例說圓錐曲線中證明直線過定點(diǎn)的問題

1、對(duì)圓錐曲線中證明（求）直線過定點(diǎn)的問題探討漆紹杰在圓錐曲線中直線與圓錐曲線相結(jié)合的問題是較為復(fù)雜的問題，其中有一類問題是證明（求）直線過一定點(diǎn)，對(duì)于這一類問題如何去思考呢？它們的共同的解題思路是怎樣的 呢？下面讓我們一起來(lái)探討一下。既然直線過一定點(diǎn)，說明此直線的斜率是不定的，這使我們聯(lián)想到過定點(diǎn)的直線系方 程，過一定點(diǎn)P（xo，y°）的直線系方程可以寫成的 y y° k（x x°），那么我們先可寫出 直線的方程，再根據(jù)方程判斷直線過哪一個(gè)定點(diǎn)。下面通過具體例子來(lái)說明。例1已知拋物線y2 2px（p 0）上有兩動(dòng)點(diǎn)A,B及一個(gè)定點(diǎn)M（Xo,y。），F(xiàn)為 拋物線的焦點(diǎn)

2、，且I AF 1,1 MF 1,1 BF I成等差數(shù)列。（1 ）求證線段AB的垂直 平分線經(jīng)過一定點(diǎn) Q（xo p,0） ； （2）若1 MF I 4 ,I OQ I 6 （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）， 求此拋物線的方程。分析：(1 )設(shè) A(X1, yd B(X2, y2),''- I AF IX1 X2,I MF I,I BF I成等差數(shù)列，xo，由此可設(shè)弦 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為結(jié)合定義得x-iP2X2衛(wèi)22(Xo子）(xo,b)。y122y22p(X1X2)kABy1y2套°p ,弦AB的X1X2y1y2 b中垂線方程為：by b(xxo)yb(xXop)，故弦AB的中垂線過

3、疋點(diǎn)（p Xo,o）。（2）Pp略。例2:在雙曲線y2122X131的一支上有不同的二點(diǎn)人仕,), B(.26,6), CXm)與焦點(diǎn)F（0,5）的距離成等差數(shù)列。（1）求y1 y2的值。（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng) 過一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：（1 ）vI AF I ,I BF I,I CF I成等差數(shù)列，則結(jié)合定義得(2)由此，可設(shè)弦AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x°,6)2X213kAC% y212(xi X2)12xo2xoXiX213(力y2)13 613弦AC的中垂線方程為:y 6132xo(X X0)13X2xo13213x2xo252故弦AB的中垂線過定點(diǎn)25(。2)。

4、例3 :過拋物線x2 y上的定點(diǎn)C(1,1)作兩條互相垂直的弦CA、CB ,求證直線AB過定點(diǎn)。22分析：設(shè)uu uuuOA OBA%, yj, B(X2, y2)，則 2pxy?2 px?uuu uuuOA ob o(X1 1)(X2 1) (y1 1)(y2 1)所以直線AB過定點(diǎn)(1,2)。(x11)(X21)(X"1)(x；1)0(X11)(X21)(X11)(X21)(X11)(X21)0(X11)(X21)(x1 X22)0因?yàn)辄c(diǎn)A、B與點(diǎn)C 不、重合,所.以(x11)(X21)0 故 X1 x2 20y22X12X2kABy1y2X1X2，直線AB 的方程為：X1X2y

5、1(為X2)(XX1)y(X1 X2)X2X1X1X2y1y(X1x2)x X：1X2y(X1 X2)XX-IX：2 2y2(X1X2)(X1)評(píng)析：直線方程雖然被我們“強(qiáng)行”寫了出來(lái)，但由此方程我們根本看不出直線過哪一定 點(diǎn)，為此我們要利用題中所給的其它條件對(duì)此“強(qiáng)行”寫出的直線方程進(jìn)行變形，才可以 達(dá)到我們的目的。例4: A,B是拋物線y2 2px (p 0)上的兩點(diǎn)，滿足 OA OB( O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求分析：(1 )設(shè) A(x1,y1), B(X2,y2)，則 yj又由UJU OAUJU OBULUOAUJUOB 0X1X2y2(2)2y12y22p(X1X2)Ky1K ABy2X1X

6、22pxi,目；2px2 (y2)2 4p2XM2 20X1X2 4p , y°24p2py y2（2）直線AB經(jīng)過一定點(diǎn)。證：（i）A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別是定值;直線AB的方程為y y12 P ,、2 p2 pX1(XX1 )y1y2yXy1y2y1y1y22p X y122 pmyy2p(x2p），故直線過定點(diǎn)(2p,0)。y1 y2y1 y2* y2評(píng)析：和上題一樣我們要利用題中所給的其它條件對(duì)此“強(qiáng)行”寫出的直線方程進(jìn)行變形,才可以達(dá)到我們的目的。例5 :設(shè)拋物線 寸 2pX （p 0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且 BC /

7、 X軸，證明直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)。分析：設(shè)A（X1,yJ, B（X2,y2），則C（號(hào)，y?），直線AC的方程為y *X X1% y2 衛(wèi) 2X1(y y1)(X1 子)®y2)(xX1)(y2 y1)X (X1y1X1 y2要證直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)，只需證（yy1)(X1 自 0號(hào) y1 X1 y222py1py1 y2y122p2嚴(yán)y22p2 p)尹評(píng)析：此處不是由方程直接看出直線經(jīng)過原點(diǎn),而是轉(zhuǎn)化為證常數(shù)項(xiàng)為0,這樣就避免了直接證帶來(lái)的困難。例6 :已知橢圓2C :X2a21(a b0)的離心率為仝且在X軸上的頂點(diǎn)分別為2A,（ 2,0） A2（2,0）。（1）求橢圓C的方程；（2

8、）若直線l ：X t （ t為大于2的一個(gè)定值）與x軸交于點(diǎn)T , P為I上的異于T的任意一點(diǎn)，直線 PAi, PA2分別與橢圓C交于兩點(diǎn)M,N，證明直線 MN經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。分析：（i）Qe C 3,a 2 c .3,b ia 22X o故橢圓C的方程為一 y i4(2)設(shè) M (xi, yj, N(Xi, y2),直線 AM的斜率為ki，則直線AM的方程為yki(x 2)y k(x2x42)消去 y 得(4ki2 i)x2i22i6ki x i6ki 40判別式16 0，解得Xiyi8ki24ki24ki2 ，4ki i所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8 k：4ki22 4kii '4ki2 i)，同理可設(shè)直線A2M的斜率為k2,則直線AM的方程為yk2 （x 2），所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（竺4k：2i ' 4k貪），由于直線AM 與直線a2m的交點(diǎn) P(t, yp)在直線1上，又yki (t2),ypk2 (t2)所以 ki (t2)k2(t2)kik2kik222t由兩點(diǎn)式得直線MN的方程為y yiy2yi，令y0得x I"2y y2x x X2 x44將代入得 x -，故直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（一 ,0）。tt評(píng)析：此題的計(jì)