第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)例題ppt課件

1、第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)例1無(wú)窮級(jí)數(shù) 叫做等比級(jí)數(shù)(又稱(chēng)為幾何級(jí)數(shù)),其中 叫做級(jí)數(shù)的公比,試討論該級(jí)數(shù)的收斂性。20nnnaqaaqaqaq0,aq例2.判別下列各級(jí)數(shù)的收斂性例3證明：調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。 1111, 2ln 1.1nnnnn！11nn1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法2定理2比較審斂法） （1定理 設(shè) 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 若級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 收斂，反之，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù) 發(fā)散。11nnnnuv和1,2,nnuvn1nnv1nnu1nnu1nnv例證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。011111!1!2!nnn 例證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的。 111nn n(2)推論：設(shè) 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)

2、收斂，且存在正整數(shù)N，使當(dāng) 成立，則級(jí)數(shù) 收斂，如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，且當(dāng) 成立，則級(jí)數(shù) 發(fā)散。11nnnnuv和1nnv0nnnNukvk時(shí)有1nnu1nnv0nnnNukvk時(shí)有1nnu例討論一級(jí)數(shù)的收斂性，其中常數(shù) 。11111123ppppnnn 0p 3、定理3 （比較審斂法的極限形式）（1定理 設(shè) 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，假如 且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù) 收斂。假如 且級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 發(fā)散。11nnnnuv和lim0nnnullv 1nnv1nnulim0lim=+nnnnnnuulvv 或1nnv1nnu例 判定級(jí)數(shù)的收斂性。11sinnn(2)推論極限審斂法） 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 假如 則級(jí)數(shù) 發(fā)散。

3、假如則級(jí)數(shù) 收斂。1nnu1 ,lim0pnnpn ull 而1nnulim0limnnnnnulnu 或1nnu例判定級(jí)數(shù)的收斂性。211ln 1nn例判定級(jí)數(shù)的斂散性。例7判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性11 1 cosnnn31ln21nnn例8判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。1301sin1nnxdxx4定理4比較審斂法，達(dá)朗貝爾判別法） 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，假如時(shí)級(jí)數(shù)收斂； 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。1nnu1lim,1nnnuu則當(dāng)11limnnnuu 或=1例9證明級(jí)數(shù)是收斂的，并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和 近似代替和S所產(chǎn)生的誤差。1111111.21.2.31 !n nS例10判定級(jí)數(shù)的收斂

4、性。2311.21.2.3!10101010nn5定理5根值審斂法，柯西判別法） 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，假如 ，則當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂， 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散， 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。1nnulimnnnu11limnnnu 或1例11判定級(jí)數(shù)的收斂性1212nnn 例1判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 ln121,3nnn 12021nnnnnbbn例1判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。11111nnne例1設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 單調(diào)減少，且 發(fā)散，試問(wèn)是否收斂，并說(shuō)明理由。 na11nnna111nnna例1判別級(jí)數(shù)的收斂性。例6判別級(jí)數(shù)的斂散性。21sinnnn2111112nnnnn例7判別級(jí)數(shù)的斂散性。11111nnne 13

5、冪級(jí)數(shù)例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。231123nnxxxxn 例求冪級(jí)數(shù)的收斂域。21112!nxxxn例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。例求冪級(jí)數(shù)的收斂域。0!nnn x2121nnnxn例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。例6求冪級(jí)數(shù)的收斂域。2202!nnnxn2112nnnnnx 例7求冪級(jí)數(shù)的收斂域。例8求冪級(jí)數(shù)的收斂域。112 .nnnxn111nnxnx四、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)1性質(zhì)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂域 上 連續(xù)0nnna x S xI性質(zhì)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂域 上可積，并有逐項(xiàng)積分公式。逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)具有相同的收斂半徑。0nnna x S xI 10000001xxxn

6、nnnnnnnnaS x dxa x dxa x dxxx In性質(zhì)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式。逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。0nnna x S x,R R 1001nnnnnnnnnSxa xa xna xxR 由此性質(zhì)不難得知冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)。0nnna x S x,R R例9求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。01nnxn例10求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)。例11求級(jí)數(shù) 的和。1212nnn11nnn nx14 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例1將函數(shù)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。例2將函數(shù)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。 xf xe sinf xxxx例將函數(shù) 展開(kāi)成 的冪

7、級(jí)數(shù) 。例將函數(shù) 展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。xax0a cosxx例將函數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。例6將函數(shù)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。211xx ln 1f xxx例7把函數(shù)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。例8將函數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。 1ln 1f xxxsin x4xx例9將函數(shù)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。 2143fxxx1x例10將展開(kāi)為 的冪級(jí)數(shù)。例11求級(jí)數(shù)的值。 2arctanln 1f xxxxx0212!nnnn例12設(shè) 求 sin010 xxf xxx時(shí)時(shí) 01,2nfn 17 傅里葉級(jí)數(shù)(二)三角函數(shù)系在區(qū)間 上正交。 所謂三角函數(shù)系1.在區(qū)間 上正交，就是指在上面三角函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間 上的積分

8、等于零，即1,cos ,sin ,cos,sinxxnxnx, cos ,sin ,cos2 ,sin2cos,sinxxxxnxnx, , ， ，cos01,2,3nxdxnsin01,2,3nxdxnsincos0.1,2,3kxnxdxk ncoscos0.1,2,3,kxnxdxk nknsinsin0.1,2,3,kxnxdxk nkn 任何兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間 上的積分不等于零。即 ， 。, 212dx2sin nxdx2cos1,2,3nxdxn （收斂定理 狄利克雷充分條件） 設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，如果它滿足（1在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)。（2在一個(gè)周期內(nèi)

9、至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)。 f x2 那么 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng) 的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 ，當(dāng) 的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 。 f x xf x是 f x xf x是12f xf x例1設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為將 展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。 f x2, ) 1010 xfxx f x例2設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為 將 展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。 f x2, ) 000 xxfxx f x（三周期延拓 如果函數(shù) 只在 上有定 義，并且滿足收斂定理的條件，那么 也可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，我們 可以在 外補(bǔ)充函數(shù) 的定義，使它拓廣成周期為 的周期函數(shù) ，按這種方式拓廣函數(shù) 定義域的過(guò)

10、程稱(chēng)為周期延拓， 再 將 展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)， f x, f x, )(, 或 f x2 F x F x最后限制 內(nèi)，此時(shí)這樣便得到 的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，根據(jù)收斂定理這個(gè)級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn) 處收斂于 。,x 在 F xf x f xx 2ff例 將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。 00 xxfxxx例將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，其中 是正的常數(shù)。 sin2tu tEt E例設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為 ，將 展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。 f x2, f xx f x例6設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為 ，將 展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。 f x2, ) f xx f x（二奇延拓與偶延拓 設(shè)函數(shù) 定義在區(qū)

11、間 上并且滿足收斂定理的條件，我們?cè)陂_(kāi)區(qū)間 內(nèi)補(bǔ)充函數(shù) 的定義，得到定義在 上的函數(shù) 使它在 上成為奇函數(shù)（偶函數(shù)），按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程稱(chēng)為奇延拓偶延拓）， f x0,0 f x(, F x, 然后將奇延拓偶延拓后的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，這個(gè)級(jí)數(shù)必定是正弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)），再限制 上，此時(shí) ，這樣便得到的正弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式。0 x在（ ， F xf x f x例7將函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。 cos0202xxf xx18 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、周期為 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理：設(shè)周期為 的周期函數(shù) 滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 其中2l2l f x 01cossin2nnnan xn xf xabxcll 1cos0,1,2,lnln xaf xdxnll 1sin1,2,3,lnln xbfxdxnll 12Cx f xf xf x 當(dāng) 為奇