數學：2.1《參數方程的概念-曲線的參數方程》教案（1）（新人教選修4-4）

1、曲線的參數方程教學目標1通過圓及彈道曲線的參數方程的建立，使學生理解參數方程的概念，初步掌握求曲線的參數方程的思路2通過彈道曲線的參數方程的建立及選取不同參數建立圓的參數方程，培養(yǎng)學生探索發(fā)現能力以及解決實際問題的能力3從彈道曲線的方程的建立,對學生進行數學的返璞歸真教育,使學生體會數學來源于實踐的真諦,幫助學生樹立空間和時間是運動物體的形式這一辯證唯物主義觀點教學重點與難點曲線參數方程的探求及其有關概念是本節(jié)課的重點;難點是彈道曲線參數方程的建立教學過程師:滿足什么條件時,一個方程才能稱作曲線的方程,而這條曲線才能夠稱作方程的曲線?生:1.必須同時滿足兩個條件：（）曲線上任一點的坐標都是這個

2、方程的解；（）同時以這個方程的第一組解作為坐標的點都在曲線上那么，這個方程就稱作曲線的方程，而這條曲線就稱作這個方程的曲線師：請寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程，并說明求解方法(師板書O:)師：求圓的方程事實上是探求圓上任一點（x,y）的橫、縱坐標之間的關系式.能用別的方法來探x、y之間的關系嗎？生：師：（誘導一下）不用剛才的方法給我們直接求x、y的關系帶來了困難，能否考慮用間接的方法來求？即在x、y之間是否能建立一座橋梁，使之聯系起來？（計算機演示動畫，如圖）師：驅使運動的因素是什么？生：旋轉角.師：當我們把x軸作為角始邊，并使繞點逆時針旋轉，請考慮在什么范圍內取值就可以形成整個圓了？生：

3、師：至此x、y之間的關系已通過聯系起來了，誰能具體地說說它們之間的關系？生3：    （c0,2,為變量，r為常數）（生敘述，師板書）師：式是的方程嗎？生：式是的方程.師：請說明理由.生：（生敘述，師板書）（）任取上一點，總存在 ，由三角函數定義知 ，顯然滿足方程；（）任取,由得即M（）所以所以在上.由（）、（）知是的方程.師：既然是的方程，那么它應該和是一致的，兩者能統(tǒng)一起來嗎？生：能，消去即可師：這里，我們從另一個角度重新審視了圓，通過第三個變量把圓上任意一點的橫、縱坐標x、y聯系了起來，獲得了圓的方程的另一種形式.通過間接的方法把某兩個變量聯系起來的例子不僅

4、幾何中有，在生產實踐、軍事技術、工程建設中也有.特別在兩個變量之間的直接關系不易建立時，常用間接的方法將它們聯系起來.請同學們再看一個例子.炮兵在射擊目標時，需要考慮炮彈的飛行軌跡、射程等等.現在，我們假設一個炮兵射擊目標，炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射的初速度為.請同學們幫他求出彈道曲線的方程。（不計空氣阻力）師：同學們是否知道炮彈飛行軌跡的形狀？請同學們大概地畫一下.（師從同學們畫出的圖形中，選出一種畫在黑板上，如圖.）師：一般同學們都知道是軌物線的一段.現在的問題就是怎樣求彈道曲線的方程（即點的軌跡方程），請思考求點的軌跡方程的首要工作是什么？生：建系.師：怎樣建系？（請同學們自行建系）（師將同學

5、們種不同的建系方式依樣畫在黑板上或用投影儀直接打出。如圖（）、（）、（）、（）師：怎樣建系由我們自己決定，然而我們總希望建立的坐標系較合乎常理，且使問題的求解方便一些，方程簡單一些.現在請同學們從上述種建系方式中選擇較恰當的一種.生：（較一致地否定了（）、（），對（）、（）眾說紛紜.）師：（引導學生作常規(guī)分析）炮彈飛行與時間t有關，當t=0時，炮彈還在炮口位置，它是炮彈飛行的初始位置（起始點），這個起始點放在坐標系的什么位置才較好地合乎常理呢？生：放在原點位置，即取炮口為原點，水平方向為x軸，建立直角坐標系，因此選圖（）.師：坐標系建立起來了，接著該做什么了呢？生：設標，設炮彈發(fā)射后的位置為（

6、x，y）.師：下面該進行哪一步了？生：列式.師：怎么列？x與y之間的直接關系明顯嗎？生：不明顯.師：那么怎樣把x、y之間的關系聯系起來呢？生：像剛才用第三變量表示圓上任一點的坐標x、y之間的關系一樣，通過間接的辦法把x、y聯系起來.師：很好！那么這里的第三變量是什么呢？它又能怎樣把x、y聯系起來呢？生：剛才圓上點是依賴于角的運動而運動的，第三變量就選擇了，我想這里要把x、y之間的關系建立起來，也要分析一下炮彈的運動方式，看看炮彈的位置是依賴于哪個量的變化而變化的.師：非常好！讓我們一起來分析炮彈的運動方式.這里，炮彈的運動實際上是物理學中的斜拋運動.炮彈在水平方向作勻速直線運動，在豎直方向上作

7、豎直上拋運動（由于受重力作用，炮彈作初速度不為零的勻速直線運動）. 顯然在x、y分別是炮彈飛行過程中的水平位移和豎直位移（豎直高度），因此“怎樣列式”事實上是解決如何刻畫水平位移和豎直位移的問題.故應考慮運動物體的位移與哪些量有關.生：和速度、時間有關.師：這里既有水平位移，又有豎直位移，那么在水平方向的初速度和豎直方向的初速度分別是多少？生：（如圖）在水平方向的初速度是0cos,在豎直方向的初速度是0cos.（生口述，師標在圖上）師：時間有嗎？生：沒有.師：怎么辦？生：設出來，設為t.師：現在能分別求x和y了嗎？生：能！師：能對豎直方向上的位移作一解釋嗎？生：在豎直方向上，炮彈作豎直上拋運動

8、，即炮彈受重力的作用作初速度不為零的勻減速直線運動.所以師：這里我們把水平位移和豎直位移都用時間t表示出來了，即把x、y都表示成了t的函數，t是否應該有一個確定的范圍？生：有，令y=0，故0t師：當時，炮彈運動到什么位置了？生：剛落地.師：不錯！是炮彈的落地時刻，為書寫方便，我們記,則： (0tT)  師：（挑戰(zhàn)性的）這個方程組表示的是彈道曲線的方程嗎？生：是.師：誰能簡要地作一下說明？生：顯然，任給軌跡上一點,由方程組的建立過程知其坐標x0、y適合方程組；反之當t在內任取某一個值時，由方程組就可確定當時炮彈所在位置（即表示炮彈的點在曲線上）.故就是炮彈飛行的軌跡方程.師：很好！前面

9、我們舉了兩個例子，這兩個方程組有一個共同的特點，就是曲線上的點的坐標之間的關系不是直接的，而是通過第三個變量間接地聯系起來的.例1中旋轉角參與了方程組的建立，且x、y都是的函數；例2中時間t參與了方程組的建立，且x、y都是t的函數.這些特點是以前建立的直接反映x、y關系的方程所不具備的，它和我們以前所熟悉的曲線的方程表達形式是不一樣的，誰能給這樣的曲線方程起個名字嗎？生：參數方程.（師隨即寫出課題參數方程，指出聯系x、y之間關系的變數叫做參變數，簡稱參數.）師：例中我們看到圓上任意一點的坐標x、y，都是參數的函數，且對于內的任意一個值，由所確定的點（x、y）都在圓上；例中，我們看到炮彈的任意一

10、個位置，即軌跡上任一點的坐標x、y都是t的函數，且對于任一個t的允許值，由確定的點（x、y）都在軌跡上.這樣的方程我們剛才稱它為參數方程，誰能通過剛才的例子，歸納出一般曲線的參數方程的定義？生：（定義）在給定的坐標系中，如果曲線上任一點的坐標x、y都是某個變數t的函數且對于t的每一個允許值，由所確定的點（x、y）都在這條曲線上，則就叫做這條曲線的參數方程，t稱作參變數，簡稱參數.（生途述，師板書）師：相對于參數方程來說，以前的方程是有所不同的（顯得那樣的普通）.為了區(qū)別起見，我們把以前學過的方程稱作曲線的普遍方程.師：從上面兩個例子看出，參數可以有明確的幾何意義（例子中的旋轉角，主何的也可以有

11、顯的物理意義（例中的時間t物理的.）事實上，除此之外，還可以是沒有明顯意義的變數，即使是同一條曲線，也可以用不同的變數作參數.請同學們考慮，在例中還可以用什么變數作參數？生：設弧長l為參數，由于l=r，故=lr，所以(l是參數，0l2r)（生敘述，師板書）師：還可以用別的變數作參數嗎？生：師：（點撥一下）前面我們用旋轉角作為參數，可以用什么表示？生：明白了，可設的角速度為，運動所用時間為t，旋轉角為，則=t.所以(t為參數，t.（生敘述，師板書）師：曲線參數方程的建立，不但能使曲線上點的坐標較容易通過參數聯系起來，同時某些情況下還可較好地反映變數的實際意義，如例中，x 表示炮彈飛行的

12、水平位移，y表示炮彈飛行的豎直高度.能求出炮彈的最大水平射程和相應的最大豎直高度嗎？生：能！師：請一位同學具體說說.生：上面曾求得炮彈落地時刻t=20sin g,當t=20sin g時，x=v0cos·g 2v02sin g=v02sin2 g,當= 2,即= 時，x最大=02  g.此時，即當= 4,t=0sin g時，y最大=0sin·0sin g-12gv02sin2 g2= v02sin2 2g=v02(2 2)2 2g=v02  4g.（生敘述，師板書）師：今天這節(jié)課上，通過兩個具體問題的研究，我們自行給出了參數方程的定義（口述），并且明確了參

13、數的意義（結合例題口述），初步掌握了求曲線參數方程的思路.通過彈道曲線參數方程的探求，使我們體會到了數學源于實踐，又服務于實踐的真諦，培養(yǎng)了我們善于思考，勇于探索的精神.今天的作業(yè)第頁第題.設計說明未來社會對人才素質的要求越來越高.高素質人才的培養(yǎng)對學校教育提出了更高的要求.由于人的素質是多方面的，因此課堂教學的目的不但要向學生傳授科學知識，而且還要努力發(fā)展學生的思維，提高學生的能力，培養(yǎng)學生的個性品質.顯然這種多元化的教學目標對于全面提高學生的素質有著重要的作用.本節(jié)課的3個教學目標正是據于這樣的思考而制定的.這節(jié)課按如下個步驟逐漸展開：（）圓的參數方程；（）彈道曲線的參數方程；請學生幫助炮

14、兵求彈道曲線的方程；讓學生由熟悉的感知事實得抽象的幾何圖形；選擇原點，恰當建系；分析炮彈運動方式，恰當選擇參數；建立方程，檢驗二性（純粹性，完備性）；（3）參數方程的一般定義；（）兩個例子的進一步研究（兼作例題）；（）課堂小結；（）布置作業(yè).主要據于如下理由：相對于彈道曲線來說，學生對圓感到既熟悉，又簡單.從簡單而又熟悉的圓開始研究，符合循序漸進的原則，縮短了學生思維的“跨度/加快了學生思維的步伐，為學生利用類比的方法，進一步研究彈道曲線的方程（參數方程），提供了可參照的“樣本”.這對于發(fā)展學生的思維品質，培養(yǎng)學生的合情推理能力都是十分有益的.在探求彈道曲線的參數方程中，如果按教材中直接取炮口

15、為原點，水平方向為x軸，建立直角坐標系，并直接由物理學中的勻速直線運動和豎直上拋運動的位移公式得參數方程（t為參數），那么，（）中的、步均可省略.這種直接地把知識和盤托出的教法（其實是“奉送”）確能使課堂上節(jié)約不少時間，然而對于激發(fā)學生數學的應用意義，發(fā)揮學生的主體參與，揭示知識的形成過程，誘發(fā)學生探索、發(fā)現新知識都起不到任何作用.這里插入步驟、，則充分調動了主體的積極性，各類學生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整個知識的形成過程，猶如“歷史在戲劇中的重演”，而學生正是這一“歷史劇”中的演員，教師則是導演.同時，學生還能從中品味發(fā)現新知識的樂趣，體會知識的應用價值.常此以往，堅持不懈，學生的素質必將得到極大的提高.通過圓及彈道曲線的參數方程的特點分析，讓學生自行給分類方程命名，這種把命名權交給學生的做法極大地尊重了學生的主體地位，強化了學生的主體意識.在此基礎上，引導學生給出曲線參數方程的一般定義.旨在培養(yǎng)學生由具體到抽象的推理能力.第（）步中，將兩個例子作了進一步研究.通過對圓的參數方程的不