服從參數(shù)為 的負指數(shù)的負指數(shù)分布。分布。注：由定理知，注：由定理知，“泊松流與泊松流與“到達間隔為相互獨立的負指到達間隔為相互獨立的負指數(shù)分布是一回事，都具

30、有馬爾科夫性，故肯道爾用記號數(shù)分布是一回事，都具有馬爾科夫性，故肯道爾用記號 MM馬爾科夫的頭一個字母表示這二者。馬爾科夫的頭一個字母表示這二者。30泊松分布與負指數(shù)分布的聯(lián)絡(luò)泊松分布與負指數(shù)分布的聯(lián)絡(luò)馬爾科夫馬爾科夫1856192218561922，俄羅斯數(shù)學(xué)家。，俄羅斯數(shù)學(xué)家。19071907年年提出馬爾科夫鏈。在提出馬爾科夫鏈。在1906191219061912年開創(chuàng)了對一種無后年開創(chuàng)了對一種無后效性的隨機過程效性的隨機過程馬爾科夫過程的研討。馬爾科夫過程的研討。馬爾科夫過程也稱馬爾科夫性，無后效性，可以簡單馬爾科夫過程也稱馬爾科夫性，無后效性，可以簡單地這樣表述地這樣表述 給定過程的給

31、定過程的“如今，它的如今，它的“未來與未來與“過去無關(guān)。過去無關(guān)。313211生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)1. 1. 生滅過程生滅過程 生滅過程是一類非常簡單具有廣泛運用的一類隨機過程，很多排隊生滅過程是一類非常簡單具有廣泛運用的一類隨機過程，很多排隊模型中都假設(shè)其形狀過程為生滅過程；這樣的排隊子系統(tǒng)如：模型中都假設(shè)其形狀過程為生滅過程；這樣的排隊子系統(tǒng)如：M/M/CM/M/C和和M/M/C/RM/M/C/R，我們也可稱之為生滅過程的排隊系統(tǒng)。在這樣的排隊系統(tǒng)中，我們也可稱之為生滅過程的排隊系統(tǒng)。在這樣的排隊系統(tǒng)中，一個新顧客的到達看作一個新顧客的到達看作“生，一個顧客

32、效力完之后分開系統(tǒng)看作是生，一個顧客效力完之后分開系統(tǒng)看作是“死，設(shè)死，設(shè)N(t)N(t)的恣意時辰的恣意時辰t t排隊系統(tǒng)的形狀即排隊子系統(tǒng)中的總顧客排隊系統(tǒng)的形狀即排隊子系統(tǒng)中的總顧客數(shù)，那么對數(shù)，那么對M/M/C/KM/M/C/K系統(tǒng)系統(tǒng)N(t)N(t)具有有限個形狀具有有限個形狀0 0，1 1，,k,k,對對M/M/CM/M/C來說來說N(t)N(t)具有可列個形狀具有可列個形狀0 0，1 1，22。 普通來說，隨機過程普通來說，隨機過程 滿足以下條件，稱為生滅過程：滿足以下條件，稱為生滅過程： 1) 1) 假設(shè)假設(shè)N(t)=nN(t)=n，那么從時辰，那么從時辰t t起到下一個顧客到

33、達時辰為止的時間服起到下一個顧客到達時辰為止的時間服從參數(shù)為從參數(shù)為 的負指數(shù)分布，的負指數(shù)分布，n=0,1,2,n=0,1,2, 2) 2) 假設(shè)假設(shè)N(t)=nN(t)=n，那么從時辰，那么從時辰t t起到下一個顧客離去時辰為止的時間服起到下一個顧客離去時辰為止的時間服從參數(shù)為從參數(shù)為 的負指數(shù)分布，的負指數(shù)分布，n=0,1,2,n=0,1,2, 3) 3) 同一時辰時只需一個顧客到達或離去。同一時辰時只需一個顧客到達或離去。0( )tN tnn3311生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)0 01 12 23 33411生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)0

34、 01 12 23 31+p1 =0+p01+p1 =0+p03511生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)0 01 12 23 31+p1 =0+p01+p1 =0+p00+p0+2+p20+p0+2+p23611生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)0 01 12 23 31p1 =0p01p1 =0p00p0+2p2 = (1+1)p1 0p0+2p2 = (1+1)p1 3711生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)0 01 12 23 31p1 =0p01p1 =0p00p0+2p2 = (1+1)p1 0p0+2p2 = (1+1)p1 1

35、p1+3p3 = (2+2)p2 1p1+3p3 = (2+2)p2 n-2pn-2+npn = (n-1+n-1)pn-1 n-2pn-2+npn = (n-1+n-1)pn-1 n-1pn-1+n+1pn+1 = (n+n)pn n-1pn-1+n+1pn+1 = (n+n)pn p1 =p0 (0/1)p1 =p0 (0/1)p2 = p0 (10)/(2 1) p2 = p0 (10)/(2 1) p3 = p0 (21 0)/(3 2 1) p3 = p0 (21 0)/(3 2 1) pn = p0 (n-1n-2 0)/(n n-1 0) pn = p0 (n-1n-2 0)/(

36、n n-1 0) pn+1 = p0 (n+1n 0)/(n+1 n 0) pn+1 = p0 (n+1n 0)/(n+1 n 0) 3811 生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)2. 2. 生滅過程穩(wěn)態(tài)方程生滅過程穩(wěn)態(tài)方程 1,)(11110011npppppnnnnnnn 11010101nPPPnnn方程為：方程為：由此可求得生滅過程的平穩(wěn)形狀分布：由此可求得生滅過程的平穩(wěn)形狀分布：10nnP110 nPPP10101012010100 PPPXPnn1100101 nnnP由于由于即有即有即有即有即有即有3911生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng) 10

37、01nnn即當即當時，此生滅過程存在平穩(wěn)形狀分布：時，此生滅過程存在平穩(wěn)形狀分布：110010120011113 1,1,2,nnnnnnnnPPP n 4011生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng) M/M/C M/M/C和和M/M/C/KM/M/C/K排隊系統(tǒng)，顧客到達間隔服從參數(shù)為排隊系統(tǒng)，顧客到達間隔服從參數(shù)為 的負指的負指數(shù)分布，顧客在系統(tǒng)中效力時間服從參數(shù)為數(shù)分布，顧客在系統(tǒng)中效力時間服從參數(shù)為 的負指數(shù)分布，并滿的負指數(shù)分布，并滿足生滅過程的其他條件。它們都是生滅過程的排隊系統(tǒng)，我們都可以從生足生滅過程的其他條件。它們都是生滅過程的排隊系統(tǒng)，我們都可以從生滅過程的平

38、衡方程來推導(dǎo)出這些排隊公式。我們以滅過程的平衡方程來推導(dǎo)出這些排隊公式。我們以M/M/1M/M/1系統(tǒng)為例進展推系統(tǒng)為例進展推導(dǎo)。在這個系統(tǒng)中，導(dǎo)。在這個系統(tǒng)中， 0 0 10110,1,2,0,1,2,13 11111111(1)nnnnnnnnnnPP 令，則由可知：當時4111生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng) 同時也可計算出此系統(tǒng)的其他性能目的同時也可計算出此系統(tǒng)的其他性能目的: :23234001232111(1)(1)(23.)(23.).,011:(1)1()nsnnsqnnnsnnnLnPnLLnPnPPLW q在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)：或(2)排隊平均顧客數(shù)L關(guān)

39、于顧客在系統(tǒng)中逗留時間隨即變量 在M/M/1情況下，他服從參數(shù)為 -()()( )1,0( )()wwF wewf we 的負指數(shù)分布，即：分布函數(shù)概率密度于是得：4211*生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)()0(3):1 ()(4):111swsqqsWwE wwedwWww 在系統(tǒng)中顧客平均逗留時間在系統(tǒng)中顧客花在排隊上的平均時間同樣我們也可用生滅過程的平衡方程推導(dǎo)出同樣我們也可用生滅過程的平衡方程推導(dǎo)出M/M/1/KM/M/1/K系統(tǒng)的公式。系統(tǒng)的公式。在這個系統(tǒng)中在這個系統(tǒng)中, ,knknn, 01,.2 , 1 , 0,knn,.,2 , 1,4311生滅過程及生

40、滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)1100101000131,0,1,1111,2,1,11111,1,2,.111,1,2,.nnkkjnnjknnnnnkPPPnkkPPP nkPkPP nk令，則由，對任意令，得：；于是當時，該系統(tǒng)的狀態(tài)分布為：當時，該系統(tǒng)的狀態(tài)分布為： 利用上面給出的平穩(wěn)形狀的分布，即可推出此系統(tǒng)的其他性能目的。利用上面給出的平穩(wěn)形狀的分布，即可推出此系統(tǒng)的其他性能目的。這些目的我們曾經(jīng)在前面通知大家了計算過程從略。這些目的我們曾經(jīng)在前面通知大家了計算過程從略。 M / M / 1 / / 設(shè)單位時間內(nèi)顧客的平均到達數(shù)為 ，單位時間內(nèi)平均效力的顧客數(shù)為 ( )，

41、那么這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的公式為:1、系統(tǒng)中無顧客的概率 P0 =1 /2、平均排隊的顧客數(shù) Lq =2/ ( )443、系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4、顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq /5、顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/6、顧客得不到及時效力必需排隊等待的概率 Pw = /7、系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率 Pn = ( /)n P0 45注：注： / / 1 。571、系統(tǒng)中無顧客的概率2、平均排隊的顧客數(shù)3、系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / ,4、顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq / ,58,)(!)/(!)/(110

42、0cccnpccnn,)()!1()/(02PccLcq5、顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/ ,6、系統(tǒng)中顧客必需排隊等待的概率7、系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率59,)()(!10pcccpcw0!)/(pnpnn0)(!)/(pccpcnnn當當 n c 時，時，當當 n c 時。時。例例 在前例的儲蓄所里多設(shè)一個效力窗口，即儲蓄在前例的儲蓄所里多設(shè)一個效力窗口，即儲蓄所開設(shè)兩個效力窗口。顧客的到達過程仍服從泊松所開設(shè)兩個效力窗口。顧客的到達過程仍服從泊松分布，平均每小時到達顧客仍是分布，平均每小時到達顧客仍是 36 36 人；儲蓄所的人；儲蓄所的效力時間仍服從負指數(shù)分布

43、，平均每小時仍能處置效力時間仍服從負指數(shù)分布，平均每小時仍能處置 48 48 位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊規(guī)那么為只排一個隊，先位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊規(guī)那么為只排一個隊，先到先效力。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的。到先效力。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的。解：解： c = 2 c = 2， 平均到達率平均到達率 = 36/60 = = 36/60 = 0.60.6， 平均效力率平均效力率 = 48/60 = = 48/60 = 0.80.8。60P0 = 0.4545,Lq = 0.1227 (個顧客),Ls = Lq + / = 0.8727 (個顧客),Wq = Lq / = 0.2045 (分鐘),Ws

44、= Wq+ 1/ = 1.4545 (分鐘),Pw = 0.2045,P1 = 0.3409, P2 = 0.1278, P3 = 0.0479, P4 = 0.0180, P5 = 0.0067， P6 = 0.0040。61注：注： 在儲蓄所里運用在儲蓄所里運用 M / M / 2 M / M / 2 模型與運用兩個模型與運用兩個 M / M / 1 M / M / 1 模型，它們的效力臺數(shù)都是模型，它們的效力臺數(shù)都是 2 2，效力率，效力率和顧客到達率都一樣，只是在和顧客到達率都一樣，只是在 M / M / 2 M / M / 2 中只排中只排一隊，在一隊，在 2 2 個個 M / M

45、/ 1 M / M / 1 中排兩隊，結(jié)果卻不一中排兩隊，結(jié)果卻不一樣。樣。 M / M / 2 M / M / 2 使得效力程度有了很大提高。假使得效力程度有了很大提高。假設(shè)把設(shè)把 M / M / 2 M / M / 2 與原來的一個與原來的一個 M / M / 1 M / M / 1 比較，比較，那么效力程度之間的差別就更大了。那么效力程度之間的差別就更大了。62值得留意，在普通排隊模型中值得留意，在普通排隊模型中 Ls Ls ， Lq Lq， Ws Ws，Wq Wq 之間都有如下關(guān)系：之間都有如下關(guān)系：LsLsLqLq / / ， (13.5) (13.5)WqWqLq /Lq / ，

46、(13.6 ) (13.6 )Ws = Wq+ 1/Ws = Wq+ 1/ 。 (13.7 ) (13.7 ) 對排隊長度有限制的模型，我們設(shè)因排隊長度對排隊長度有限制的模型，我們設(shè)因排隊長度的限制顧客被回絕的概率為的限制顧客被回絕的概率為 PN PN ，那么實踐進入系，那么實踐進入系統(tǒng)平均到達率應(yīng)為統(tǒng)平均到達率應(yīng)為 (1 (1PN)PN)，這時，這時13.513.5和和13.613.6中的中的 應(yīng)改寫為應(yīng)改寫為 (1 (1PN)PN)。63 我們把一個排隊系統(tǒng)的單位時間的總費用我們把一個排隊系統(tǒng)的單位時間的總費用 TC TC 定義為效力機構(gòu)的單位時間的費用和顧客在排隊系定義為效力機構(gòu)的單位時

47、間的費用和顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間的費用之和。即統(tǒng)中逗留單位時間的費用之和。即TC = cw Ls + cs cTC = cw Ls + cs c其中其中 cw cw 為一個顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間付為一個顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間付出的費用；出的費用；Ls Ls 為在排隊系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)；為在排隊系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)；cs cs 為每個效力臺單位時間的費用；為每個效力臺單位時間的費用；c c 為效力臺的數(shù)目。為效力臺的數(shù)目。64例例 在前兩例中，設(shè)儲蓄所的每個效力臺一小時的費用在前兩例中，設(shè)儲蓄所的每個效力臺一小時的費用cs = 18cs = 18，顧客在儲蓄所中逗留一小時的本錢，

48、顧客在儲蓄所中逗留一小時的本錢 cw =10 cw =10。這樣，對儲蓄所這樣，對儲蓄所 M / M / 1 M / M / 1 模型可知模型可知 Ls = 3 Ls = 3， c = 1 c = 1，得得TC = cw Ls + cs c = 48 TC = cw Ls + cs c = 48 元元 / / 每小時。每小時。 對儲蓄所對儲蓄所 M / M / 2 M / M / 2 模型可知模型可知 Ls = 0.8727 Ls = 0.8727，c = 2c = 2，得得TC = cw Ls + cs c = 44.73 TC = cw Ls + cs c = 44.73 元元 / / 每

49、小時。每小時。經(jīng)過經(jīng)濟分析知經(jīng)過經(jīng)濟分析知 M / M / 2 M / M / 2 系統(tǒng)是一個更為經(jīng)濟的模型。系統(tǒng)是一個更為經(jīng)濟的模型。當顧客和效力機構(gòu)從屬于一個單位時，經(jīng)濟分析可取。當顧客和效力機構(gòu)從屬于一個單位時，經(jīng)濟分析可取。65M / G / 1 / / 設(shè)單位時間顧客平均到達數(shù)為 ，單位時間平均效力顧客數(shù)為 ，那么一個顧客的平均效力時間為 1 /。又設(shè)效力時間的均方差為 ，那么系統(tǒng)的數(shù)量目的公式:1、系統(tǒng)中無顧客的概率 P0=1 /662、平均排隊的顧客數(shù) 3、系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4、顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq / 5、系統(tǒng)在中顧客的平均逗留時

50、間 Ws = Wq+ 1/ 6、系統(tǒng)中顧客必需排隊等待的概率 Pw = /7、系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率 Pn67)/1 (2)/(222qL例例1. 1. 某雜貨店只需一名售貨員，知顧客的到達過程某雜貨店只需一名售貨員，知顧客的到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時服從泊松分布，平均到達率為每小時 20 20 人；不清楚這人；不清楚這個系統(tǒng)的效力時間服從什么分布，但從統(tǒng)計分析知道售個系統(tǒng)的效力時間服從什么分布，但從統(tǒng)計分析知道售貨員平均效力一名顧客的時間為貨員平均效力一名顧客的時間為 2 2 分鐘，效力時間的分鐘，效力時間的均方差為均方差為 1.5 1.5 分鐘。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量

51、目的。分鐘。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的。解：這是一個解：這是一個 M / G / 1 M / G / 1 的排隊系統(tǒng)，其中的排隊系統(tǒng)，其中 = 20/60 = 0.3333 = 20/60 = 0.3333 人人 / / 分鐘，分鐘， 1 / 1 / = 2 = 2 分鐘，分鐘， = = 0.5 = = 0.5 人人 / / 分鐘，分鐘， =1.5 =1.5。68P0 =1 / = 0.33334,Lq =1.0412 (人) ,Ls = Lq + / = 1. 7078 (人) , Wq = Lq / = 2.25/0.6 = 3.1241 (分鐘) ,Ws = Wq+ 1/ =5.1241

52、 (分鐘) ,Pw = / = 0.6666。69M / D / 1 / / 注：它是 M / G / 1 / / 的特殊情況： = 0。1、系統(tǒng)中無顧客的概率 P0=1 /2、平均排隊的顧客數(shù)70)/1 (2)/(2qL3、系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4、顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq / 5、系統(tǒng)在中顧客的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/ 6、系統(tǒng)中顧客必需排隊等待的概率 Pw = /7、系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率 Pn71例例2 . 2 . 某汽車沖洗效力營業(yè)部，有一套自動沖洗設(shè)備，某汽車沖洗效力營業(yè)部，有一套自動沖洗設(shè)備，沖洗每輛車需求沖洗每輛車需求

53、 6 6 分鐘，到此營業(yè)部來沖洗的汽車分鐘，到此營業(yè)部來沖洗的汽車到達過程服從泊松分布，每小時平均到達到達過程服從泊松分布，每小時平均到達 6 6 輛，試輛，試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的。求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量目的。解：這是一個解：這是一個 M / D / 1 M / D / 1 排隊模型，其中排隊模型，其中 = 6 = 6 輛輛 / / 小時，小時， = 60 / 6 =10 = 60 / 6 =10 輛輛 / / 小時，小時，72得得P0 = 1P0 = 1 / / = 0.4, = 0.4,Lq = 0.45,Lq = 0.45,Ls = Lq + Ls = Lq + / / = 1.05,

54、 = 1.05, Wq = Lq / Wq = Lq / = 0.0750 = 0.0750，Ws = Wq+ 1 /Ws = Wq+ 1 / = 0.1750, = 0.1750,Pw = Pw = / / = 0.6 = 0.6。73 這種排隊模型記為這種排隊模型記為 M / G / c / c / M / G / c / c / ，式中，式中第一位第一位 M M 表示到達過程服從泊松分布，第二位表示到達過程服從泊松分布，第二位 G G 表示效力時間的概率分布可以是恣意的，第三位表示效力時間的概率分布可以是恣意的，第三位 c c 表示有表示有 c c 個效力臺，第四位個效力臺，第四位 c

55、c 表示系統(tǒng)里至多能表示系統(tǒng)里至多能包容包容 c c 個顧客，顧客排隊的長度為有限制個顧客，顧客排隊的長度為有限制 c cc = c = 0 0，也就是顧客一看效力臺都被占了，就走開，不會，也就是顧客一看效力臺都被占了，就走開，不會排隊等待效力的，第五位的排隊等待效力的，第五位的 表示顧客源無限制。表示顧客源無限制。74這種模型是一種損失制模型，它要處理的主要問題這種模型是一種損失制模型，它要處理的主要問題是在效力機構(gòu)的空閑與顧客的流失之間找到平衡，是在效力機構(gòu)的空閑與顧客的流失之間找到平衡，找出最適宜的效力臺數(shù)，使得該系統(tǒng)收益最大。例找出最適宜的效力臺數(shù)，使得該系統(tǒng)收益最大。例如民航訂票系統(tǒng)

56、就是典型的這樣的排隊模型。假設(shè)如民航訂票系統(tǒng)就是典型的這樣的排隊模型。假設(shè)效力臺接受訂票的太少，顧客經(jīng)常會由于打不效力臺接受訂票的太少，顧客經(jīng)常會由于打不通而去別的公司訂票；假設(shè)效力臺太多，那么公司通而去別的公司訂票；假設(shè)效力臺太多，那么公司將會為效力臺的設(shè)置付出過多的費用將會為效力臺的設(shè)置付出過多的費用. .75 下面我們給出計算該模型數(shù)量目的的一些公式，下面我們給出計算該模型數(shù)量目的的一些公式，由于是損失制，故不存在平均排隊的顧客數(shù)由于是損失制，故不存在平均排隊的顧客數(shù) Lq Lq 和顧和顧客平均的排隊等待時間客平均的排隊等待時間 Wq Wq。 設(shè)設(shè) 仍為平均到達率，仍為平均到達率， 為平

57、均效力率，為平均效力率，那么系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)那么系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Ls = / / (1 (1 Pc ) Pc ) 13. 2713. 27其中其中 Pc Pc 是系統(tǒng)中恰好有是系統(tǒng)中恰好有 c c 個顧客的概率，也就個顧客的概率，也就是系統(tǒng)里是系統(tǒng)里 c c 個效力臺都被顧客占滿的概率。個效力臺都被顧客占滿的概率。76系統(tǒng)中恰好有系統(tǒng)中恰好有 n n 個顧客的概率個顧客的概率77)26.13()(!/)/(!/)/(0cninPciinn例例3. 3. 某電視商場專營店開展了訂貨業(yè)務(wù)，的到達過某電視商場專營店開展了訂貨業(yè)務(wù)，的到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時程服從泊松分

58、布，平均到達率為每小時 16 16 個，而個，而一個接話員處置訂貨事宜的時間是隨著訂貨的產(chǎn)品、一個接話員處置訂貨事宜的時間是隨著訂貨的產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個人規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個人每小時可以處置每小時可以處置 8 8 個訂貨。在此電視商場專營店里個訂貨。在此電視商場專營店里安裝了一臺自動交換臺，它接到后可以接到任一個安裝了一臺自動交換臺，它接到后可以接到任一個空閑的接話員的上，試問該公司應(yīng)安裝多少臺接話空閑的接話員的上，試問該公司應(yīng)安裝多少臺接話員的，使得訂貨因占線而損失的概率不超越員的，使得訂貨因占線而損失的概率不超越 10% 10% 。78解

59、：這是一個解：這是一個 M / G / c / c / M / G / c / c / 模型。當模型。當 c =3 c =3 時，系統(tǒng)中正好有時，系統(tǒng)中正好有 3 3 位顧客的概率為位顧客的概率為由于由于 21.05% 10% 21.05% 10%，所以不符合要求。，所以不符合要求。793033!/)/(!3/)/(iiiP2105. 06/) 8/16(2/) 8/16(1 /) 8/16(1 /) 8/16(6/) 8/16(32103當當 c = 4 c = 4 時，系統(tǒng)中正好有時，系統(tǒng)中正好有 4 4 位顧客的概率為位顧客的概率為由于由于 9.52% 10% 9.52% 1 的情形設(shè)8

60、4.,c. 1,!)(!, 1,)1 ( !)(!10100cccNiccciPcciiNcccii85., 2, 1,!, 2, 1,!00NccnPcccnPnPncnn. 1,!2) 1)(, 1,)1)(1 1)1 ( !002PcccNcNPcNcLccNcqLs = Lq + (1PN )，e = (1PN )，Ws = Ls / e ，Wq = Lq / e = Ws1 / 。86 M / M / 1 / m / m M / M / 1 / m / m 模型模型 前面所引見的排隊系統(tǒng)都是顧客來源無限制的前面所引見的排隊系統(tǒng)都是顧客來源無限制的情況，這一節(jié)我們將引見顧客來源有限制的