江蘇2012高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)：第4講　函數(shù)的實際應(yīng)用

1、函數(shù)的實際應(yīng)用1. 零點問題，在掌握二分法的解題步驟基礎(chǔ)上，學(xué)會分析轉(zhuǎn)化，能夠把與之有關(guān)的問題化歸為方程零點問題2. 函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，主要抓住常見函數(shù)模型的訓(xùn)練，如冪指對模型，二次函數(shù)模型，數(shù)列模型，分段函數(shù)模型等，解答的重點是在信息整理和建模上3. 掌握解函數(shù)應(yīng)用題的方法與步驟：(1) 正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型(建模)；(2) 用相關(guān)的函數(shù)知識進(jìn)行合理的設(shè)計，確定最佳的解題方案，進(jìn)行計算與推理(解模)；(3) 把計算或推理得到的結(jié)果代回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進(jìn)行總結(jié)作答(檢驗、作答)1. 函數(shù)f(x)exx2的零點為x0，則不小于x0的最小整數(shù)為_2.關(guān)于x的

2、方程x有負(fù)實根，則實數(shù)a的取值范圍是_3.某工廠的產(chǎn)值月平均增長率為p，則年平均增長率為_4.某人在2009年初貸款 m萬元，年利率為x，從次年初開始償還，每年償還的金額都是n萬元，到2012年初恰好還清，則n的值是_【例1】已知直線ymx(mR)與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個不同的公共點，求實數(shù)m的取值范圍【例2】某村計劃建造一個室內(nèi)面積為 800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留 1 m 寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？【例3】 2014年青奧會水上運動項目將在J地舉行截至2010年底，投資集團(tuán)

3、B在J地共投資100百萬元用于房地產(chǎn)和水上運動兩個項目的開發(fā)經(jīng)調(diào)研，從2011年初到2014年底的四年間，B集團(tuán)預(yù)期可從三個方面獲得利潤：一是房地產(chǎn)項目，四年獲得的利潤的值為該項目投資額(單位：百萬元)的20%；二是水上運動項目，四年獲得的利潤的值為該項目投資額(單位：百萬元)的算術(shù)平方根；三是旅游業(yè)，四年可獲得利潤10百萬元(1) B集團(tuán)的投資應(yīng)如何分配，才能使這四年總的預(yù)期利潤最大？(2) 假設(shè)從2012年起，J地政府每年都要向B集團(tuán)征收資源占用費，2012年征收2百萬元，以后每年征收的金額比上一年增加10%.若B集團(tuán)投資成功的標(biāo)準(zhǔn)是：從2011年初到2014年底，這四年總的預(yù)期利潤中值(

4、預(yù)期最大利潤與最小利潤的平均數(shù))不低于總投資額的18%，問B集團(tuán)投資是否成功？【例4】 已知函數(shù)f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在區(qū)間t，t1上的最大值h(t)；(2) 是否存在實數(shù)m，使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由1. (2010·浙江)已知x0是函數(shù)f(x)2x 的一個零點若x1(1，x0)，x2(x0，)，則f(x1)f(x2)_0.(填“>”或“<”)2.(2011·北京)根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))

5、已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品時用時15分鐘，那么c和A的值分別是_3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3 860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少達(dá)7 000萬元，則x 的最小值為_4.(2011·重慶)設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2kx20在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個不同的實根，則mk的最小值為_5.(2011·山東)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩

6、端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元設(shè)該容器的建造費用為y千元(1) 寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2) 求該容器的建造費用最小時的r.6.(2011·福建)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1) 求a的值；(2) 若該商品的成本為3元/千克，

7、試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大(2011·湖南)(本小題滿分12分)如圖，長方形物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：(1) P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc|×S成正比，比例系數(shù)為；(2) 其他面的淋雨量之和，其值為，記y為E移動過程中的總淋雨量，當(dāng)移動距離d100，面積S時(1) 寫出y的表達(dá)式；(2) 設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少解析：(1) 由題意知，E

8、移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為|vc|，(2分)故y(3|vc|10). (6分)(2) 由(1)知，當(dāng)0<vc時，y(3c3v10)15當(dāng)c<v10時，y(3v3c10)15.故y( 8分) 當(dāng)0<c時，y是關(guān)于v的減函數(shù)故當(dāng)v10時，ymin20. (10分) 當(dāng)<c5時，在(0，c上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關(guān)于v的增函數(shù)；故當(dāng)vc時，ymin. (12分)第4講函數(shù)的實際應(yīng)用1. 下列命題正確的是_(填所有正確命題的序號) 若f(x)f(2x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱； 若f(x)f(2x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱； 若yf(

9、x1)是奇函數(shù)，則yf(x)關(guān)于點(1,0)對稱； 若yf(x1)是偶函數(shù)，則yf(x)關(guān)于直線x1對稱【答案】2. 已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得最小值m1(m0)設(shè)函數(shù)f(x).(1) 若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2) k(kR)取何值時，函數(shù)yf(x)kx存在零點，并求出零點解： (1) 設(shè)g(x)ax2bxc，a0則g(x)2axb；又g(x)的圖象與直線y2x平行， 2a2， a1.又g(x)在x1時取最小值， 1， b2. g(1)abc12cm1， cm. f(x)x2.設(shè)P(x0，y0)，

10、則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m. 22m2， m1或m1.(2) 由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.(*)當(dāng)k1時，方程(*)有一解x，函數(shù)yf(x)kx有一零點x；當(dāng)k1時，方程(*)有兩解44m(1k)0.若m0，k1，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點x；若m0，k1，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點x；當(dāng)k1時，方程(*)有一解44m(1k)0，k1， 函數(shù)yf(x)kx有一零點x.基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 1解析：f(0)0，f(1)0，x0(0,1)2. 解析：由1，得a5.3. (1p)1214. 解析：m(1x)3n(1x)2n(1x)n.n.例題選講例1解：作出

11、函數(shù)f(x)的圖象，可見要使直線ymx(mR)與函數(shù)f(x)的圖象恰有三個不同的公共點，只要yx21(x0)與直線ymx(mR)有兩個交點，即x21mx有兩個不等的正根，x22mx20有兩個不等的正根， 解得m.變式訓(xùn)練(2011·北京)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是_【答案】(0,1)解析：f(x)(x2)單調(diào)遞減且值域為(0,1，f(x)(x1)3(x2)單調(diào)遞增且值域為(，1)，f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(0,1)例2解：設(shè)溫室的長為x m，則寬為 m由已知得蔬菜的種植面積為S m2：S(x2)8004x88

12、084648(當(dāng)且僅當(dāng)x即x20時，取“”)答：當(dāng)矩形溫室的邊長分別為20 m，40 m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是648 m2.變式訓(xùn)練某學(xué)校擬建一塊周長為400 m的操場如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設(shè)計矩形的長和寬？解：設(shè)中間區(qū)域矩形的長、寬分別為x m、y m，中間的矩形區(qū)域面積為S m2.則半圓的周長為 m，因為操場周長為400 m，所以2x2×400，即2xy400. Sxy·(2x)·(y)·2，由解得當(dāng)時等號成立答：設(shè)計矩形的長為100 m，寬約

13、為(63.7)m時，面積最大例3解：(1) 設(shè)B集團(tuán)用于水上運動項目的投資為x百萬元，四年的總利潤為y百萬元，由題意，y0.2(100x)100.2x30，x0,100即y0.2(2.5)231.25，0,10所以當(dāng)2.5，即x6.25時，ymax31.25.答：B集團(tuán)在水上運動項目投資6.25百萬元，所獲得的利潤最大，為31.25百萬元(2) 由(1)知，在上繳資源占用費前，ymax31.25，ymin20.由題意，從2012年到2014年，B集團(tuán)需上繳J地政府資源占用費共為2(11.111.12)6.62百萬元所以B集團(tuán)這四年的預(yù)期利潤中值為6.6219.005.由于19.005%18%，

14、所以B集團(tuán)投資能成功答：B集團(tuán)在J地投資能成功注：若水上運動項目的利潤改為該項目投資額的算術(shù)平方根的k(k0)倍，如何討論？例4解：(1) f(x)x28x(x4)216.當(dāng)t14，即t3時，f(x)在t，t1上單調(diào)遞增h(t)f(t1)(t1)28(t1)t26t7；當(dāng)t4t1，即3t4時，h(t)f(4)16；當(dāng)t4時，f(x)在t，t1上單調(diào)遞減，h(t)f(t)t28t.綜上，h(t)(2) 函數(shù)yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)(x)g(x)f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點 (x)x28x6lnxm， (x)2x8(x0)，當(dāng)x(0,1

15、)時，(x)0，(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1,3)時，(x)0，(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(3，)時，(x)0，(x)是增函數(shù)；當(dāng)x1或x3時，(x)0. (x)極大值(1)m7，(x)極小值(3)m6ln315. 當(dāng)x充分接近0時，(x)0，當(dāng)x充分大時，(x)0. 要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須即7m156ln3.所以存在實數(shù)m，使得函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7,156ln3)高考回顧1. 解析：f(x)在(1，)單調(diào)遞增，f(x0)0，f(x1)0，f(x2)0.2. 60,16解析：由條件可知，xA時所用時間為常數(shù)，所以組裝

16、第4件產(chǎn)品用時必然滿足第一個分段函數(shù)，即f(4)30c60，f(A)15A16.3. 20解析：3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，x20.4. 13解析： 設(shè)f(x)mx2kx2，則方程mx2kx20在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個不同的根等價于因為f(0)2，所以f(1)mk20，故拋物線開口向上，于是m0,0k2m，令m1，則由k28m0，得k3，則m，所以m至少為2，但k28m0，故k至少為5，又m，所以m至少為3，又由mk252，所以m至少為4，依次類推，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m6，k7時，m，k首次滿足所有條件，故mk的最小值為13.5. 解：(1) 因為容器的體積為立方米，所以r3r2l，解得lr，由于l2r，因此0<r2，所以建造費用y2rl×34r2c2r××34r2c，因此y8r24cr2，定義域為(0,2(2) y16r8cr，由于c>3，所以c2>0，當(dāng)r3時r，令m，則m>0，所以y(rm)(r2mrm2)當(dāng)0<m<2即c>時，當(dāng)rm時，y0；當(dāng)r(0，m)時，y<0；當(dāng)r(m,2)時，y>0，所以rm是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點，當(dāng)m2，即3<c時，當(dāng)r(0,2)時，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點綜