第四章級數更新ppt課件

1、第四章、級第四章、級 數數基本內容：基本內容：1、復數項級數、復數項級數(概念和收斂的充要條件概念和收斂的充要條件)。 2、冪級數、冪級數 (收斂圓、收斂半徑的計算收斂圓、收斂半徑的計算)3、函數的泰勒級數、洛朗級數展開式。、函數的泰勒級數、洛朗級數展開式。重點：收斂半徑、級數展開式。重點：收斂半徑、級數展開式。 1 復數項復數項 級級 數數（常數項級數）（常數項級數）1、復數列的極限：、復數列的極限： 000lim,zzzzzzNnifnnnn收收斂斂于于稱稱：復復數數列列成成立立，則則：使使收收斂斂： 發(fā)發(fā)散散。不不收收斂斂，稱稱發(fā)發(fā)散散：若若nnzz biazbiazznnnn 0復復數

2、數列列： bblimaalimzznnnnn 的的充充分分必必要要條條件件是是：收收斂斂于于復復數數列列定定理理一一：02、復數項級數：、復數項級數： 1211limnnnnnnnnnnszzzssszsz 部分和：如果：則：數列收斂收斂如果：數列不收斂發(fā)散 nnnzzzz211都都收收斂斂和和：收收斂斂的的充充分分必必要要條條件件是是級級數數定定理理二二： 111nnnnnnbaz0lim1 nnnnzz 收收斂斂的的必必要要條條件件為為推推論論：收收斂斂。收收斂斂，則則定定理理三三：如如果果 11nnnnzz絕絕對對收收斂斂。和和件件為為：絕絕對對收收斂斂的的充充分分必必要要條條推推論論：

3、 111nnnnnnbaz收收斂斂。不不收收斂斂，但但條條件件收收斂斂：收收斂斂。絕絕對對收收斂斂： 111nnnnnnzzz 發(fā)發(fā)散散收收斂斂收收斂斂的的收收斂斂性性、判判斷斷下下列列數數列列例例 innzenzninizzninnnncos1)11(111:1 條件收斂條件收斂絕對收斂絕對收斂發(fā)散發(fā)散性：性：、判斷下列級數的收斂、判斷下列級數的收斂例例 11121)1(!)8()1(12nnnnnninninin：判判斷斷級級數數的的收收斂斂性性。目目標標1復習掌握復習掌握不不確確定定發(fā)發(fā)散散收收斂斂、根根值值審審斂斂法法：不不確確定定發(fā)發(fā)散散收收斂斂、比比值值審審斂斂法法：發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散

4、散收收斂斂收收斂斂、比比較較審審斂斂法法： 111111111111,1,1lim31,1,1lim2,1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuvuuvvuif 一、正項級數審斂法：一、正項級數審斂法：011 nnnnnnv ,uvu 和和是是收收斂斂的的級級數數。）（常常用用級級數數收收斂斂萊萊布布尼尼茨茨準準則則級級數數二二、交交錯錯級級數數審審斂斂法法： nuuuifunnnnnnnn11312110lim)1(1111級級數數發(fā)發(fā)散散級級數數收收斂斂級級數數：、級級數數發(fā)發(fā)散散級級數數收收斂斂）：、等等比比級級數數（幾幾何何級級數數發(fā)發(fā)散散、調調和和

5、級級數數、收收斂斂的的必必要要條條件件：三三、其其他他： 1;1141;1313121120lim1120ppnpqqaqaqaaqnunpnnnn2 冪冪 級級 數數 1110001000111)()()()()(,)()()(lim,)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnzfzSDzfDzfzSzzfzSzSzDzfzfzSzfzfzf上上收收斂斂，和和函函數數為為：在在區(qū)區(qū)域域處處處處收收斂斂，和和函函數數：如如果果級級數數在在和和為為：點點收收斂斂在在則則稱稱有有：內內某某點點如如果果部部分分和和：復復變變函函數數項項級級數數：1、冪級數：、冪級數： nnnnnnnn

6、nnzczcczczzczzcczzc100001000)()()(冪級數：冪級數：冪級數：冪級數：必必發(fā)發(fā)散散。發(fā)發(fā)散散絕絕對對收收斂斂。收收斂斂定定理理）定定理理一一（阿阿貝貝爾爾 000000000,)0(nnnnnnnnnnnnzczzzczczzzzcAbel、收收斂斂圓圓及及半半徑徑：2上上不不一一定定。外外發(fā)發(fā)散散；內內絕絕對對收收斂斂；在在收收斂斂圓圓RRRCCC稱稱收收斂斂半半徑徑。：收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為圓圓域域RRzCR, zzzfzzzznnnnn 11)(1120解解：等等比比級級數數和和和和函函數數、求求級級數數的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域及及例例111112 zRzzzzn

7、收收斂斂區(qū)區(qū)域域：記記住住：內內、外外的的特特性性。：掌掌握握冪冪級級數數在在收收斂斂圓圓目目標標24,3)142(1p第第四四章章習習題題：作作業(yè)業(yè)：判判斷斷級級數數的的收收斂斂性性。目目標標1)2(3種種、收收斂斂半半徑徑的的求求法法：lRlciflRlccifnnnnnn1:1:limlim1 則則：收收斂斂半半徑徑為為根根值值法法定定理理三三則則：收收斂斂半半徑徑為為比比值值法法定定理理二二外外）級級數數處處處處發(fā)發(fā)散散（除除級級數數處處處處絕絕對對收收斂斂000 RlRl證證明明： 0nnnzc 1113)(cos2 , 0()1()(2nnnnnnzinznznz的的情情況況）討討

8、論論在在況況討討論論在在收收斂斂圓圓周周上上的的情情收收斂斂圓圓周周上上的的情情形形。、求求級級數數的的收收斂斂半半徑徑及及例例 處處處處發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散點點有有收收斂斂點點處處處處絕絕對對收收斂斂結結論論：在在收收斂斂圓圓上上，&。：求求冪冪級級數數的的收收斂斂半半徑徑目目標標3，復復合合），、冪冪級級數數的的運運算算：（ 4 冪冪級級數數。這這個個代代換換運運算算用用在在展展開開時時復復合合運運算算： 0212100210)()()(),min()()(),min()()()(nnnnnnnnnnnnnzgazgfrRrzgrrRzbzazgzfrrRzbazgzf2010)()(

9、rRzbzgrRzazfnnnnnn 0)3(513nnnzcz展展開開為為：函函數數例例的的常常用用方方法法：展展開開為為將將函函數數 0)(1)(nnnazcbzzf?1)(1111)(11 azzgzzzzzgazn求求收收斂斂半半徑徑用用形形式式把把函函數數化化為為）把把函函數數化化為為分分母母出出現現（00000001000100( ),1( )2( )( )3( )( )1nnnnnnnnnznnznf zczzRf zczzzzRf zzzRfznczzf zzzRcfdzzn定理四（和函數的性質）（收斂半徑均為則：和函數（在內解析。和函數在內的導數可逐項求導得到。（和函數在內的

10、積分可逐項求積分得到。（3 泰泰 勒勒 級級 數數圓圓域域內內解解析析時時，有有：在在、泰泰勒勒展展開開定定理理：RzzDzf 0:)(1)(!1)()(0)(00zfnczzczfnnnnn 其其中中：冪級數的和函數在收斂圓內是解析函數。冪級數的和函數在收斂圓內是解析函數。研究：一個解析函數是否能用冪級數來表達？研究：一個解析函數是否能用冪級數來表達？ ）逐逐項項求求積積分分；帶帶入入（將將出出現現展展開開冪冪級級數數：柯柯西西積積分分公公式式：1)2()3()(1)2()(21)()1(0zzzdzfizfC 證明：證明：問題：泰勒級數可以將解析函數展開為冪級數，但這樣的問題：泰勒級數可以

11、將解析函數展開為冪級數，但這樣的展開式是否唯一呢？展開式是否唯一呢？為為泰泰勒勒級級數數的的系系數數?？煽傻玫茫阂砸灾鹬痦楉椙笄髮У玫茫河捎蓛鐑缂壖墧禂翟谠谑帐諗繑坑蛴騼葍瓤煽蓛鐑缂壖墧禂担阂岩呀浗浻糜脛e別的的方方法法展展開開為為在在設設)(!1)2()()()()()1(0)(00100zfnazzazzaazfzzfnnnn 最最近近一一個個奇奇點點。為為距距為為：的的泰泰勒勒展展開開式式收收斂斂半半徑徑在在是是唯唯一一的的；數數，函函數數級級數數展展開開為為泰泰勒勒級級任任何何在在單單連連通通域域解解析析的的結結論論：000)()2()1(zaazRzzf 。：求求冪冪級級數數的的收收

12、斂斂半半徑徑目目標標32( 142 143)6 ,11(1,2,3,6),12(1)p作業(yè) ：第四章習題級級數數的的鄰鄰域域內內可可展展為為在在解解析析在在展展成成必必能能在在，內內解解析析的的函函數數在在內內和和函函數數解解析析；在在收收斂斂圓圓等等價價TaylorzzfzzfzzczzfRzzRzzzzcnnnnnn000000000)()()()()( 數數展展開開。：求求解解析析函函數數的的泰泰勒勒級級目目標標4解析函數泰勒展開式的方法：解析函數泰勒展開式的方法：(1)(1)、直接法：、直接法： 直接用泰勒展開定理，根據函數的導數求系數。直接用泰勒展開定理，根據函數的導數求系數。(2)

13、(2)、間接法：、間接法： 借助一些常用函數的泰勒展開式，以唯一性為依據，運用借助一些常用函數的泰勒展開式，以唯一性為依據，運用冪級數的性質及復合運算得到解析函數的泰勒展開式。冪級數的性質及復合運算得到解析函數的泰勒展開式。的的泰泰勒勒展展開開式式。在在、求求對對數數函函數數的的主主值值例例的的冪冪級級數數。展展開開成成、把把函函數數例例點點展展開開、在在例例0)1ln(3)1(12!210122 zzzznzzzeznz2、一些常用初等函數的泰勒展開式：、一些常用初等函數的泰勒展開式：1)1(1111111)!2()1(!4!21cos)!12()1(!5!3sin!212224212532

14、 zzzzzzzzzzRnzzzzRnzzzzzRnzzzennnnnnnnz一、討論下列雙邊級數：一、討論下列雙邊級數：nnnnnnnnnnnnnzzczzczzcczzczzc)()()()()(00010000 其其展展式式如如何何？的的為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)域域內內解解析析這這一一節(jié)節(jié)研研究究：以以級級數數。的的可可以以在在該該圓圓域域展展為為為為中中心心的的圓圓域域內內解解析析的的上上一一節(jié)節(jié)知知道道：以以),()(),(000zfzTaylorzzzfz 4 洛朗級數洛朗級數雙邊級數可以分為兩部分：雙邊級數可以分為兩部分： 級級數數發(fā)發(fā)散散。級級數數收收斂斂第第二二部部分分（負負

15、冪冪項項）：級級數數發(fā)發(fā)散散。級級數數收收斂斂正正冪冪項項）：第第一一部部分分101001202000;)(;)(RzzRzzzzcRzzRzzzzcnnnnnn 收斂區(qū)域：為圓環(huán)域收斂區(qū)域：為圓環(huán)域)(21201時時RRRzzR 和函數性質：在收斂圓環(huán)域內，和函數性質：在收斂圓環(huán)域內， 是解析函數；可以逐項求導；逐項求積分。是解析函數；可以逐項求導；逐項求積分。級數的正整次冪部分稱為解析部分；級數的正整次冪部分稱為解析部分；級數的負整次冪部分稱為主要部分；級數的負整次冪部分稱為主要部分；。的的任任何何一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線為為圓圓環(huán)環(huán)域域內內繞繞為為洛洛朗朗級級數數內內處處處處解解析析

16、，在在圓圓環(huán)環(huán)域域當當0100201, 2, 1, 0)()(21)()()(zcndzficzzczfRzzRzfcnnnnn ：二二、洛洛朗朗級級數數展展開開定定理理問題：洛朗級數展開式是否唯一呢？問題：洛朗級數展開式是否唯一呢？011000010110010( )( )()()( )()( )12()()1( )2()ppnnnpnpppnnccppcf zzf zazzaazzccfazzcfdadiazzfaiz 0設在 已經用別的方法展開為冪級數：為圓環(huán)域內圍繞z 的簡單閉曲線，為 上任一點，則：（乘上式兩邊，并沿 積分，得：0, 1, 2,dp洛朗系數。洛朗級數展開的求法：洛朗級

17、數展開的求法：（1 1直接法：由定義求直接法：由定義求. . 太繁雜，一般不用。太繁雜，一般不用。（2 2間接法：間接法： 借助一些常用函數的級數展開式，以唯一性借助一些常用函數的級數展開式，以唯一性為依據，運用冪級數的性質、代數運算、復合運為依據，運用冪級數的性質、代數運算、復合運算、求導和積分等得到解析函數的洛朗展開式。算、求導和積分等得到解析函數的洛朗展開式。有有負負冪冪項項的的展展開開式式為為洛洛朗朗級級數數在在多多連連通通域域的的去去心心領領域域內內解解析析時時不不解解析析，但但在在當當函函數數在在)()(,000zzz開開。：求求函函數數的的洛洛朗朗級級數數展展目目標標5132(

18、)0zf zz ez例 、在點展開成洛朗級數。朗朗級級數數。在在這這些些區(qū)區(qū)域域內內展展開開成成洛洛將將析析，在在下下列列圓圓環(huán)環(huán)域域內內處處處處解解、例例)(2)21)10)2111)2)(1(1)(1zfzczbzazzzzzf 奇奇點點或或外外圓圓周周有有奇奇點點內內圓圓周周有有收收斂斂圓圓環(huán)環(huán)組組成成：級級數數展展開開式式；的的不不同同的的圓圓環(huán)環(huán)域域內內有有不不同同結結論論：)()(zfzfLaurent三、在計算閉路積分中的應用三、在計算閉路積分中的應用112012012)()(;)( icdzzfcLaurentrzzrzfrzzrCzfc 找找出出系系數數展展式式；的的在在的的

19、關關系系的的奇奇點點與與分分析析計計算算步步驟驟：12 icdz)z(fc 213)1()4)(1(14zzzdzzzedzzzz、求求下下列列各各積積分分的的值值：例例求求閉閉路路積積分分。：利利用用洛洛朗朗級級數數展展開開的的目目標標16 C開開。：求求函函數數的的洛洛朗朗級級數數展展目目標標5求求閉閉路路積積分分。：利利用用洛洛朗朗級級數數展展開開的的目目標標16 C數數展展開開。：求求解解析析函函數數的的泰泰勒勒級級目目標標419)532(16432112)321(11)144143(3、）、（、第第四四章章習習題題：作作業(yè)業(yè)p開。開。：求函數的洛朗級數展：求函數的洛朗級數展目標目標5

20、求求閉閉路路積積分分。：利利用用洛洛朗朗級級數數展展開開的的目目標標16 C數數展展開開。：求求解解析析函函數數的的泰泰勒勒級級目目標標4內內、外外的的特特性性。：掌掌握握冪冪級級數數在在收收斂斂圓圓目目標標2：判判斷斷級級數數的的收收斂斂性性。目目標標119)532(16)432112)321(11643)144141(、（、第第四四章章習習題題作作業(yè)業(yè)：p。：求求冪冪級級數數的的收收斂斂半半徑徑目目標標3第四章第四章 小結小結4條）條）1、 復數項級數收斂復數項級數收斂: (1)復數列復數列 收斂的充要條件收斂的充要條件: 同時收斂定理一）同時收斂定理一） (2)復級數復級數: （定理二）（定理二） 收斂的充要條件收斂的充要條件: 同時收斂同時收斂. (3)復級數絕對收斂復級數絕對收斂: （定理三）（定理三） 絕對收斂的充要條件絕對收斂的充要條件: 同時絕對收斂同時絕對收斂. ibannn nnba, 11nnnnba 11nnnnb,a 2 、冪級數： (1)Abel定理:收斂范圍為圓域,圓內絕對收斂,圓外發(fā)散,圓上不定。 (2)收斂