導(dǎo)數(shù)地基本概念及性質(zhì)應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的基本概念及性質(zhì)應(yīng)用考點(diǎn)：1、掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念及運(yùn)算公式，并能靈活應(yīng)用公式求解2、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間及極值、最值3、理解并掌握極值及單調(diào)性的實(shí)質(zhì)，并能靈活應(yīng)用其性質(zhì)解題。能力：數(shù)形結(jié)合方法：講練結(jié)合新授課：一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：導(dǎo)數(shù)的基本概念與運(yùn)算公式1、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)，就是當(dāng)厶X0時(shí)，函數(shù)的增量 y與自變量的增量厶X的比的極限，即 yf (x Ax)-f(x)f (x) = lim = limx 0x 0說明：分子和分母中間的變量必須保持一致2、導(dǎo)函數(shù)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a, b )內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都存在，就說在區(qū)f(x)間(a, b )內(nèi)可導(dǎo)，其

2、導(dǎo)數(shù)也是(a ,b )內(nèi)的函數(shù)，叫做f (x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(X)或yx，函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)在x x0時(shí)的函數(shù)值f (x0)，就是f (x)在x0處的導(dǎo)數(shù)。3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點(diǎn)M (x0, y0)處的切線斜率。4、求導(dǎo)數(shù)的方法(1)基本求導(dǎo)公式c 0/ m、m 1 ,(x ) mx (m Q)(sin x) cosx(cos x)sin xxx(e ) e(ax) ax ln a(ln x) 土(log：)xnL(2) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(u v) u v (uv) u v uvG)導(dǎo)(v 0)(3)

3、 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)u g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y =在點(diǎn)f(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) fg(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，fx'( (x) f'(u) '(x)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：1、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y = f (x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 若f(X)>0 ,貝y f(x)為增函數(shù)；若f (x) v 0則為減函數(shù)。 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步聚和方法。 確定函數(shù)f (x)的定義區(qū)間 求f(X)，令f (x) = 0,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根。 把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各個(gè)實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成

4、若干個(gè)小區(qū)間。 確定f(X)在各小開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f(X)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在各個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性。說明：原函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性無關(guān)，只與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號(hào)有關(guān)2 .可導(dǎo)函數(shù)的極值極值的概念設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo附近有定義，且對xo附近的所有點(diǎn)都有 f(x) v f(Xo)(或f (x) > f (xo), 則稱f(Xo)為函數(shù)的一個(gè)極大(小)值點(diǎn)。稱Xo為極大(小)值點(diǎn)。求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟。 求導(dǎo)數(shù)f (X) 求方程f (x) = o的根 檢驗(yàn)f(X)在方程f(X)= 0的根左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那 么函數(shù)y = f(x)在這個(gè)根處取得極大值

5、；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)y=f (x)在這個(gè)根處取得極小值。說明：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(隱含條件，說明某點(diǎn)是極值點(diǎn)，相當(dāng)于給出了一個(gè) f (x) = 0的方程3 函數(shù)的最大值與最小值設(shè)y= f (x)是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y= f (x)在(a ,b )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y = f(x)在a ,b 上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行。 求y= f(x)在(a ,b )內(nèi)的極值。 將y = f (x)在各極值點(diǎn)的極值與f(a)、f (b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。若函數(shù)y = f (x)在a ,b 上單調(diào)增加，則f(a)為

6、函數(shù)的最小值，f (b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)y= f(x)在a ,b 上單調(diào)減少，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值。說明：極大值小于等于最大值，極小值大于等于最小值例題講解題型一導(dǎo)數(shù)的概念【例1】設(shè)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo),a為常數(shù)，則lim f(xo a x) f(xo a x)x 0A.f/(xo)B.2af/(xo)C.af/(xo)D.O【變式】設(shè)f (x)在x0處可導(dǎo)lim竺x 0X)f(x°)x題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義2x【例2】(1)求曲線y 在點(diǎn)(1 , 1 )處的切線方程;X 1(2 )運(yùn)動(dòng)曲線方程為St222t，求t=3時(shí)的速度。y=f(x)

7、分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)就是在點(diǎn)P(xo,y。)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。題型三利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間【例3】求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間312(1) y f (x) x x 2x 52(2) y(3) yk2x (k0)2(4) y 2x In題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最(極)值【例4】求函數(shù)f(x) x3 3x 1在閉區(qū)間-3 , 0上的極值、最大值、最小值題型五：原函數(shù)圖像與導(dǎo)函數(shù)圖像如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是【例5】1、設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f'(x)的圖象(D)A)

8、(B)(C)2、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D .4個(gè)題型六：利用極值的本質(zhì)及單調(diào)性求解析式32【例6】已知函數(shù)f(x) ax bx 3x在x1處取得極值。(I) 討論f (1)和f( 1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(II) 過點(diǎn)A(0,16)作曲線yf (x)的切線，求此切線方程。325，其導(dǎo)函數(shù)【例7】已知函數(shù)f x ax bx ex在點(diǎn)xo處取得極大值0) ,( 2, 0 )如圖所示求：(1) X。的值；(2) a、b、e 的值.【例8】已知函數(shù)

9、f (x) = x3+ ax2+ bx+ c,當(dāng)x= 1時(shí)，取得極大值7 ；當(dāng)x=3時(shí),這個(gè)極小值及a、b、c的值【例9】已知f(x) ax4 bx2 c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且在x 1處的切線方程是求y f(x)的解析式；(2 )求y f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間題型七：含參數(shù)的討論A. (0,+)B. 0,+)C. (3,+)D. 3,+)取得極小值.求a的取值范圍是【例10】(1 )如果函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象上各點(diǎn)處的切線斜率都為正數(shù)，則實(shí)數(shù)(2)如果函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象上有平行于x軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是【例11】已知函數(shù)f xax3 x2 bx 2 a,b,c

10、 R且a 0 在區(qū)間,0上都是增函數(shù)，在(0，4)上是減函數(shù)(1 )求b的值；(2 )求a的取值范圍題型八：綜合應(yīng)用【例12】平面向量aJ -3(,一2 2)，若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t，使r r 2 r rx a(t2 3)b, yka tb,且x y，試確定函數(shù)k f (t)的單調(diào)區(qū)間例題答案:【例1】解:lim f(xo a X)f(xoX 0a x)lXm0f (xo a x) f (xo) f (xo) f(xo a x)a lima x 0f (xoa x)a xf (xo)a lim 竺a x) f(x。)a x2af/(xo)故選（C）【變式】：-1【例2】（1） y'

11、;2(x21) 2x 2x(x2 1)22 2x2(x2 1)22 2y'|x i0,即曲線在點(diǎn)（1, 1）處的切線斜率k=o42x因此曲線y 在（1，1 ）處的切線方程為 y=1x 1(2)S'2(2t )'t2 2t(t 1)4tS'|t 3 1211- o92727【例3】（1） y3x2 x 2(3x 2)( x 1)x (,2)(1,)時(shí) y o/2八2、 一/2八x（匚，1） yo (,),(1 ,)（1）333x21（2）y2 (,0) , (0,)t2t2t31 2 26(3)yk)(k ,)k ,0)(0,k) y 0k)，(k,)( k,0)

12、，(0, k)(4)y1 4x2 14x定義域?yàn)椋? ,x (1,) y o2【例4】略，注意強(qiáng)調(diào)學(xué)生的步驟完整性【例5】1、C 2、 A【例6】分析：（1 ）分析x= ±1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x= ±1左右f （x）的符（2）要分清點(diǎn) A（0, 16 ）是否在曲線上解：（1） f （ x）=3 ax2+2 bx 3，依題意，f （1 ）(-1 ) =0 ,即3a3a2b 30,2b 30.解得 a=1 , b=0.f (x) =x3 3x, f (x) =3x2 3=3 (x+1 )( x 1).令 f (x) =0，得 x= 1 , x=1.若 x ( g, 1)

13、U( 1 , + g),則 f (x)> 0 ,故f (x)在(g, 1)上是增函數(shù)，f (x)在(1 , +上是增函數(shù)若x ( 1 , 1)，則f (x)v 0,故f (x )在(1 , 1)上是減函數(shù)所以f ( 1) =2是極大值，f (1) = 2是極小值.X03 3x.(2)曲線y=x3 3x，點(diǎn)A (0, 16 )不在曲線上，設(shè)切點(diǎn) M (x°, y°)，貝U yT f (X0)=3 X02 3 ,切線方程為 y y0=3 (X02 1 ) (x X0).代入 A (0 , 16 )得 16 X03+3 X0=3 (X02 1 )( 0 X0).解得 X0=

14、 2 ,.M ( 2 , 2 )，切線方程為 9x y+16=0.評(píng)述：過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵【例7】解：函數(shù)f x的增減變化如下表：X,111,222,f X+0-0+f X/極、極大小(1 ) f x在x=1處由增變減，故f 1為極大值，即Xo=1.2(2)由于 f x 3ax 2bx c,f 10 3a 2b c 0 a 2f 2 012a 4b c 0b9f 1 5 a b c 5c 12【例8】解：f' X) =3x2+2ax+b.據(jù)題意，1 , 3是方程3x2+2 ax+ b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得1 3 空/-a= 3, b= 93

15、1 3 b打(x) =x3 3x2 9x+ c3Tf ( 1) =7 ,.C=2極小值 f (3) =3 3 3 X32 9 X3+2= 25極小值為25 , a= 3, b= 9, c=2【例9】解：(1) f (x)ax4 bx2 c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則c 1 ,f (x) 4ax3 2bx,k f (1) 4a 2b 1,42切點(diǎn)為(1, 1)，則f(x) ax bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1, 1)1,得a 2，bf(x) 5x42【例【例(2) f (x)10x3單調(diào)遞增區(qū)間為(10】(1) A ( 2)9x0,晉,0),(1011】解：由條件知 x0是函數(shù)2x 3ax3 10103

16、 10102x b，令 f 02x 3ax 2x令的極值點(diǎn).0，得 b 0.x 0，得 x0瓷.由條件知x 0為極大值點(diǎn)，則x 應(yīng)為極小值點(diǎn)又知曲線在區(qū)間（3a0, 4）上是減函數(shù).3a竺0,得a 0,13a6【例12】解：由C.3, 1),b(1,-3)得agb2 20, a2, b三、a (t2rr3)bg( ka tb)0, ka2 上舌中2 rk(t 3)acb2 1 2t(t23)b2034k t 3tf'(t) |t24所以增區(qū)間為課堂演練:1.若曲線y=f（x）A. f' X。)>02.函數(shù)f(x) 2x23233 .函數(shù)0,k f(t34在點(diǎn)（B. f&#

17、39;0,得t1),(1,xo,X0)f (xo)<0x3在區(qū)間3y=x3 3x的極大值為4.已知函數(shù)f(x)5.在函數(shù)y6.三次函數(shù)1 33t), f (t) - (t 3t)4t、3 23/口1,或t1;-1-0,得144）;減區(qū)間為（1,1）。）處的切線方程為2x y 仁0，則C. f' Xo) =0 D. f' Xo)不存在0,6上的最大值是（163C. 12m，極小值為 n,則m + n為32x ax 3x 9 在 x3時(shí)取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是（8x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中,4坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）y=f (x) = ax3+ x 在 x ( g

18、, +內(nèi)是增函數(shù)，則A. a>0B . a<0C . a=11D . a=-37.與直線2x 6y+1=0垂直，且與曲線y= x3+3 x2 1相切的直線方程是8.已知a為實(shí)數(shù)，f (x) (x2 4)(xa)。求導(dǎo)數(shù)f (x)；若f ( 1)0，求f (x)在2，2上的最大值和最小值；若f (x)在(a, 2)和2 , + 7上都是遞增的，求 a的取值范圍1-6AAADAA , 7.3x+y+2=03 2 28.解：由原式得 f (x) x ax 4x 4a, f (x) 3x 2ax 4.1 2 1 2由 f ( 1)0 得 a ,此時(shí)有 f(x) (x 4)(x -), f (x) 3x x 4.2 24由 f ( 1)0 得 x 一或 x=-1 ,34509又 f(3)27, f( 1) 2, f( 2) 0, f(2) 0,3 2/2950所以f(x)在2,2上的最大值為,最小值為227解法一 ：f (x) 3x2 2ax 4的圖象為開口向上且過點(diǎn)(0, 4)的拋物線，由條件得 f ( 2)0