第十二章無窮級數(shù)例題ppt課件

1、第十二章 無窮級數(shù)1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)例1無窮級數(shù) 叫做等比級數(shù)(又稱為幾何級數(shù)),其中 叫做級數(shù)的公比,試討論該級數(shù)的收斂性。20nnnaqaaqaqaq0,aq例2.判別下列各級數(shù)的收斂性例3證明：調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。 1111, 2ln 1.1nnnnn！11nn1常數(shù)項級數(shù)的審斂法2定理2比較審斂法） （1定理 設(shè) 都是正項級數(shù)，且 若級數(shù) 收斂，則級數(shù) 收斂，反之，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù) 發(fā)散。11nnnnuv和1,2,nnuvn1nnv1nnu1nnu1nnv例證明正項級數(shù)收斂。011111!1!2!nnn 例證明級數(shù)是發(fā)散的。 111nn n(2)推論：設(shè) 都是正項級數(shù)，如果級數(shù)

2、收斂，且存在正整數(shù)N，使當 成立，則級數(shù) 收斂，如果級數(shù) 發(fā)散，且當 成立，則級數(shù) 發(fā)散。11nnnnuv和1nnv0nnnNukvk時有1nnu1nnv0nnnNukvk時有1nnu例討論一級數(shù)的收斂性，其中常數(shù) 。11111123ppppnnn 0p 3、定理3 （比較審斂法的極限形式）（1定理 設(shè) 都是正項級數(shù)，假如 且級數(shù)收斂，則級數(shù) 收斂。假如 且級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) 發(fā)散。11nnnnuv和lim0nnnullv 1nnv1nnulim0lim=+nnnnnnuulvv 或1nnv1nnu例 判定級數(shù)的收斂性。11sinnn(2)推論極限審斂法） 設(shè) 為正項級數(shù) 假如 則級數(shù) 發(fā)散。

3、假如則級數(shù) 收斂。1nnu1 ,lim0pnnpn ull 而1nnulim0limnnnnnulnu 或1nnu例判定級數(shù)的收斂性。211ln 1nn例判定級數(shù)的斂散性。例7判別下列正項級數(shù)的斂散性11 1 cosnnn31ln21nnn例8判別正項級數(shù)的斂散性。1301sin1nnxdxx4定理4比較審斂法，達朗貝爾判別法） 設(shè) 為正項級數(shù)，假如時級數(shù)收斂； 時級數(shù)發(fā)散； 時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。1nnu1lim,1nnnuu則當11limnnnuu 或=1例9證明級數(shù)是收斂的，并估計以級數(shù)的部分和 近似代替和S所產(chǎn)生的誤差。1111111.21.2.31 !n nS例10判定級數(shù)的收斂

4、性。2311.21.2.3!10101010nn5定理5根值審斂法，柯西判別法） 設(shè) 為正項級數(shù)，假如 ，則當 時級數(shù)收斂， 時級數(shù)發(fā)散， 時級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。1nnulimnnnu11limnnnu 或1例11判定級數(shù)的收斂性1212nnn 例1判別下列正項級數(shù)的斂散性 ln121,3nnn 12021nnnnnbbn例1判別交錯級數(shù)的斂散性。11111nnne例1設(shè)正項數(shù)列 單調(diào)減少，且 發(fā)散，試問是否收斂，并說明理由。 na11nnna111nnna例1判別級數(shù)的收斂性。例6判別級數(shù)的斂散性。21sinnnn2111112nnnnn例7判別級數(shù)的斂散性。11111nnne 13

5、冪級數(shù)例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域。231123nnxxxxn 例求冪級數(shù)的收斂域。21112!nxxxn例求冪級數(shù)的收斂半徑。例求冪級數(shù)的收斂域。0!nnn x2121nnnxn例求冪級數(shù)的收斂半徑。例6求冪級數(shù)的收斂域。2202!nnnxn2112nnnnnx 例7求冪級數(shù)的收斂域。例8求冪級數(shù)的收斂域。112 .nnnxn111nnxnx四、冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)1性質(zhì)冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂域 上 連續(xù)0nnna x S xI性質(zhì)冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂域 上可積，并有逐項積分公式。逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)具有相同的收斂半徑。0nnna x S xI 10000001xxxn

6、nnnnnnnnaS x dxa x dxa x dxxx In性質(zhì)冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間 內(nèi)可導，且有逐項求導公式。逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。0nnna x S x,R R 1001nnnnnnnnnSxa xa xna xxR 由此性質(zhì)不難得知冪級數(shù)的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間內(nèi)具有任意階導數(shù)。0nnna x S x,R R例9求冪級數(shù)的和函數(shù)。01nnxn例10求冪級數(shù) 的和函數(shù)。例11求級數(shù) 的和。1212nnn11nnn nx14 函數(shù)展開成冪級數(shù)例1將函數(shù)展開成 的冪級數(shù)。例2將函數(shù)展開成 的冪級數(shù)。 xf xe sinf xxxx例將函數(shù) 展開成 的冪

7、級數(shù) 。例將函數(shù) 展開成的冪級數(shù)。xax0a cosxx例將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù)。例6將函數(shù)展開成 的冪級數(shù)。211xx ln 1f xxx例7把函數(shù)展開成 的冪級數(shù)。例8將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù)。 1ln 1f xxxsin x4xx例9將函數(shù)展開成 的冪級數(shù)。 2143fxxx1x例10將展開為 的冪級數(shù)。例11求級數(shù)的值。 2arctanln 1f xxxxx0212!nnnn例12設(shè) 求 sin010 xxf xxx時時 01,2nfn 17 傅里葉級數(shù)(二)三角函數(shù)系在區(qū)間 上正交。 所謂三角函數(shù)系1.在區(qū)間 上正交，就是指在上面三角函數(shù)系中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間 上的積分

8、等于零，即1,cos ,sin ,cos,sinxxnxnx, cos ,sin ,cos2 ,sin2cos,sinxxxxnxnx, , ， ，cos01,2,3nxdxnsin01,2,3nxdxnsincos0.1,2,3kxnxdxk ncoscos0.1,2,3,kxnxdxk nknsinsin0.1,2,3,kxnxdxk nkn 任何兩個相同函數(shù)的乘積在區(qū)間 上的積分不等于零。即 ， 。, 212dx2sin nxdx2cos1,2,3nxdxn （收斂定理 狄利克雷充分條件） 設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，如果它滿足（1在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點。（2在一個周期內(nèi)

9、至多只有有限個極值點。 f x2 那么 的傅里葉級數(shù)收斂，并且當 的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于 ，當 的間斷點時，級數(shù)收斂于 。 f x xf x是 f x xf x是12f xf x例1設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達式為將 展開成傅里葉級數(shù)。 f x2, ) 1010 xfxx f x例2設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達式為 將 展開成傅里葉級數(shù)。 f x2, ) 000 xxfxx f x（三周期延拓 如果函數(shù) 只在 上有定 義，并且滿足收斂定理的條件，那么 也可以展開成傅里葉級數(shù)，我們 可以在 外補充函數(shù) 的定義，使它拓廣成周期為 的周期函數(shù) ，按這種方式拓廣函數(shù) 定義域的過

10、程稱為周期延拓， 再 將 展開成傅里葉級數(shù)， f x, f x, )(, 或 f x2 F x F x最后限制 內(nèi)，此時這樣便得到 的傅里葉級數(shù)展開式，根據(jù)收斂定理這個級數(shù)在區(qū)間端點 處收斂于 。,x 在 F xf x f xx 2ff例 將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。 00 xxfxxx例將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，其中 是正的常數(shù)。 sin2tu tEt E例設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達式為 ，將 展開成傅里葉級數(shù)。 f x2, f xx f x例6設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達式為 ，將 展開成傅里葉級數(shù)。 f x2, ) f xx f x（二奇延拓與偶延拓 設(shè)函數(shù) 定義在區(qū)

11、間 上并且滿足收斂定理的條件，我們在開區(qū)間 內(nèi)補充函數(shù) 的定義，得到定義在 上的函數(shù) 使它在 上成為奇函數(shù)（偶函數(shù)），按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓偶延拓）， f x0,0 f x(, F x, 然后將奇延拓偶延拓后的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，這個級數(shù)必定是正弦級數(shù)余弦級數(shù)），再限制 上，此時 ，這樣便得到的正弦級數(shù)余弦級數(shù)展開式。0 x在（ ， F xf x f x例7將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。 cos0202xxf xx18 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、周期為 的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理：設(shè)周期為 的周期函數(shù) 滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級數(shù)展開式為 其中2l2l f x 01cossin2nnnan xn xf xabxcll 1cos0,1,2,lnln xaf xdxnll 1sin1,2,3,lnln xbfxdxnll 12Cx f xf xf x 當 為奇