第十六章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件

1、第十六章一第十六章一 元元 函函 數(shù)數(shù) 積積 分分 學(xué)學(xué)(一) 本 章 內(nèi) 容 小 結(jié)(二) 常見問題分類及解法(三) 思 考 題(四) 課 堂 練 習(xí)( (一一) ) 本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)和不定積分的概念；基本積分公式，基本積分法則，換元法，分部積分法.2、定積分的定義；微積分基本定理；牛頓-萊布尼茲公式及其應(yīng)用.二、重點和難點二、重點和難點 本章重點是不定積分的計算和利用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分. 難點是不定積分的計算和定積分的定義.四、對學(xué)習(xí)的建議四、對學(xué)習(xí)的建議 1、不定積分的計算掌握得熟練與否不僅影響著定積分的計算和應(yīng)用，而且將影響到今后學(xué)習(xí)

2、多元函數(shù)積分的計算以及微分方程的求解等，因此務(wù)必給予重視. 不定積分的計算中湊微分法的使用是個難點，它的基本思路是通過恒等變化積分表達式中的微分形式，使積分表達式在形式上符合基本積分公式，從而解決積分問題. 要熟練掌握湊微分法，一是要熟記基本積分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，積累經(jīng)驗，熟悉技巧. 分部積分法主要是針對被積函數(shù)為乘積形式的積分，其方法是將所給積分化為形如 , 然后利用公式udv，udvuvvdu其中 的選取有兩個原則：一是 便于求出；二是 好積.uvvdu( )1( )( )( ) 對于計算不定積分具體操作的建議是，拿到一個題目首先考慮是否通過變化被積函數(shù)而可使用基

3、本積分法則或者使用湊微分法；被積函數(shù)若含根式，一般首先考慮第二換元法；被積函數(shù)若為乘積形式，仍要首先考慮可否使用湊微分法，然后考慮使用分部積分法，其中被積函數(shù)為乘積形式也可廣義理解，例如， 可以認為是 ，并且有時被積函數(shù)為一個函數(shù)時也可考慮使用分部積分法.f xf xg xg x 總之，不定積分的解法很靈活，求解途徑不止一種，以下所說都是一些基本情況和常規(guī)思路，而實際上面對的情況是千變?nèi)f化的，有時解法需要技巧性很強，例如，即使被積函數(shù)中無根式，也可考慮使用第二換元法等. 這就要求多看多練，多總結(jié)歸納. 2、對于定積分的定義應(yīng)通過引入例題深刻理解，它的精要之處是“分割求近似，求和取極限”，這種數(shù)

4、學(xué)思想在利用定積分解決實際問題中尤為重要.( ) 利用牛頓-萊布尼茲公式 ( )( )( )(注意 ( )在 ， 上連續(xù))解定積分，關(guān)鍵在于求出 ( ) 的一個原函數(shù) ( )，這就把定積分問題轉(zhuǎn)化成了不定積分問題.因此，從根本上說這個公式已經(jīng)解決了定積分的計算問題，但在實際操作上仍有一些小技巧： 若在求 的過程中需要利用第baf x dxF bF af xabf xF xF x( )( )babbbaaaF xF xudvudvuvvdu二換元法，可把定積分的上下積分限做相應(yīng)的改變，這樣就不需要把引入的新變量再還原成原來的積分變量，這個過程廣義地稱之為“換元變限” . 若在求 的過程中需要利用

5、分部積分法，則不需要求出 后，再利用牛頓-萊布尼茲公式，而是把被積表達式先化成 的形式，然后直接用公式 計算. 無窮積分是廣義積分的一種，即積分區(qū)間是無窮的. 從無窮積分定義來看，無窮積分是一般定積分與求極限的結(jié)合，應(yīng)該說沒有多少新的內(nèi)容，但它在實際中的應(yīng)用是很有意義的. 已經(jīng)知道，把火箭發(fā)射到太空所要做的功為22 為引力常數(shù) 計算的結(jié)果表明，把火箭送到無窮遠處所做的功卻是有限的，這不是很有趣嗎?RMmGdrmgRrR gGM五、本章關(guān)鍵詞五、本章關(guān)鍵詞不定積分積分法定積分公式定理( (二二) ) 常見問題分類及解法常見問題分類及解法一、直接積分法求不定積分一、直接積分法求不定積分解解2222

6、12sin2 cos(1)1 求下列不定積分： (1) ； (2) ； (3) .xdxxdxdxxxxxxx例例1 1 許多不定積分先要對被積函數(shù)適當變形，根據(jù)不定積分的性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)和三角公式的恒等變形，直接利用基本積分公式求不定積分.(1) 用分式拆項法，得21xdxxx222(1)(1)(1)x xxdxxxxx222(1)(1)x xxdxxx221x dxx xdx32211 (1)32xxd x33221(1)33 ；xxc(2) 用三角公式恒等變換與分式拆項法，得sin2 cosdxxx22sin cosdxxx222sincos2sin cosxxdxxx1tan seccs

7、c2xxdxxdx1(secln |csccot|)2 ；xxxc(3) 用分式拆項法得22212(1)xdxxx2222(1)(1)xxdxxx22111dxdxxx1arctan .xcx 二、利用第一換元積分法二、利用第一換元積分法 (湊微分法湊微分法) 求不定積分求不定積分 在不定積分的計算中，湊微分法就是根據(jù)被積函數(shù)，利用微分形式不變性，“湊成一個在基本積分公式中的函數(shù)，求出不定積分. 湊微分法比較靈活，應(yīng)該通過較多的訓(xùn)練，將湊微分法掌握好. 可以看到，許多不定積分的計算用湊微分法顯得比較簡單. 該方法的一般計算步驟如下： ( )( ) ( ) ( ) 湊微分 先湊微分，即 ；fxx

8、 dxfx dx( )( ) ( ) ( )( )( ) 令 再進行變量代換后積分，令 ， 即 ；uxuxfx dxf u duF uc( )( ) ( ) 回代 最后回代，即 這種先 湊微分式，再進行變量代換的積分方法，稱為第一換元 法，也稱湊微分法.f u duF ucFxc應(yīng)用湊微分法時，需注意運用以下幾個湊微分思路：222sin2(2sin)2sin2sin 當分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正好是分子函數(shù)時，將分子湊微分，如 xdxdxxx222111(1)2 當根號內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于根號外函數(shù) (或相差常數(shù)倍) 時， 將根號外函數(shù)湊微分，如 xx dxx dxsinsinsinsincossincos

9、sincossin 通常以被積式中的復(fù)合函數(shù)的中間變量為目標湊微分，如 積分 ， 是復(fù)合函數(shù)，以中間變量 為目標，將 湊成 ，即 xxxxxedxexxdxdxxedxedx2222lnln1(ln1)ln(ln1)ln12ln1 有時需分步完成湊微分，如 xxdxdxdxxxxxsin cos 求不定積分 .dxxx例例2 2解解用湊微分法，得sin cosdxxx2tan cosdxxx(tan )tandxxln|tan| .xc432sin cos1 sinlntan9sin cos 求下列不定積分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) .axxxdxdxaxxxxdxdxxx

10、x例例3 3解解用湊微分法，得22222212()dxad axaxax(1) axdxax22axdxax1222arcsin() ；xaaxca4sin cos1 sin(2) xxdxx4sinsin1 sinxdxx2221(sin)2 1 (sin)dxx21arctan(sin)2 ；xc329(3) xdxx2221()29xd xx222199()29xd xx22219(9)()229d xd xx2219ln(9)22 ；xxclntansin cos(4) xdxxx2lntantan cosxdxxxlntan(tan )tanxdxxlntanln(tan )xdx2

11、1ln (tan )2 .xc三、利用第二換元積分法求不定積分三、利用第二換元積分法求不定積分1( ) ( )( )( )( )( )( )( ) 在不定積分的計算中，若被積函數(shù)有根式，一般都先消去根號，再求不定積分. 第二類換元積分法基本思想也是消去根號，因此要具體地根據(jù)被積函數(shù)的情況，選擇合適的變換 ，使得新的被積函數(shù) 具有原函數(shù) ，再從 中得出反函數(shù) 代入 ，即得 的原函數(shù). 當被積函數(shù)中含有被開方因式為一次式的根式 mxtfttF txttxF tf xaxb222222sintansec時，令 ，可以消去根號，從而求得積分. 當被積函數(shù)中含有被開方因式為二次式的根式，一般地說，可進行

12、三角代換：若被積函數(shù)含有 ，可進行代換 ；若被積函數(shù)含有 ，可進行代換 ；若被積函數(shù)含有，可進行代換 . 在具體解題時，要具體分析，用什么樣的積分方法為好，有時用湊微分法可能會更好.maxbtaxxataxxatxaxat先換元后積分的具體計算步驟如下：( )( )( ) ( )( ) 先換元，令 ，即 ；xtxtf x dxftt dt ( ) ( )( ) 積分 再積分，即 ；ftt dtF tc1( )11( )( )( )回代 最生回代，即 .txtxF tcFxc 由以上三步組成的方法稱為第二換元積分法.1( )( )( )0( )( ) 運用第二換元積分法的關(guān)鍵是選擇合適的變換函數(shù)

13、. 對于 ，需要單調(diào)可微，且 ，其中 是 的反函數(shù).xtxtttxxt26666ln |1|2 (回代 )tttctx321 求 .dxxx例例4 4解解6令 ，tx656則 ，xtdxt dt321所以 dxxx36121dttt53416t dttt261tdtt21 161tdtt 1611tdtt 366366ln|1| .xxxc323 求 .xdxx例例5 5253513325 (回代 )ttctx 解解33令 ，tx3233則 ， .xtdxt dt 323故 xdxx3223( 3 )ttdtt 43 (5)ttdt 233 19(3)52 .xxc 2233153(3)(3)

14、 (3)25xxxc 29 求 .xdxx例例6 6解解3sec令 ，xt3sec tan則 dxttdt29故 xdxx據(jù)題意作圖如圖 16-1 所示.29sec tan3secttdtt23 tan tdt23sec tdtdt3tan3ttc2393arccos .xcxtx329x 圖 16-1 例 6 示意421 求 .dxxx例例7 7解解tan令 ，xt2sec則 ，dxtdt421故 dxxx據(jù)題意作圖如圖 16-2 所示.24secsec tantdttt42(sin )(sin )sinsindtdttt2323(1)13 .xxcxx tx121x圖 16-2 例 7 示

15、意311sin3sintct 四、利用分部積分法求不定積分四、利用分部積分法求不定積分,udvudv 在不定積分的計算中，當遇到兩個不同類型的函數(shù)相乘時，一般用分部積分法. 運用分部積分法的關(guān)鍵是恰當?shù)剡x擇 和 一般選擇 和 的原則如下： 要用湊微分法容易求出.v 要比 容易積出.vduudv 表 16-1 給出了適用分部積分法求不定積分的題型及 和 的選取法.udv 如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積、冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積、冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積以及指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法.表表 16-1 分部積分分部積分表表不定積分的題型、 選取udv(

16、)axP x e dx( )sinP xaxdx( )cosP xaxdx( )lnP xxdx( )arcsinP xxdx( )arctanP xxdxsinaxebxdxcosaxebxdx( )uP x( )uP x( )uP xlnuxarcsinuxarctanuxsinubxaxuecosubxaxueaxdve dxsindvaxdxcosdvaxdx( )dvP x dx( )dvP x dx( )dvP x dxsin或axdve dxdvbxdxcos或axdve dxdvbxdx( )注：其中 表示 的多項式； ， 為常數(shù).P xxab2lncos(ln ) 求下列不定

17、積分： (1) ； (2) .xxdxx dx例例8 8解解2ln(1) xxdx3222ln()3xd x32224lnln33xxxxdx3322228lnln()39xxxd x33222288lnln399xxxxxdx33322222816lnln3927xxxxxc322248lnln339 ；xxxccos(ln )(2) x dxcos(ln )sin(ln )xxx dxcos(ln )sin(ln )cos(ln )，xxxxx dxcos(ln )cos(ln )sin(ln )2所以 .xx dxxxc21 求不定積分 .dxx x 例例9 9解法一解法一sec用三角換

18、元法，令 ，xtsec tan則 得dxttdt據(jù)題意作圖(見圖 16-3).tx121x 圖 16-3 例 9 示意21dxx x sec tansec tanttdtttdttc 1arccos ；cx解法二解法二21用直接換元法，令 ，tx21則 xdxdtx即 ，有xdxtdt21dxx x 221xdxxx2(1)tdttt2(1)dttarctantc2arctan1 ；xc 解法三解法三1用倒數(shù)換元法，令 ，xt21則 ，得dxdtt 21dxx x 21dtt arcsintc 1arcsin .cx 由此可見，不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運用積分方法. 在具體的問題中

19、，常常是各種方法綜合使用，針對不同的問題就采用不同的積分方法.五、可變上限的定積分對上限的求導(dǎo)五、可變上限的定積分對上限的求導(dǎo) 如果定積分的上限是 的函數(shù)，那么利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)公式來對上限求導(dǎo)；如果定積分的下限是 的函數(shù)，那么將定積分的下限變?yōu)榭勺兩舷薜亩ǚe分，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)公式來對上限求導(dǎo)；如果定積分的上限、下限都是 的函數(shù)，那么利用區(qū)間可加性將定積分寫成兩個定積分的和，其中一個定積分的上限是 的函數(shù)，另一個定積分的下限也是 的函數(shù)，都可以化為可變上限的定積分來對上限求導(dǎo).xxxxx12sin( ) ，求 .xdyytdtdx例例1 10 0解解21sin( )因 ，xytdt 22s

20、in()()sin()故 .dyxxxdx 003cos0 設(shè) ，求 .yxtdye dttdtdx例例1 11 1解解003cos0方程 確定了 是 的隱函數(shù)，方程兩端對 求導(dǎo)，得yxte dttdtyxx3cos0ydyexdx3cos故 .ydyxdxe 3241( )( )1 已知 ，求 .xxF xdtF xt例例1 12 2解解3241( )1xxF xdtt3204401111xxdtdttt2344001111xxdtdttt ( )所以 F x2381211()()11xxxx 21283211 .xxxx六、利用換元積分法計算定積分六、利用換元積分法計算定積分 應(yīng)用定積分的

21、換元法時，要考慮被積函數(shù)的特點，與不定積分換元法類似，定積分的換元法也包括湊微分、簡單根式代換、三角代換等.必須指出換元法中定積分與不定積分不同的是： 定積分在換元時，若用新的字母表示積分變量一定要 換積分限； 應(yīng)用換元法計算出不定積分后，要將變量回代，即要 代回原來的積分變量. 而定積分的最后結(jié)果是數(shù)值， 不需要變量回代.30(1 sin) 求 .d例例1 13 3解解30(1 sin)d300sindd 200(1 cos) cosd301(coscos)343 .ln8ln31 求 .xe dx例例1 14 4解解1令 ，xte222ln(1)1則 ，txtdxdttln32ln83當

22、時 ，當 時 ，于是xtxtln8ln31xe dx232221tdtt322221dtt3212ln1ttt2ln3ln2 .七、利用分步積分法計算定積分七、利用分步積分法計算定積分 定積分的被積函數(shù)的特點與不定積分的分部積分法類似，但不必先由不定積分的分部積分法求出原函數(shù)再用牛頓-萊布尼茲公式求出原函數(shù)在積分上限和下限值的差，而直接應(yīng)用定積分的分部積分法，可能會使積分簡化.40cos(1) 求 .xdx例例1515解解1令 ，xt 2(1)則 dxtdt0141當 時，；當 時， .xtxt 40cos(1)于是 xdx112(1)costtdt112(1) sintdt11112(1)s

23、in2sintttdt4sin1 .1( )sin ln( ) 已知 的一個原函數(shù)是 ，求 .f xxxxfx dx例例1 16 6解解( )sin ln因 的一個原函數(shù)是 ，f xxxsin( )(sin )ln cos ln故 xf xxxxxx1( )于是 xfx dx1( )xdf x11( )( )xf xf x dx11 (cos )lnsin (sin )ln xxxxxxlnsin1 . 八、利用函數(shù)的奇偶性計算定積分八、利用函數(shù)的奇偶性計算定積分100|sin| 求 .x dx例例1717解解|sin|由于 以 為周期，據(jù)周期函數(shù)積分的性質(zhì)：x100|sin|x dx2210|sin| x dx2020sin20 .xdx0sinsin 證明：如果 ， 是正整數(shù)，那么 . mnmnmxnxdxmn例例1 1