第二章____熱傳導(dǎo)方程ppt

1、第一節(jié)第一節(jié) 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：給定一空間內(nèi)物體給定一空間內(nèi)物體 ，設(shè)其上的點(diǎn)，設(shè)其上的點(diǎn) 在時(shí)刻在時(shí)刻 的溫度為的溫度為 。問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法：（建立直角坐標(biāo)系）問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法：（建立直角坐標(biāo)系）問(wèn)題：?jiǎn)栴}：研究溫度研究溫度 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。G( , )x y zt( , , )u x y z t( , , )u x y z t在三維空間中，考慮一物體，假定它內(nèi)部有熱源，在三維空間中，考慮一物體，假定它內(nèi)部有熱源，并且與周圍介質(zhì)有熱交換，研究物體內(nèi)部溫度的并且與周圍介質(zhì)有熱交換，研究物體內(nèi)部溫度的分布和變化。（

2、例如：水壩壩體內(nèi)溫度的變化、分布和變化。（例如：水壩壩體內(nèi)溫度的變化、公路地基內(nèi)溫度的變化）公路地基內(nèi)溫度的變化）物理物理問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 1 1、熱量守恒定律、熱量守恒定律: :2 2、傅里葉、傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律: : 單位時(shí)間內(nèi)，流出單位時(shí)間內(nèi)，流出單位面積區(qū)域的熱量與單位面積區(qū)域的熱量與 成正比，即成正比，即 溫度變溫度變化吸收化吸收的熱量的熱量通過(guò)邊通過(guò)邊界流入界流入的熱量的熱量 熱源放熱源放出的熱出的熱量量 ( , ),udQk x y zdSdtn 為熱傳導(dǎo)系數(shù)，為熱傳導(dǎo)系數(shù)，“-”表示熱量是從溫表示熱量是從溫度高處向溫度低處流。度高處向溫度低處流。( , )

3、k x y zun 任取物體任取物體 內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面 所圍成的區(qū)所圍成的區(qū)域域 ，研究物體在該區(qū)域，研究物體在該區(qū)域 內(nèi)熱量變化規(guī)律。內(nèi)熱量變化規(guī)律。1Q熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：GS 熱量熱量守恒守恒定律定律區(qū)域區(qū)域 內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻 的溫度的溫度 改變?yōu)闀r(shí)刻改變?yōu)闀r(shí)刻 的溫度的溫度 所吸收（或所吸收（或放出）的熱量，應(yīng)放出）的熱量，應(yīng)等于等于從時(shí)刻從時(shí)刻 到時(shí)刻到時(shí)刻 這這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲面段時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲面 流入（或流出）流入（或流出） 內(nèi)的內(nèi)的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即 1t2t1( ,

4、, , )u x y z t2( , , , )u x y z t1t2tS 內(nèi)溫度變化所需要的熱量?jī)?nèi)溫度變化所需要的熱量 =通過(guò)曲面通過(guò)曲面 流入流入 內(nèi)的熱量?jī)?nèi)的熱量 +熱源提供的熱量熱源提供的熱量 QS 2Q下面分別計(jì)算這些熱量下面分別計(jì)算這些熱量( , , ),cc x y z （1） 內(nèi)溫度變化所需要的能量?jī)?nèi)溫度變化所需要的能量 QG那么包含點(diǎn)那么包含點(diǎn) 的體積微元的體積微元 的溫度從的溫度從 變?yōu)樽優(yōu)?所需要的熱量為所需要的熱量為 1 C 21 ( , , ,)( , , ,)dQcu x y z tu x y z tdV dV設(shè)物體設(shè)物體的比熱（單位質(zhì)量的物體溫度改變的比熱（單位

5、質(zhì)量的物體溫度改變所需要的熱量）為所需要的熱量）為密度為密度為( , , ),x y z ( , , )x y z1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t 整個(gè)整個(gè) 內(nèi)溫度變化所需要的能量?jī)?nèi)溫度變化所需要的能量 Q221121 ( , ,)( , ,)()(1.1)ttttQdQcu x y z tu x y z tdVuucdt dVcdV dttt （2）通過(guò)曲面）通過(guò)曲面 進(jìn)入進(jìn)入 內(nèi)的熱量?jī)?nèi)的熱量 1QS 由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從 到到 這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)這段時(shí)間內(nèi)通過(guò) 進(jìn)入進(jìn)入 內(nèi)的熱量為內(nèi)的熱量為2t1tS211( , ),ttS

6、uQk x y zdSdtn 由高斯公式由高斯公式xSdivAdxdydzA ndS 知知211()()().(1.2)ttuuuQkkkdV dtxxyyzz （3）熱源提供的熱量）熱源提供的熱量 2Q 用用 表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出的熱量，則從體積內(nèi)放出的熱量，則從 到到 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi) 內(nèi)熱內(nèi)熱源所提供的熱量為源所提供的熱量為( , , , )F x y z t2t1t212( , , )(1.3)ttQF x y z t dV dt 由熱量守恒定律得：由熱量守恒定律得：221121()()()( , , , )ttttttuuuu

7、cdVdtkkkdV dttxxyyzzF x y z t dVdt 由由 及及 的任意性知的任意性知12,t t()()()( , , , ).(1.4)uuuuckkkF x y z ttxxyyzz 三維無(wú)熱源熱傳導(dǎo)方程：三維無(wú)熱源熱傳導(dǎo)方程：22222220 .(1.6)uuuuatxyz 三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程： （均勻且各向同性物均勻且各向同性物體，即體，即 都為常數(shù)的物體都為常數(shù)的物體）2222222( , , ),(1.5)uuuuaf x y z ttxyz 2,kFaffcc其中其中稱為非齊次項(xiàng)（非自由項(xiàng)）。稱為非齊次項(xiàng)（非自由項(xiàng)）。,ck 通常稱（

8、通常稱（1.5）為）為非齊次的熱傳導(dǎo)方程非齊次的熱傳導(dǎo)方程，而稱（，而稱（1.6）為為齊次熱傳導(dǎo)方程齊次熱傳導(dǎo)方程。二、定解條件（初始條件和邊界條件）二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：初始條件：0:( , )( , ),( , ),(1.7)tu x tx y zx y zG 邊界條件：邊界條件：1 1、第一邊界條件、第一邊界條件（ Dirichlet 邊界條件）邊界條件）特別地：特別地： 時(shí)，物體表面保持恒溫。時(shí)，物體表面保持恒溫。( , , )0g x y z t ( , , ),( , ),0,(1.8)ug x y z tx y zt ()G 2 2、第二邊界條、第二邊界條件

9、件（ Neumann 邊界條件）邊界條件）( , , )0g x y z t 特別地：特別地： 時(shí)，表示物體絕熱。時(shí)，表示物體絕熱。3 3、第三邊界條件、第三邊界條件 ( ( D-N 混合邊界條件混合邊界條件 ) )( , , ),( , ),0,(1.9)ukg x y z tx y ztn ( , , ),( , ),0,(1.10)uug x y z tx y ztn 1110,.kkgukk 其中：其中： 表示表示 沿邊界沿邊界 上的單位外法線方向上的單位外法線方向 的的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)u nun 注：注：注意第三邊界條件的推導(dǎo)：注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的

10、熱交換問(wèn)題研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交換問(wèn)題 把一個(gè)溫度變化規(guī)律為把一個(gè)溫度變化規(guī)律為 的物體放入的物體放入 空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫度為度為 ，它與物體表面的溫度，它與物體表面的溫度 并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。1( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t熱傳導(dǎo)試熱傳導(dǎo)試驗(yàn)定律或驗(yàn)定律或牛頓定律牛頓定律從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比：從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比：11(),(1.11)d

11、Qk u u dSdt 其中比例常數(shù)其中比例常數(shù) 稱為稱為熱交換系數(shù)熱交換系數(shù)10k 流過(guò)物體表面流過(guò)物體表面 的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來(lái)確定：定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來(lái)確定：11(),ukdSdtk uu dSdtn 或或11().ukk uun ( , , )()|( , , , ).x y zuug x y z tn 即得到（即得到（1.10）：）： 三、定解問(wèn)題三、定解問(wèn)題定義定義1 在區(qū)域在區(qū)域0,)G 上，由方程（上，由方程（1.5）、初）、初始條件（始條件（1.7）組成的定解問(wèn)題稱為）組成的定解問(wèn)題稱

12、為初值問(wèn)題或柯西問(wèn)初值問(wèn)題或柯西問(wèn)題題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題為：。例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題為：20( , , )()( , , , ), ( , , , ),0,( , , , )|( , , ),( , , , ),|( , , , ),0.txxyyzztx y zua uuuf x y z tx y z ttu x y z tx y zx y z tug x y z tt 定義定義2 在區(qū)域在區(qū)域30,)R 上，由方程（上，由方程（1.5）和初）和初始條件（始條件（1.7）和邊界條件（）和邊界條件（1.9）、（）、（1.10）、）、（1.11）中的其中之一組成的定解問(wèn)題稱為）

13、中的其中之一組成的定解問(wèn)題稱為初邊值問(wèn)初邊值問(wèn)題或混合問(wèn)題題或混合問(wèn)題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問(wèn)。例如三維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問(wèn)題為：題為：2330()( , , , ), ( , , , ),0,( , , , )|( , , ),( , , , ).txxyyzztua uuuf x y z tx y z tRtu x y z tx y zx y z tR 2 2、上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；樣，但表示的物理意義不一樣；3 3、熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方程

14、有兩個(gè)初始條件。程有兩個(gè)初始條件。1 1、方程（方程（1.61.6）不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以刻）不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以刻畫分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程畫分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程( (推導(dǎo)略）推導(dǎo)略）注注4 4、除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，溫度的分溫度的分布在同一個(gè)界面上是相同的布在同一個(gè)界面上是相同的，可得，可得一維熱傳導(dǎo)方一維熱傳導(dǎo)方程：程：222.(1.12)uuatx 而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，可得可得二維熱傳導(dǎo)方程：二維熱傳導(dǎo)方程：22222().(1.13)uuuatxy 第二節(jié)第二節(jié) 初邊值問(wèn)題的分離變量法初邊值問(wèn)

15、題的分離變量法考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題212( , ),0,0,0:( ),0,0:( );:( ),0.txxxua uf x txlttuxxlxutxluhutt 不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問(wèn)題不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問(wèn)題2( , ),0,0,0:( ),0,0:0;:0,0.txxxua uf x txlttuxxlxuxluhut 211( , )( )( )( ).1xV x tthtthl 20,0,0,( )0:( ),0,0:0,:0,0;txxxua uxltItuxxlxuxluhut 和和上述定解問(wèn)題可分解為下面

16、兩個(gè)混合問(wèn)題：上述定解問(wèn)題可分解為下面兩個(gè)混合問(wèn)題：2( , ),0,0,()0:0,0,0:0,:0,0.txxxua uf x txltIItuxlxuxluhut 則則（II）的解為的解為: 0( , )( , ; ),tu x tw x td ( , ; )( , ) .tw x tf x 21( , )sin,(2.14)katkkku x tA ex 01( )sin(2.19)lkkkAdM 其中其中 由下面給出：由下面給出：,kkA 20,0,0,(2.1)0:( ),0,(2.2)( )0:0,0;(2.3):0,0;(2.4)txxxua uxlttuxxlIxutxluh

17、ut 考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問(wèn)題考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問(wèn)題（I）：tan,kklh 220sin.(2.18)22()lkkklhMxdxh 問(wèn)題問(wèn)題（II）的解：的解：2()01( , )sin( ),ktatkkku x txBed 其中其中01( )( , )sin.lkkkBfdM 非齊次方程混合問(wèn)題的解：非齊次方程混合問(wèn)題的解：21( , )sinkatkkku x tA ex 01( )sin,lkkkAdM 2()01sin( ),(2.20)ktatkkkxBed 01( )( , )sin.lkkkBfdM 定理定理 2 2.1：1(0, ),(0)( )

18、0,Cll 則則由公式由公式 (2.14) 給出的級(jí)數(shù)給出的級(jí)數(shù) 是是混合問(wèn)題混合問(wèn)題 (2.1)-(2.4) 的古典解。的古典解。設(shè)設(shè)( , )u x t齊次方程、齊次邊界條件的混合問(wèn)題的解為：齊次方程、齊次邊界條件的混合問(wèn)題的解為：21( , )sin,(2.14)katkkku x tA ex 當(dāng)當(dāng) 為有界函數(shù)時(shí)，為有界函數(shù)時(shí)， (2.14) 式給出的形式解關(guān)式給出的形式解關(guān)于于 以及以及 均是任意次連續(xù)可導(dǎo)的，且滿足方程均是任意次連續(xù)可導(dǎo)的，且滿足方程 (2.1) 和邊界條件和邊界條件 (2.3)- (2. 4) 。xt( )x 分離變量法的解題步驟：分離變量法的解題步驟：1、令、令

19、代入方程和邊界條件，確代入方程和邊界條件，確 定定 所滿足的常微分方程的特征值問(wèn)題以及所滿足的常微分方程的特征值問(wèn)題以及 所滿足的方程；所滿足的方程；2、解常微分方程的特征值問(wèn)題，求出全部特征值和、解常微分方程的特征值問(wèn)題，求出全部特征值和特征函數(shù)，并求出相應(yīng)特征函數(shù)，并求出相應(yīng) 的表達(dá)式；的表達(dá)式；3、將所有變量分離形式的解疊加起來(lái)，利用初值定、將所有變量分離形式的解疊加起來(lái)，利用初值定出所有待定常數(shù)；出所有待定常數(shù)；4、證明形式解是真解對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂性進(jìn)行討論。、證明形式解是真解對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂性進(jìn)行討論。( , )( ) ( )u x tZ x T t ( )Z x( )T x( )kTx

20、2( );katkkT tC e 注：注：1 1、在使用變量分離法時(shí)，邊界條件的齊次化是、在使用變量分離法時(shí)，邊界條件的齊次化是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)；至關(guān)重要的，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)；2、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉(zhuǎn)化為齊次化方程來(lái)求解，但也可以直接求解。其轉(zhuǎn)化為齊次化方程來(lái)求解，但也可以直接求解。（1）、將變量分離形式）、將變量分離形式 代入相代入相應(yīng)的齊次方程和其次邊界條件，得到相應(yīng)的特征值應(yīng)的齊次方程和其次邊界條件，得到相應(yīng)的特征值問(wèn)題，并求出全部特征值和特征函數(shù)問(wèn)題，并求出全部特征值和特征函數(shù) ；（2）、將）、將 ，方程

21、的非齊次項(xiàng)，方程的非齊次項(xiàng) ，以及初，以及初值值 都按照特征函數(shù)進(jìn)行都按照特征函數(shù)進(jìn)行 Fourier 展開；展開；( , )( ) ( )u x tZ x T t ( , )u x t( , )f x t( )x 1( , )( )sin;kkku x tT tx 1( , )( )sin;kkkf x tftx 1( )sin;kkkxx 01( )sin;lkkkdM 01( )( , )sin;lkkkftftdM 其中其中:2.22()kklhMh （3）、解初值問(wèn)題）、解初值問(wèn)題2( )( )( ),(0).kkkkkkT ta T tftT 22()0( )( ).kktatat

22、kkkT tefed 解為：解為：非齊次方程混合問(wèn)題的解：非齊次方程混合問(wèn)題的解：21( , )sinkatkkku x tex 2()01sin( ).ktatkkkxfed 第三節(jié)第三節(jié) 初值問(wèn)題初值問(wèn)題 Cauchy 問(wèn)題問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題2( , ),0,(3.1)0:( ),(3.2)txxua uf x txttuxx 注意：注意：第一章中波動(dòng)方程初值問(wèn)題的求解方法：第一章中波動(dòng)方程初值問(wèn)題的求解方法：先化簡(jiǎn)方程，再用特征線法法求解，但特征線法先化簡(jiǎn)方程，再用特征線法法求解，但特征線法不適用于目前的問(wèn)題，下面介紹一種更一般的方不適用于目前的

23、問(wèn)題，下面介紹一種更一般的方法，叫法，叫傅里葉傅里葉（Fourier）變換法變換法。傅里葉變換法。傅里葉變換法同樣可以用來(lái)求解弦振動(dòng)方程的初值問(wèn)題。同樣可以用來(lái)求解弦振動(dòng)方程的初值問(wèn)題。傅里葉變換傅里葉變換是一種可逆的線性的變換，它的主要特點(diǎn)是是一種可逆的線性的變換，它的主要特點(diǎn)是:可以將可以將求導(dǎo)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，對(duì)問(wèn)題（，對(duì)問(wèn)題（3.1）（）（3.2）做傅里葉變換后就變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮?wèn)題。做傅里葉變換后就變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮?wèn)題。 本節(jié)系統(tǒng)地介紹本節(jié)系統(tǒng)地介紹FourierFourier變換的定義、運(yùn)算變換的定義、運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用。性質(zhì)及其應(yīng)用。FourierFou

24、rier變換是求解熱傳導(dǎo)方程變換是求解熱傳導(dǎo)方程的主要求解工具。的主要求解工具。一、傅里葉一、傅里葉（Fourier）變換的定義及其基本性質(zhì)變換的定義及其基本性質(zhì)稱之為稱之為( )( ),(3.3)i xgf x edx 1( )( ),(3.4)2i xf xged 傅里葉逆變換傅里葉逆變換:( ) ( ).gF forf 1( ) ( ).f xFgorgx 記為記為:記號(hào)記號(hào):(,) 1, ( )|( )|Lf xf xdx 上全體絕對(duì)可積函數(shù)構(gòu)成的集合上全體絕對(duì)可積函數(shù)構(gòu)成的集合給定一函數(shù)給定一函數(shù)1( )(,),f xL 定義變換定義變換的傅里葉變換，記為的傅里葉變換，記為( )f

25、x即即定理定理 3 3.1：（ Fourier 積分定理積分定理 ）若若 在在 上絕對(duì)可積且連續(xù)可微，上絕對(duì)可積且連續(xù)可微，則有則有: ( )f x(,) 1( )( ),(3.5)2ii xfededf x 1 ().FF fforff簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為:公式公式（3.5）稱為稱為 Fourier 反演公式。反演公式。證明略證明略性質(zhì)性質(zhì) 1、（ 線性性質(zhì)線性性質(zhì) ）性質(zhì)性質(zhì) 2、（ 微商性質(zhì)微商性質(zhì) ） 如果如果11221122();ffff 11221122;ffff ( )( );fxif ( )( );dfix fxd 性質(zhì)性質(zhì) 3、（ 乘多項(xiàng)式性質(zhì)乘多項(xiàng)式性質(zhì) ）( )( );dixf

26、xfd ( )( );diffxdx證明：直接用定義即可。證明：直接用定義即可。1( ),( )(,),f xfxL 那么那么性質(zhì)性質(zhì) 4、（ 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) ） ;fgf g 2;fgfg ()( );mmmdfifd x ( )( );mmmmdxf xifd (1)m 1( ), ( )(,),f xg xL 若若則定義則定義( )( )f xg x和和的卷積為的卷積為()( )() ( ).fgxf xt g t dt 1( ), ( )(,),f xg xL 如果如果則則1()( )(,),fgxL 且且性質(zhì)性質(zhì) 5、（ 乘積性質(zhì)乘積性質(zhì) ） 1;2f gfg .f gfg1( )

27、, ( )(,),f xg xL 如果如果那么那么證明：證明：這等價(jià)于證明這等價(jià)于證明 2 () .f gfg 事實(shí)上事實(shí)上 ()1()() ()21()()21()()21()()21()()22()() .ixixixitxitxixfgfgededftgtd tgtd tftedgtd tfedgted tfedfxgx 1)、（ 位移性質(zhì)位移性質(zhì) ）2)、（ 相似性質(zhì)相似性質(zhì) ） ()( );ibf xbef1 ();|f axfaa 3)、（ 對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì) ）1 ( )( )();2f xff 補(bǔ)充性質(zhì)補(bǔ)充性質(zhì)：例例 3 3、 設(shè)設(shè) 2( ),0,( ).AfeAfx 求求241

28、( ).2xAfxeA 例例 2 2、 設(shè)設(shè) 2( ),( ).xf xef 求求24( ).fe 例例 1 1、 設(shè)設(shè) 1,|( ),0,( ).0|xAf xAfxA 求求2sin()( ).Af 注、高維傅里葉注、高維傅里葉（Fourier）變換變換稱之為稱之為11( )( ),.nixnngf x edxxxx 1( )( )(2 )ni xnf xged 傅里葉逆變換傅里葉逆變換:( ) ( ).gF forf 1( ) ( ).f xFgorgx 記為記為:給定一多元函數(shù)給定一多元函數(shù)1( )(),nf xL 定義變換定義變換的傅里葉變換，記為的傅里葉變換，記為( )f x注：高維

29、傅里葉變換的性質(zhì)與一維相似注：高維傅里葉變換的性質(zhì)與一維相似二、熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題的解二、熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題的解考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題20,0,(3.14)0:( ),(3.15)txxua uxttuxx 22()41( , )( ).(3.17)2xa tu x tedat 解為解為:解：采用解：采用Fourier變換法求解變換法求解注：注：從（從（3.17）可知熱傳導(dǎo)方程解有明顯的性質(zhì)：）可知熱傳導(dǎo)方程解有明顯的性質(zhì)：無(wú)無(wú)限傳播性限傳播性，即假設(shè)初值，即假設(shè)初值 只在一小段只在一小段 上不為上不為零，不妨設(shè)零，不妨設(shè) ，則當(dāng)，則當(dāng) 后，桿上任一點(diǎn)處的后，

30、桿上任一點(diǎn)處的溫度為正。也就是說(shuō)，頃刻之間，熱量就傳到桿上任溫度為正。也就是說(shuō)，頃刻之間，熱量就傳到桿上任一點(diǎn)。這一點(diǎn)，與波動(dòng)方程有本質(zhì)的區(qū)別。一點(diǎn)。這一點(diǎn)，與波動(dòng)方程有本質(zhì)的區(qū)別。( ) x 00(,)xx 0t ( ) 0 x 對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問(wèn)題對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問(wèn)題2( , ),0,(3.18)0:0,(3.19)txxua uf x txttux 22()4()01( , )( , ).(3.23)2()xtatfu x ted dat 解為解為:這可以使用齊次化原理來(lái)獲得：這可以使用齊次化原理來(lái)獲得： 由齊次化原理知（由齊次化原理知（3.18）（）（3

31、.19）的解可寫為）的解可寫為0(, )(, ; ),(3.20)tu x tw x td 其中其中( , ; )w x t 為下述問(wèn)題的解：為下述問(wèn)題的解：222( , ; )( , ; )0,:( , ; )( , ),w x tw x taxttxtw x tf xx 同于初值問(wèn)題（同于初值問(wèn)題（3.14）-（3.15）的）的Fourier變換法求變換法求解公式（解公式（3.17）可得下述初值問(wèn)題）可得下述初值問(wèn)題的解為的解為,tt 令令222( , ; )( , ; )0,0,0:( , ; )( , ),W x tW x taxttxtW x tf xx 22()41( , )( ,

32、 ; ).(3.21)2xa tfW x tedat 則則22()4()01( , )( , ).(3.23)2()xtatfu x ted dat 22()4()1( , )( , ; )( ,; ).(3.22)2()xatfw x tW x tedat 由（由（3.19）（）（3.22）可得（）可得（3.18）（）（3.19）的解為公式）的解為公式（3.23）：）：結(jié)論：結(jié)論：對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件的初對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件的初值問(wèn)題值問(wèn)題2( , ),0,0:( ),txxua uf x txttuxx 解為解為:22()4()01( , ).(3.24)2()

33、xtatfed dat 22()41( , )( )2xa tu x tedat 注：注：也可以對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件也可以對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件的初值問(wèn)題直接使用的初值問(wèn)題直接使用Fourier變換法求解，留作習(xí)題。變換法求解，留作習(xí)題。定理定理 3 3.2：(,)C 函數(shù)函數(shù) 是柯西是柯西問(wèn)題問(wèn)題 (3.14)-(3.15) 的有界解。的有界解。設(shè)設(shè)( , )u x t且有界，則由且有界，則由 (3.17) 式式 給出的給出的(0 )f .),(),(),()(,),(),(,;,),(),( ayaaayaydxyxfdxyxfdyddxyxfyIdcydxyxf

34、dxyxfdcayxfyxf的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且上上一一致致收收斂斂。那那么么在在關(guān)關(guān)于于存存在在，上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)積積分分號(hào)號(hào)下下求求導(dǎo)導(dǎo)定定理理知知識(shí)識(shí)回回顧顧 111( , ) ( , ) ()()( ).22x atx atu x tFutxatxats dsa 222220,0,0 :( ),( ),.tuuaxttxtuxuxx 注：注：同樣可以使用同樣可以使用Fourier變換法求解一維齊次弦振變換法求解一維齊次弦振動(dòng)方程的初值問(wèn)題：動(dòng)方程的初值問(wèn)題：其解為其解為:注：注：同樣可以使用同樣可以使用Fourier變換法求解高維熱傳導(dǎo)方變換法求解高維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題：

35、程的初值問(wèn)題：211( , ),(,),0,0:( ),(,).ntnnnuauf x txxxttuxxxx 其解為其解為:22|4221(, )( )(4)nxa tnu x teda t 22|4()0221( , ).(4()nxtatnfeddat 例：試求下述定解問(wèn)題的有界解例：試求下述定解問(wèn)題的有界解0,0,0:( ),.txxuut uxttuxx 222()4( , )( ).2txteu x tedt 解為解為:解解: 變量變換和變量變換和Fourier變換法變換法222222()()0,0,()( ,0)( ),.tttxxteueuxteux txx 第四節(jié)第四節(jié) 極值

36、原理、定解問(wèn)題解極值原理、定解問(wèn)題解的唯一性與穩(wěn)定性的唯一性與穩(wěn)定性一、極值原理一、極值原理 討論的是方程的解的最大值和最小值的分布位置討論的是方程的解的最大值和最小值的分布位置從實(shí)際問(wèn)題中看極值原理：從實(shí)際問(wèn)題中看極值原理： 設(shè)有一物體，內(nèi)部沒(méi)有熱源，則該物體的溫度的設(shè)有一物體，內(nèi)部沒(méi)有熱源，則該物體的溫度的 最大值和最小值必在初始時(shí)刻或在該物體的邊界上取到。最大值和最小值必在初始時(shí)刻或在該物體的邊界上取到。 可以設(shè)想：可以設(shè)想：一塊一塊00的冰，放在的冰，放在00到到1010的空的空氣中，這塊冰內(nèi)部的溫度，永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)氣中，這塊冰內(nèi)部的溫度，永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)1010，也不會(huì)低于也不會(huì)低于00。

37、 其原因是：其原因是：熱量總是從溫度高的地方流向溫度低的熱量總是從溫度高的地方流向溫度低的地方。因此，溫度高的點(diǎn)有溫度降低的趨勢(shì)，溫度低的地方。因此，溫度高的點(diǎn)有溫度降低的趨勢(shì)，溫度低的點(diǎn)有溫度升高的趨勢(shì)（如果沒(méi)有熱量流入）。點(diǎn)有溫度升高的趨勢(shì)（如果沒(méi)有熱量流入）。 是物體的溫度是物體的溫度, ,且且maxmaxminminPTTPTTuuuu (0,)0,pTT 設(shè)設(shè) 為物體占據(jù)的空間區(qū)域，為物體占據(jù)的空間區(qū)域，極值原理的數(shù)學(xué)表述：極值原理的數(shù)學(xué)表述： 則則其中其中,稱為稱為 的拋物型邊界的拋物型邊界。滿足滿足 0,0,TTT ,u x t 2,1，TTuCC 20,tTuaux tT 2,

38、0,0,0,0ptxxQx txltTQx tQ xxlLuua ua 或或，或或t=0t=0常常數(shù)數(shù)記記定理定理4.1（弱）極值原理）：（弱）極值原理）： 2,1,uC QCQ0LufQ 于于，設(shè)設(shè)且且則則max=maxQuu 注：注：0f 表示吸熱，因此不會(huì)使內(nèi)部溫度升高。表示吸熱，因此不會(huì)使內(nèi)部溫度升高。 證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?是有界閉集，而是有界閉集，而 ,uC Q Q00(,)xt故故 在在 上的最大值存在。下面分兩種情況來(lái)證明最上的最大值存在。下面分兩種情況來(lái)證明最大值必在拋物型邊界上取到。大值必在拋物型邊界上取到。uQ0f 于于Q Q 0000,max ,0,0,Qu xtuxl

39、tT 且且令令 00,0,0,xu x txltu x ttT 情形情形1：此時(shí)，此時(shí)， 不能在不能在 內(nèi)取最大值。內(nèi)取最大值。Q u否則，存在否則，存在 ，使得，使得 00txxxtt 在在取取到到最最大大值值，在在取取到到最最大大值值，則則 從而：從而： 0000000000=,0,0,xxxtxuxtxuxttuxt u于是：于是：0,.LufQ于于maxmaxQuu 這就得出矛盾。所以這就得出矛盾。所以 00(,)0 02(,)0.xtx ttxxLuua u 但由假設(shè)：但由假設(shè)： 在在 中的最大值只能在中的最大值只能在 內(nèi)取到，從而內(nèi)取到，從而Q而而maxmax .Qvv 情形情形2

40、：0 220,于txxtxxLvva vua ufQ 此時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換，可以化為情形此時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換，可以化為情形1,任意任意的的 ，令，令對(duì)對(duì) 用情形用情形1的結(jié)論，就有的結(jié)論，就有0fQ 于于,vut 則則 2,1,vut vC QCQ 且且maxmax()maxmaxQQQQuvtvtmaxvT maxmax()maxvututv所以，所以，令令 就得到就得到注：注：上面證明中，所用的函數(shù)稱為輔助函數(shù)，上面證明中，所用的函數(shù)稱為輔助函數(shù)，這一證明方法稱為輔助函數(shù)法，它是偏微分方這一證明方法稱為輔助函數(shù)法，它是偏微分方程理論中經(jīng)常使用的一種技巧。程理論中經(jīng)常使用的一種技巧。

41、 maxmax2.QuuT + +0 maxmax .Quu 另一方面，因?yàn)榱硪环矫?，因?yàn)镼 總有總有maxmax .Quu 所以，所以，maxmax .Quu = =證畢。證畢。注：注：還可以進(jìn)一步證明，如果還可以進(jìn)一步證明，如果 的最大值在的最大值在 中的某點(diǎn)中的某點(diǎn) 取到，則取到，則 在在 中必恒等于常數(shù)。中必恒等于常數(shù)。這個(gè)結(jié)論比定理這個(gè)結(jié)論比定理4.14.1要強(qiáng)，因此定理要強(qiáng)，因此定理4.14.1稱為稱為弱極值原理弱極值原理。 0 0,x tuQ u 0, 0,0 xtx lt t 推論推論4.1： 設(shè)設(shè)且且u0LufQ 于于 ，minminQuu 如果如果則則 在在 上的最小值必在

42、拋物邊界上的最小值必在拋物邊界 上取到，上取到，則則 在在 上的最大值與最小值都必上的最大值與最小值都必在拋物邊界在拋物邊界 上取到。上取到。證明：證明：做變換做變換vu 2,1,u C QCQ Q 0LuQ 于于 ，uQ ，則，則 2,1,vC QCQ 且且0LvfQ 于于 ，由定理由定理4.1得得maxmax .Qvv 即即即即而而因此，推論因此，推論4.14.1第一部分結(jié)論成立，再結(jié)合第一部分結(jié)論成立，再結(jié)合定理定理4.14.1，就得出推論，就得出推論4.14.1的第二部分結(jié)論。的第二部分結(jié)論。所以所以 maxmaxQuu maxmin,maxmax ,QQuuuu minmin,Quu

43、 于是于是minmin,Quu 證畢證畢證明：證明： 令令推論推論4.24.2：（比較原理）：（比較原理）maxmax0.Qww 所以，所以，設(shè)設(shè) 222,12,uuLuau vCQCQtx 且且,于，于，LuLvQuv 則則,于，uvQ ,wuv 則則0于，LwLuLvQ 0， 于，w 由定理由定理4.1得得0， 于，wQ 即，即， 于uvQ 證畢。證畢。注：注：同于推論同于推論4.24.2的證明，易證下述結(jié)論，即設(shè)的證明，易證下述結(jié)論，即設(shè) 2,1,uC QCQ且且0,0,于于LuQu 則則0.uQ 于于Q 讓讓 是是 的拋物邊界。的拋物邊界。注注1 1：若若0 xl換為換為x ，相應(yīng)的極

44、值，相應(yīng)的極值原理及其推論同樣成立，即原理及其推論同樣成立，即注注2 2： 一般來(lái)說(shuō)，熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程都有相應(yīng)一般來(lái)說(shuō)，熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程都有相應(yīng)的極值原理，而波動(dòng)方程沒(méi)有極值原理。的極值原理，而波動(dòng)方程沒(méi)有極值原理?？紤]一維非齊次熱傳導(dǎo)方程考慮一維非齊次熱傳導(dǎo)方程2( , ),(4.1)txxua uf x t定理定理 4 4.1*：,0TRxtT 在在 上的最大值必在邊界上達(dá)到，即上的最大值必在邊界上達(dá)到，即設(shè)設(shè) 在矩形在矩形 上連續(xù)，上連續(xù)， ( , )u x t并且在并且在 內(nèi)部滿足方程內(nèi)部滿足方程 (4.1)。又設(shè)。又設(shè) ，則，則( , )u x tTR( , )0f x t

45、max( , )max( , ).(4.2)TTRu x tu x t TR表示矩形表示矩形TRT 的兩個(gè)側(cè)邊和底邊所組成的邊界曲線，的兩個(gè)側(cè)邊和底邊所組成的邊界曲線，稱為拋物邊界稱為拋物邊界20,0,0,0:sin ,0,0:0,:0,0.txxua uxttuxxxuxut 例例 （最大值原理的應(yīng)用）（最大值原理的應(yīng)用）設(shè)設(shè) 滿足滿足求求 在在( , )|01,0TRx txtT 的最大值和最小值。的最大值和最小值。解：解：( , )( , )max1, min0TTx tRx tRuu( , )u x t( , )u x t推論推論 4 4.3：（解的最大模估計(jì)）：（解的最大模估計(jì)） ,

46、 0, QT 設(shè)設(shè) 是初值問(wèn)題是初值問(wèn)題（4.3）的古典解，則）的古典解，則( , )u x t1200sup|,max sup| ( )|, sup |( )|, sup |( )| .Qxt Tt TFfBxg tg t 其其中中max| ( , )|.Qu x tFTB證明：證明：通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)與問(wèn)題的解作比較，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)與問(wèn)題的解作比較，再用比較原理得出結(jié)論。再用比較原理得出結(jié)論。F 如果如果 ，定理自然成立。所以我們只需考，定理自然成立。所以我們只需考慮慮 的情況。的情況。F 考慮一維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問(wèn)題二、初邊值問(wèn)題解的唯

47、一性與穩(wěn)定性二、初邊值問(wèn)題解的唯一性與穩(wěn)定性212( , ),0,0 :( ),(4.3):( ),:( ),0.txxua uf x txttuxxxugtxugtt 首先，使用極值原理獲得解的最大模估計(jì)首先，使用極值原理獲得解的最大模估計(jì)從而從而,vFtB 所以所以 滿足要求，且滿足要求，且取取vBu 找找 ,使得：使得： 2,1,vC QCQ則由比較原理，得則由比較原理，得 2suptxxQLvva vFffLu 于 Q，于 ， 且且 LufLvuv 于Q，uv uv 于 Q。則則于Q，于 ， vFtBuvFtB于 Q。v推論推論4.4：初邊值問(wèn)題（初邊值問(wèn)題（4.3）的在）的在 的解，

48、連續(xù)依賴于的解，連續(xù)依賴于即，若即，若 為為 （4.3） 在在 中分別對(duì)應(yīng)于中分別對(duì)應(yīng)于非齊次項(xiàng)非齊次項(xiàng)初值初值 和和邊值邊值 和和 及及 和和 ，則，則 2,1C QCQ 12、 、 和 。fgg 12和 、ff1,1g 1212121,11,22,12,2,0,0,maxsupmax max,max,maxQQTTuuTffgggg 12、uu 2,1C QCQ 1 2、 1,2g2,1g2,2g證明：令證明：令再應(yīng)用再應(yīng)用推論推論4.3的最大模估計(jì)即可。的最大模估計(jì)即可。推論推論4.5 邊值問(wèn)題（邊值問(wèn)題（4.3）在）在 的解是唯一的。的解是唯一的。證明：證明：直接由直接由推論推論4.4

49、得出得出。 2,1C QCQ 12，wuu定理定理 4 4.2：初邊值問(wèn)題初邊值問(wèn)題（4.3）在區(qū)域）在區(qū)域( , )|,0Qx txtT 上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始條件和邊界條件。給的初始條件和邊界條件。注注：若解在方程中出現(xiàn)的所有偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則稱若解在方程中出現(xiàn)的所有偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則稱這種解為古典解。這種解為古典解?；贤普摶贤普?.3和推論和推論4.4得：得：考慮一維熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問(wèn)題定理定理 4 4.3：2120,0,0,0:( ),0,(4.4)0:( ),: ()

50、( ),0,0.txxxua uxlttuxxlxutxluhutth 設(shè)設(shè) 是初邊值問(wèn)題是初邊值問(wèn)題（4.4）的古典解，則）的古典解，則0, 0TRxltT正常數(shù)，在正常數(shù)，在 上上 滿足滿足( , )u x t( , )u x t120012001min 0, min ( ), min( ),( )1( , )max 0, max ( ), max( ),( ) .TTTTTRx lt TTTTRx lt Texetethu x texeteth 0 如果在如果在12( ),( ),( )xxx 11max(1,)( , )max(1,) .TTeu x tehh 0, 0TRxltT上，

51、有上，有那么由定理那么由定理4.3可得可得推論推論 4 4.6：初邊值問(wèn)題初邊值問(wèn)題（4.4）在區(qū)域）在區(qū)域 上的古典解上的古典解TR是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始條件和邊界條件。條件和邊界條件。0,T 2120,0,0,0:( ),0,(4.4)0:( ),:( ),0.txxxua uxlttuxxlxutxlutt 對(duì)于混合初邊值問(wèn)題對(duì)于混合初邊值問(wèn)題定理定理 4.3 仍然成立。仍然成立。 ( , )( ) ( , ),u x tw x u x t ( , )1.w x tlx 其其中中考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方

52、程的初值問(wèn)題三、初邊值問(wèn)題解的唯一性與穩(wěn)定性三、初邊值問(wèn)題解的唯一性與穩(wěn)定性定理定理 4 4.4：2( , ),0,(4.10)0:( ),txxua uf x txttuxx +。初值問(wèn)題初值問(wèn)題（4.10）在有界函數(shù)類中的古典解是）在有界函數(shù)類中的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。 為了證明此定理，我們先建立最大模估計(jì)。為了證明此定理，我們先建立最大模估計(jì)。 ,0 ，。= =Qx txtT 記記命題命題4.14.1：2 1( )，）uC QCQ 證明思路：證明思路：因?yàn)橐驗(yàn)?是無(wú)解區(qū)域，不好直接證明，我是無(wú)解區(qū)域，不好直接證明，我們先在們先

53、在 的有界子區(qū)域中證明有關(guān)估計(jì)，再讓該子區(qū)的有界子區(qū)域中證明有關(guān)估計(jì)，再讓該子區(qū)域趨向于域趨向于 得出所要求的估計(jì)。得出所要求的估計(jì)。設(shè)設(shè)是問(wèn)題是問(wèn)題(4.10)的有界解，則的有界解，則證明：證明：記記 另外，由題設(shè)另外，由題設(shè) 是有界的，所以也有是有界的，所以也有QQ,+ （）supFf，= sup,supKu。若若=+F ，或或=+ ，命題命題4.1自然成立。所以可設(shè)自然成立。所以可設(shè)+F ，。K+ 。u( , )( , )(,)( , )( , )( ) .supsupsupx tQx tQxu x tTf x tx ,0LQx txLtT 我們要證明：我們要證明：（*）記記對(duì)對(duì) 成立：

54、成立： ,0,，LxtQL 222,2。Ku x tFtxa tL 若（若（*）成立，則對(duì)）成立，則對(duì) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 00,x tQ 0Lx 00,Lx tQ 從而由（從而由（*）得：）得：在上式中令在上式中令 得：得：因?yàn)橐驗(yàn)?是是 中任意一點(diǎn)，所以中任意一點(diǎn)，所以，+ +L 因此，只要證明了（因此，只要證明了（*）式，命題）式，命題4.1就得證。就得證。下面我們來(lái)證明（下面我們來(lái)證明（*）式。）式。 220000002,2，。Ku x tFtxa tLxL 000,。u x tFtFT 00,x tQ ,supsupsup。QQuTFTf 令令222( , )2( , ),( , )LK

55、v x tFta tu x tx tQLx 222232222f0,( ,0)0,(, )(, )0,0tccLtxxKaFaaua uFQLKv xxLxLLvL tKuL ttTvv 于于，。則顯然則顯然2,1()(),LLv CQCQ 且且由弱極值原理，得：由弱極值原理，得：所以，所以， 2222,0，LKFtxa tu x tx tQL 即（即（*）式成立。）式成立。0,于LvQ 222,2,，LKu x tFtxa tx tQL 命題命題4.1證畢。證畢。于是，于是，推論推論4.7：初值問(wèn)題初值問(wèn)題 (4.10) 在在注：注： 初值問(wèn)題初值問(wèn)題 (4.10) 在在 中的解并不是唯一中

56、的解并不是唯一的！其原因是：在無(wú)窮遠(yuǎn)的！其原因是：在無(wú)窮遠(yuǎn)“邊界邊界”上，上， (4.10 ) 對(duì)解沒(méi)有限制，即對(duì)對(duì)解沒(méi)有限制，即對(duì) 的值沒(méi)有限制。如的值沒(méi)有限制。如果要求：存在正常數(shù)果要求：存在正常數(shù) 與與 使得使得則可以證明，這樣的解是唯一的。則可以證明，這樣的解是唯一的。中的有界解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。中的有界解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。證明：證明：假設(shè)假設(shè) (4.10 ) 在在 中有兩個(gè)有中有兩個(gè)有界解，對(duì)這兩個(gè)解差應(yīng)用命題界解，對(duì)這兩個(gè)解差應(yīng)用命題4.1的最大模估計(jì)，得的最大模估計(jì)，得出這兩個(gè)解的差在出這兩個(gè)解的差在 中恒等于零。中恒等于零。2 1(

57、)，）C QCQ 2 1( )，）C QCQ 2 1( )，）C QCQ lim ( , )xu x t MN2( , ),( , )Nxu x tMx tQe Q而且由最大模估計(jì)易得解連續(xù)依賴于所給的初始條件。而且由最大模估計(jì)易得解連續(xù)依賴于所給的初始條件。第五節(jié)第五節(jié) 解的漸近性態(tài)解的漸近性態(tài)考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題一、初邊值問(wèn)題解的漸近性態(tài)一、初邊值問(wèn)題解的漸近性態(tài)20,0,0,( , 0)( ),0,(5.1)(0, )()( , )0,0,0txxxua uxltu xxxlutuhu l tth 正正常常數(shù)數(shù). .定理定理 5 5.1：1(0,

58、),(0)0,( )( )0.Cllhl則則 ，問(wèn)題，問(wèn)題 (5.1) 的唯一古典解的唯一古典解 指數(shù)衰指數(shù)衰減趨于零，減趨于零，設(shè)初始函數(shù)設(shè)初始函數(shù)t ( , )u x t,0, txl 即即有有21( , )0.(5.4)atu x tCe證明：證明：由極值原理和分離變量法知，（由極值原理和分離變量法知，（5.1）的唯一古典解為）的唯一古典解為21( , )sin,katkkku x tA ex 01( )sin,lkkkAdM 其中其中 由下面給出：由下面給出：,kkA 2222221()2tan,.kkkkklhll 220sin.(5.2)22()lkkklhMxdxh 由（由（5.

59、2）可知，對(duì)一切）可知，對(duì)一切 ，有，有k1|,(5.3)kAC k 由由的定義知當(dāng)?shù)亩x知當(dāng)k 時(shí)，時(shí)，2()kO k ，故有，故有211.kk 另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)1t 時(shí)，時(shí)，對(duì)一切對(duì)一切 成立成立2k 2211()()112()()(5.4)kkatakkeeC 1t 時(shí)，對(duì)于時(shí)，對(duì)于于是當(dāng)于是當(dāng)0, xl 有有222211221122111()1112()11211221|(, ) | |sin|(1)1(1()1(1),kkkkatkkkatatatkkatatkkkatatkku x tA exCeCeeCeeCCeCe 即即21( ,

60、 )0.atu x tCe考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題二、二、Cauchy 問(wèn)題解的漸近性態(tài)問(wèn)題解的漸近性態(tài)20,0,(5.7)( , 0)( ),txxua uxtu xxx 定理定理 5 5.2：1().L柯西柯西問(wèn)題問(wèn)題 (5.7) 的唯一古典解的唯一古典解 具有如下性質(zhì)，具有如下性質(zhì)，設(shè)初始函數(shù)設(shè)初始函數(shù) 是有界連續(xù)函數(shù)且是有界連續(xù)函數(shù)且 則則( , )u x t0, ,txl 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)12( , )0.(5.9)u x tC t (,)x dx 如如果果1().L則則稱稱并并記記1()( ).(5.8)L Lx dx 證明：證明：當(dāng)當(dāng) 是有界函數(shù)時(shí)，由是有