數(shù)學(xué)必修ⅰ北師大版2.1生活中的變量關(guān)系學(xué)案

1、1生活中的變量關(guān)系1常量與變量的區(qū)分在研究某一問(wèn)題的變化過(guò)程中，數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為常量，可以取不同數(shù)值的量稱(chēng)為變量談重點(diǎn) 正確理解常量與變量可結(jié)合生活中的實(shí)例，用辯證的觀(guān)點(diǎn)來(lái)理解常量與變量，常量是相對(duì)于某一過(guò)程或另一個(gè)變量而言的，絕對(duì)的常量是沒(méi)有的，因?yàn)槲镔|(zhì)的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，所以物動(dòng)則變?cè)谖覀兊纳钪腥菀渍页霰姸嗟膶?shí)例，如：(1)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中，速度是常量，時(shí)間和路程均為變量，但在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，絕對(duì)的勻速是沒(méi)有的，因?yàn)槿笋{駛汽車(chē)在行駛過(guò)程中，不可避免地要進(jìn)行加速、減速或剎車(chē)等操作(2)電影院里，對(duì)某一場(chǎng)次和座位類(lèi)別而言，票價(jià)是常量，而售票張數(shù)和收入均為變量但相對(duì)于某個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間的

2、間隔而言，由于演出的內(nèi)容、種類(lèi)、檔次的不同，其票價(jià)仍是一個(gè)變量由此可以看出，常量具有相對(duì)性，而變量是永恒的，是大量存在的【例1】一輛汽車(chē)由南京駛往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/時(shí)，則汽車(chē)距上海的路程s(千米)與行駛時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系是s300100t，在這里，常量是_，變量是_解析：判斷常量與變量的關(guān)鍵是看它是否發(fā)生了變化，在這里，常量是南京與上海的距離300千米和汽車(chē)行駛的平均速度100千米/時(shí)，變量是汽車(chē)在行駛過(guò)程中距上海的路程s和行駛時(shí)間t.答案：300，100s，t2生活中的變量關(guān)系及判斷生活中的兩個(gè)變量之間可能具有依賴(lài)關(guān)系，也可能不具有依賴(lài)關(guān)系，具有依賴(lài)關(guān)系的兩個(gè)變

3、量可能是函數(shù)關(guān)系，也可能是非函數(shù)關(guān)系(1)依賴(lài)關(guān)系：在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生變化，那么就稱(chēng)這兩個(gè)變量具有依賴(lài)關(guān)系特別地，如果對(duì)于其中一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間有函數(shù)關(guān)系(2)非依賴(lài)關(guān)系：在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值不會(huì)發(fā)生任何變化，那么就稱(chēng)這兩個(gè)變量具有非依賴(lài)關(guān)系(3)依賴(lài)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴(lài)關(guān)系，具有依賴(lài)關(guān)系的兩個(gè)變量有的是函數(shù)關(guān)系，有的不是函數(shù)關(guān)系因此說(shuō)依賴(lài)關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系一定是依賴(lài)關(guān)系例如，

4、積雪層對(duì)越冬作物具有防凍保暖作用，大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā)，又可阻止外界冷空氣的侵入，具有增墑肥田作用所以下雪與來(lái)年的豐收具有依賴(lài)關(guān)系又因?yàn)樽魑锏呢S收還受其他因素的影響，如天氣、施肥量等，所以下雪與來(lái)年的豐收不具有函數(shù)關(guān)系破疑點(diǎn) 判斷兩個(gè)有依賴(lài)關(guān)系的變量之間是否是函數(shù)關(guān)系的步驟確定因變量和自變量；判斷對(duì)于自變量的每一個(gè)取值，是否都有唯一的因變量與之對(duì)應(yīng)若滿(mǎn)足這個(gè)條件則是函數(shù)關(guān)系，否則不是這里要特別注意的是，滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系的自變量對(duì)因變量，可以一對(duì)一，也可以多對(duì)一，但不可以一對(duì)多【例2】下列過(guò)程中，各變量之間是否存在依賴(lài)關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并

5、將一溫度計(jì)放入茶杯中，每隔一段時(shí)間，觀(guān)察溫度計(jì)示數(shù)的變化冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)的關(guān)系；(2)做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體下落的距離與時(shí)間的關(guān)系；(3)商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)之間的關(guān)系；(4)家庭的食品支出與電視價(jià)格之間的關(guān)系；(5)在高速公路上行駛的汽車(chē)所走的路程與時(shí)間的關(guān)系分析：兩個(gè)變量中的一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，根據(jù)另一個(gè)變量是否發(fā)生變化來(lái)確定依賴(lài)關(guān)系；根據(jù)另一個(gè)變量發(fā)生變化且取值唯一來(lái)確定函數(shù)關(guān)系解：(1)溫度計(jì)示數(shù)隨冷卻時(shí)間的變化而變化，所以冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)存在著依賴(lài)關(guān)系又因?yàn)閷?duì)于冷卻時(shí)間的每一個(gè)取值，都有唯一的溫度計(jì)示數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以，溫度計(jì)示數(shù)是冷卻時(shí)間的函數(shù)；(2)科學(xué)家通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，做自由

6、落體運(yùn)動(dòng)的物體下落的距離(h)與時(shí)間(t)具有關(guān)系，其中g(shù)是常量，很顯然，對(duì)于時(shí)間t在其變化范圍內(nèi)的每一個(gè)取值，都有唯一的下落距離h與之對(duì)應(yīng)，故這兩個(gè)變量存在依賴(lài)關(guān)系，且距離是時(shí)間的函數(shù)；(3)商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)這兩個(gè)變量在現(xiàn)實(shí)生活中存在依賴(lài)關(guān)系，但商品的銷(xiāo)售額還受其他因素的影響，比如產(chǎn)品的質(zhì)量、價(jià)格、售后服務(wù)等，所以商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)之間不是函數(shù)關(guān)系；(4)家庭的食品支出與電視價(jià)格之間不存在依賴(lài)關(guān)系；(5)在高速公路上行駛的汽車(chē)所走路程(因變量)隨時(shí)間(自變量)的變化而變化，所以它們之間存在著依賴(lài)關(guān)系，且路程是時(shí)間的函數(shù)綜上可知，(1)(2)(5)中的變量間存在依賴(lài)關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(

7、3)中變量間存在依賴(lài)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；(4)中兩個(gè)變量間不存在依賴(lài)關(guān)系解技巧 如何判斷兩個(gè)變量之間是否存在依賴(lài)關(guān)系判斷兩個(gè)變量之間是否存在依賴(lài)關(guān)系，只需看一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量是否會(huì)隨之變化；判斷兩個(gè)具有依賴(lài)關(guān)系的變量是否是函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看二者之間的關(guān)系是否具有確定性，即驗(yàn)證對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量是否都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)3生活中變量關(guān)系的表示(1)通過(guò)圖像反映兩變量之間的關(guān)系用圖像反映兩變量間的關(guān)系是一種常用的表示兩變量關(guān)系的方式在解此類(lèi)題時(shí)要能從圖中找到兩個(gè)變量，并能判斷它們之間的相互依賴(lài)關(guān)系是如何變化的例如：如圖所示為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，根據(jù)圖像回答

8、下列問(wèn)題：上午8時(shí)的氣溫約是多少？全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？大約在什么時(shí)刻，氣溫為0 ？大約在什么時(shí)刻內(nèi)，氣溫在0 以上？?jī)蓚€(gè)變量有什么特點(diǎn)？它們具有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？此題是一個(gè)通過(guò)圖像來(lái)反映兩變量關(guān)系的問(wèn)題，所以回答問(wèn)題時(shí)應(yīng)充分利用圖像所反映出的關(guān)系上午8時(shí)氣溫約是0 ，全天最高氣溫大約是9 ，在14時(shí)達(dá)到全天最低氣溫大約是2 ，在4時(shí)達(dá)到大約在8時(shí)和22時(shí)，氣溫為0 .在8時(shí)到22時(shí)之間，氣溫在0 以上由圖像可知隨著時(shí)間的增加氣溫先降再升后降對(duì)于時(shí)間t的每個(gè)取值，都有唯一的氣溫Q與之對(duì)應(yīng)，所以氣溫Q是時(shí)間t的函數(shù)；而對(duì)于氣溫Q的一個(gè)值可能有兩個(gè)時(shí)間t和它對(duì)應(yīng)，所以時(shí)間t不是氣溫Q的

9、函數(shù)(2)通過(guò)表格反映兩變量之間的關(guān)系兩變量之間的關(guān)系，體現(xiàn)在表格中就是要求我們能從表格中找到因變量和自變量，并能判斷因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而說(shuō)明因變量如何隨自變量的變化而變化例如：口香糖的生產(chǎn)已有很長(zhǎng)的歷史，咀嚼口香糖有很多益處，但其殘留物也會(huì)帶來(lái)污染，為了研究口香糖的黏附力與溫度的關(guān)系，一位同學(xué)通過(guò)實(shí)驗(yàn)，測(cè)定了在不同溫度下除去糖分的口香糖與瓷磚地面的黏附力，得到了如下表所示的一組數(shù)據(jù)：請(qǐng)回答下列問(wèn)題：請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制出口香糖黏附力F隨溫度t變化的圖像根據(jù)上述數(shù)據(jù)以及得到的圖像，你得到怎樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)論？根據(jù)表中數(shù)據(jù)的范圍繪制出F隨t變化的圖像如右圖，于是可得實(shí)驗(yàn)結(jié)論：隨著溫度的升

10、高，口香糖的黏附力先增大后減小；當(dāng)溫度在約37 時(shí)，口香糖的黏附力最大；當(dāng)溫度在50 時(shí)，黏附力最小所以可通過(guò)加熱的辦法除去磁磚上的口香糖殘留物【例31】如圖1是一輛汽車(chē)的速度隨時(shí)間而變化的示意圖圖1(1)汽車(chē)從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？它的最高時(shí)速是多少？(2)汽車(chē)在哪些時(shí)間段保持勻速行駛？時(shí)速分別是多少？(3)出發(fā)后8分到10分之間可能發(fā)生了什么情況？(4)如果縱軸換成路程s(千米)，橫軸表示時(shí)間t(時(shí))，如圖2是一個(gè)騎自行車(chē)者離家距離與時(shí)間的關(guān)系圖像在出發(fā)后8時(shí)到10時(shí)之間可能發(fā)生了什么情況？騎自行車(chē)者在哪些時(shí)間段保持勻速運(yùn)動(dòng)？速度分別是多少？圖2分析：解用圖像反映兩變量之間關(guān)系的題

11、目的關(guān)鍵是識(shí)圖，弄清兩個(gè)變量之間的關(guān)系解：(1)汽車(chē)從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過(guò)了24分鐘，它的最高時(shí)速是80千米/時(shí)(2)汽車(chē)在出發(fā)后2分鐘到6分鐘，18分鐘到22分鐘均保持勻速行駛，時(shí)速分別為30千米/時(shí)和80千米/時(shí)(3)出發(fā)后8分到10分之間汽車(chē)速度為0千米/時(shí)，重新啟動(dòng)后，車(chē)速很快提高到80千米/時(shí)，因此在這段時(shí)間內(nèi)很可能在修車(chē)、加油等(4)在出發(fā)后8時(shí)到10時(shí)之間騎自行車(chē)者可能回家吃飯、休息等騎自行車(chē)者在開(kāi)始出發(fā)到出發(fā)后2小時(shí)時(shí)間段內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng)，車(chē)速為(千米/時(shí))；在出發(fā)后6小時(shí)到8小時(shí)時(shí)間段內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng)，車(chē)速為(千米/時(shí))；在出發(fā)后10小時(shí)到18小時(shí)時(shí)間段勻速運(yùn)動(dòng)，車(chē)速為(千米/時(shí))；在出發(fā)后22小時(shí)到24小時(shí)時(shí)間段內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng)，車(chē)速為(千米/時(shí))【例32】從市場(chǎng)中了解到，飾用K金的含金量如下表：K數(shù)含金量(%)24K99以上22K91.