數(shù)學(xué)必修ⅰ北師大版2.1生活中的變量關(guān)系學(xué)案

1、1生活中的變量關(guān)系1常量與變量的區(qū)分在研究某一問題的變化過程中，數(shù)值保持不變的量稱為常量，可以取不同數(shù)值的量稱為變量談重點 正確理解常量與變量可結(jié)合生活中的實例，用辯證的觀點來理解常量與變量，常量是相對于某一過程或另一個變量而言的，絕對的常量是沒有的，因為物質(zhì)的運(yùn)動是絕對的，靜止是相對的，所以物動則變在我們的生活中容易找出眾多的實例，如：(1)勻速直線運(yùn)動中，速度是常量，時間和路程均為變量，但在實際運(yùn)動過程中，絕對的勻速是沒有的，因為人駕駛汽車在行駛過程中，不可避免地要進(jìn)行加速、減速或剎車等操作(2)電影院里，對某一場次和座位類別而言，票價是常量，而售票張數(shù)和收入均為變量但相對于某個較長時間的

2、間隔而言，由于演出的內(nèi)容、種類、檔次的不同，其票價仍是一個變量由此可以看出，常量具有相對性，而變量是永恒的，是大量存在的【例1】一輛汽車由南京駛往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/時，則汽車距上海的路程s(千米)與行駛時間t(時)的關(guān)系是s300100t，在這里，常量是_，變量是_解析：判斷常量與變量的關(guān)鍵是看它是否發(fā)生了變化，在這里，常量是南京與上海的距離300千米和汽車行駛的平均速度100千米/時，變量是汽車在行駛過程中距上海的路程s和行駛時間t.答案：300，100s，t2生活中的變量關(guān)系及判斷生活中的兩個變量之間可能具有依賴關(guān)系，也可能不具有依賴關(guān)系，具有依賴關(guān)系的兩個變

3、量可能是函數(shù)關(guān)系，也可能是非函數(shù)關(guān)系(1)依賴關(guān)系：在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個變量具有依賴關(guān)系特別地，如果對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就稱這兩個變量之間有函數(shù)關(guān)系(2)非依賴關(guān)系：在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值不會發(fā)生任何變化，那么就稱這兩個變量具有非依賴關(guān)系(3)依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴關(guān)系，具有依賴關(guān)系的兩個變量有的是函數(shù)關(guān)系，有的不是函數(shù)關(guān)系因此說依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系一定是依賴關(guān)系例如，

4、積雪層對越冬作物具有防凍保暖作用，大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā)，又可阻止外界冷空氣的侵入，具有增墑肥田作用所以下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系又因為作物的豐收還受其他因素的影響，如天氣、施肥量等，所以下雪與來年的豐收不具有函數(shù)關(guān)系破疑點 判斷兩個有依賴關(guān)系的變量之間是否是函數(shù)關(guān)系的步驟確定因變量和自變量；判斷對于自變量的每一個取值，是否都有唯一的因變量與之對應(yīng)若滿足這個條件則是函數(shù)關(guān)系，否則不是這里要特別注意的是，滿足函數(shù)關(guān)系的自變量對因變量，可以一對一，也可以多對一，但不可以一對多【例2】下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并

5、將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，觀察溫度計示數(shù)的變化冷卻時間與溫度計示數(shù)的關(guān)系；(2)做自由落體運(yùn)動的物體下落的距離與時間的關(guān)系；(3)商品的銷售額與廣告費(fèi)之間的關(guān)系；(4)家庭的食品支出與電視價格之間的關(guān)系；(5)在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關(guān)系分析：兩個變量中的一個變量發(fā)生變化時，根據(jù)另一個變量是否發(fā)生變化來確定依賴關(guān)系；根據(jù)另一個變量發(fā)生變化且取值唯一來確定函數(shù)關(guān)系解：(1)溫度計示數(shù)隨冷卻時間的變化而變化，所以冷卻時間與溫度計示數(shù)存在著依賴關(guān)系又因為對于冷卻時間的每一個取值，都有唯一的溫度計示數(shù)與之對應(yīng)，所以，溫度計示數(shù)是冷卻時間的函數(shù)；(2)科學(xué)家通過實驗發(fā)現(xiàn)，做自由

6、落體運(yùn)動的物體下落的距離(h)與時間(t)具有關(guān)系，其中g(shù)是常量，很顯然，對于時間t在其變化范圍內(nèi)的每一個取值，都有唯一的下落距離h與之對應(yīng)，故這兩個變量存在依賴關(guān)系，且距離是時間的函數(shù)；(3)商品的銷售額與廣告費(fèi)這兩個變量在現(xiàn)實生活中存在依賴關(guān)系，但商品的銷售額還受其他因素的影響，比如產(chǎn)品的質(zhì)量、價格、售后服務(wù)等，所以商品的銷售額與廣告費(fèi)之間不是函數(shù)關(guān)系；(4)家庭的食品支出與電視價格之間不存在依賴關(guān)系；(5)在高速公路上行駛的汽車所走路程(因變量)隨時間(自變量)的變化而變化，所以它們之間存在著依賴關(guān)系，且路程是時間的函數(shù)綜上可知，(1)(2)(5)中的變量間存在依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(

7、3)中變量間存在依賴關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；(4)中兩個變量間不存在依賴關(guān)系解技巧 如何判斷兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系判斷兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系，只需看一個變量發(fā)生變化時，另一個變量是否會隨之變化；判斷兩個具有依賴關(guān)系的變量是否是函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看二者之間的關(guān)系是否具有確定性，即驗證對于一個變量的每一個值，另一個變量是否都有唯一確定的值與之對應(yīng)3生活中變量關(guān)系的表示(1)通過圖像反映兩變量之間的關(guān)系用圖像反映兩變量間的關(guān)系是一種常用的表示兩變量關(guān)系的方式在解此類題時要能從圖中找到兩個變量，并能判斷它們之間的相互依賴關(guān)系是如何變化的例如：如圖所示為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖，根據(jù)圖像回答

8、下列問題：上午8時的氣溫約是多少？全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？大約在什么時刻，氣溫為0 ？大約在什么時刻內(nèi)，氣溫在0 以上？兩個變量有什么特點？它們具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？此題是一個通過圖像來反映兩變量關(guān)系的問題，所以回答問題時應(yīng)充分利用圖像所反映出的關(guān)系上午8時氣溫約是0 ，全天最高氣溫大約是9 ，在14時達(dá)到全天最低氣溫大約是2 ，在4時達(dá)到大約在8時和22時，氣溫為0 .在8時到22時之間，氣溫在0 以上由圖像可知隨著時間的增加氣溫先降再升后降對于時間t的每個取值，都有唯一的氣溫Q與之對應(yīng)，所以氣溫Q是時間t的函數(shù)；而對于氣溫Q的一個值可能有兩個時間t和它對應(yīng)，所以時間t不是氣溫Q的

9、函數(shù)(2)通過表格反映兩變量之間的關(guān)系兩變量之間的關(guān)系，體現(xiàn)在表格中就是要求我們能從表格中找到因變量和自變量，并能判斷因變量與自變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而說明因變量如何隨自變量的變化而變化例如：口香糖的生產(chǎn)已有很長的歷史，咀嚼口香糖有很多益處，但其殘留物也會帶來污染，為了研究口香糖的黏附力與溫度的關(guān)系，一位同學(xué)通過實驗，測定了在不同溫度下除去糖分的口香糖與瓷磚地面的黏附力，得到了如下表所示的一組數(shù)據(jù)：請回答下列問題：請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制出口香糖黏附力F隨溫度t變化的圖像根據(jù)上述數(shù)據(jù)以及得到的圖像，你得到怎樣的實驗結(jié)論？根據(jù)表中數(shù)據(jù)的范圍繪制出F隨t變化的圖像如右圖，于是可得實驗結(jié)論：隨著溫度的升

10、高，口香糖的黏附力先增大后減?。划?dāng)溫度在約37 時，口香糖的黏附力最大；當(dāng)溫度在50 時，黏附力最小所以可通過加熱的辦法除去磁磚上的口香糖殘留物【例31】如圖1是一輛汽車的速度隨時間而變化的示意圖圖1(1)汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過多少時間？它的最高時速是多少？(2)汽車在哪些時間段保持勻速行駛？時速分別是多少？(3)出發(fā)后8分到10分之間可能發(fā)生了什么情況？(4)如果縱軸換成路程s(千米)，橫軸表示時間t(時)，如圖2是一個騎自行車者離家距離與時間的關(guān)系圖像在出發(fā)后8時到10時之間可能發(fā)生了什么情況？騎自行車者在哪些時間段保持勻速運(yùn)動？速度分別是多少？圖2分析：解用圖像反映兩變量之間關(guān)系的題

11、目的關(guān)鍵是識圖，弄清兩個變量之間的關(guān)系解：(1)汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過了24分鐘，它的最高時速是80千米/時(2)汽車在出發(fā)后2分鐘到6分鐘，18分鐘到22分鐘均保持勻速行駛，時速分別為30千米/時和80千米/時(3)出發(fā)后8分到10分之間汽車速度為0千米/時，重新啟動后，車速很快提高到80千米/時，因此在這段時間內(nèi)很可能在修車、加油等(4)在出發(fā)后8時到10時之間騎自行車者可能回家吃飯、休息等騎自行車者在開始出發(fā)到出發(fā)后2小時時間段內(nèi)勻速運(yùn)動，車速為(千米/時)；在出發(fā)后6小時到8小時時間段內(nèi)勻速運(yùn)動，車速為(千米/時)；在出發(fā)后10小時到18小時時間段勻速運(yùn)動，車速為(千米/時)；在出發(fā)后22小時到24小時時間段內(nèi)勻速運(yùn)動，車速為(千米/時)【例32】從市場中了解到，飾用K金的含金量如下表：K數(shù)含金量(%)24K99以上22K91.