常微分方程試卷4_第1頁
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1、常微分方程試卷4一、填空題（30分）1、方程有僅含的積分因子的充要條件是（）。有僅含的積分因子的充要條件是_。2、_稱為黎卡提方程，它有積分因子_。3、_稱為伯努利方程，它有積分因子_。4、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。5、形如_的方程稱為歐拉方程。6、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。7、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共軛虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為_時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為_。二、計(jì)算題（60分）1、2、3、若試求方程組的解并求4、5、求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解6.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.三、證明題（10分）證明階齊次線性微分方程一定存在個(gè)線性無關(guān)解

2、。常微分方程試卷4答案一、填空題（30分）1、2、 3、4、5、6、7、零穩(wěn)定中心二、計(jì)算題（60分）1、解：因?yàn)椋源朔匠滩皇乔‘?dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是解2、線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程 不是特征根，原方程有特解代入原方程 所以原方程的解為3、解：解得此時(shí) k=1 由公式= 得4、解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對(duì)y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為： 其中為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 5、解： 6、解：由解得奇點(diǎn)（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則因?yàn)?1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。三、證明題（10分）由解的存在唯一性定

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