2015年江蘇高考南通密卷二(南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題)

1、2015年高考模擬試卷(2)南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共160分）第4題圖 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1已知集合，且，則實數(shù)的值為 2設(shè)，其中是虛數(shù)單位，則 3已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，且，則 4右圖是某算法流程圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是 5設(shè)點(diǎn)，是球表面上的四個點(diǎn)，兩兩互相垂直，且，則球的表面積為 6已知，若向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為 7將參加夏令營的名學(xué)生編號為：，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為，這名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從到在第一營區(qū)，從到在第二營區(qū)，從到在第三營區(qū)，則第三個營區(qū)被抽中的人數(shù)為 8中，“角成等

2、差數(shù)列”是“”成立的的 條件 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9已知雙曲線，以右頂點(diǎn)為圓心，實半軸長為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長為的兩部分，則雙曲線的離心率為 10已知，則 11已知正數(shù)依次成等比數(shù)列，且公比將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列，則公比的取值集合是 DABC第12題圖12 如圖，梯形中，若，則 13設(shè)的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是 14設(shè)函數(shù)滿足，且當(dāng)時，若在區(qū)間內(nèi)，存在個不同的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明

3、過程或演算步驟.15（本小題滿分14分）在中， （1）求的值；（2）若，求的面積16（本小題滿分14分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是邊長為的菱形，在面中，為的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面交于點(diǎn) （1）求證：為中點(diǎn)；BCA1B1C1MNA第16題圖 （2）求證：平面平面17（本小題滿分14分）某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為的圓形包裝紙包裝要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)，如圖所示設(shè)正三棱錐的底面邊長為，體積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，的最大值是多少？并求此時的值(

4、第17題圖)圖18（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值；第18題圖（3）是否存在定圓，使得直線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，恒與該定圓相切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說明理由19（本小題滿分16分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且滿足， （1）若， 當(dāng)時，求數(shù)列和的通項公式； 若數(shù)列是唯一的，求的值； （2）若，均為正整數(shù)，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的公差的最大值20（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)有且僅有兩個極值點(diǎn)（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)滿足？如存在，求的極大值；如不存在，請說明理由第卷（附

5、加題，共40分）21選做題本題包括A、B、C、D四小題，每小題10分；請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 A（選修：幾何證明選講）ABDCEFO如圖，AD是BAC的平分線，圓O過點(diǎn)A且與邊BC相切于點(diǎn)D，與邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，求證：EFBCB（選修：矩陣與變換） 已知，求矩陣C（選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）求圓被直線所截得的弦長D（選修：不等式選講） 設(shè)正數(shù)滿足，求的最小值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.22（本小題滿分10分）直三棱柱中，已知，. 是的中點(diǎn). （1）求直線與平面所成角的正弦

6、值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.（本小題滿分10分）設(shè)且，集合的所有個元素的子集記為（1）求集合中所有元素之和；（2）記為中最小元素與最大元素之和，求的值2015年高考模擬試卷(2) 參考答案南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共160分）一、填空題1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8充分不必要；【解析】條件“角成等差數(shù)列”；結(jié)論 “” 或或所以條件是結(jié)論的充分不必要條件9； 10； 11；【解析】若刪去，則成等差數(shù)列，即，（舍去）或或（舍去）；若刪去，則成等差數(shù)列，即，（舍去）或或（舍去）或12；【解析】，13；【解析】由條件得，不妨設(shè)，則，即；同理得當(dāng)時，而，的取值范圍是

7、14【解析】，當(dāng)時，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，而表示的是該圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率圖象上的點(diǎn)與與原點(diǎn)的連線的斜率為；當(dāng)過原點(diǎn)的直線與曲線相切時，斜率為（利用導(dǎo)數(shù)解決）由圖可知，滿足題意得實數(shù)的取值范圍為二、解答題15（1）因為在中，所以為銳角，且 所以； （2）由正弦定理得，所以 因為在中，所以為鈍角，且 因為在中，所以 所以的面積為 16 (1)由題意，平面平面，平面與平面交于直線，與平面交于直線，所以 因為，所以，所以 因為為的中點(diǎn)，所以，所以為中點(diǎn) (2)因為四邊形是邊長為的菱形， 在三角形中，由余弦定理得， 故，從而可得，即 在三角形中，則，從而可得，即 又，則因為，面，面，所

8、以平面 又平面，所以平面平面 17正三棱錐展開如圖所示當(dāng)按照底邊包裝時體積最大 設(shè)正三棱錐側(cè)面的高為，高為 由題意得，解得則， 所以，正三棱錐體積 設(shè)， 求導(dǎo)得，令，得， 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 所以，當(dāng)時，取得極大值也是最大值 此時，所以 答：當(dāng)?shù)酌孢呴L為時，正三棱錐的最大體積為 18（1）由題設(shè)：解得，橢圓的方程為 （2）直線的斜率不存在或為0時，； 直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，則，直線的方程為， 由得， 同理， ，為定值； （3）由（2）得： 直線的斜率不存在或為0時，；直線的斜率存在且不為0時， 原點(diǎn)到直線的距離， 直線與圓相切，即存在定圓，使

9、得直線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，恒與該定圓相切 19（1）由數(shù)列是等差數(shù)列及，得， 由數(shù)列是等比數(shù)列及，得 設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，若，則有，解得 或 所以，和的通項公式為或 由題設(shè)，得，即（*）因為數(shù)列是唯一的，所以若，則，檢驗知，當(dāng)時，或（舍去），滿足題意；若，則，解得，代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比數(shù)列，符合題意 所以，或 （2）依題意， 設(shè)公比為，則有， （*） 記，則將（*）中的消去，整理得， 的大根為 而，所以 的可能取值為： 所以，當(dāng)時，的最大值為 20(1)顯然，是直線與曲線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 由，得列表： 此外注意到：當(dāng)時，；當(dāng)及時，的取值范圍分別為和于是題設(shè)等價于，故實數(shù)的

10、取值范圍為 (2)存在實數(shù)滿足題設(shè)證明如下：由(1)知，故，故 記，則，于是，在上單調(diào)遞減又，故有唯一的零點(diǎn)從而，滿足的所以， 此時，又，而，故當(dāng)時,.第卷（附加題，共40分）ABDCEFO21.A. 如圖，連結(jié)因為與圓相切，所以 因為與為弧所對的圓周角，所以又因為是的平分線，所以 從而于是 B設(shè) 則， 故C（1）圓是將圓繞極點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，所以圓的極坐標(biāo)方程是 （2）將代入圓的極坐標(biāo)方程，得， 所以，圓被直線所截得的弦長為 D. 因為均為正數(shù)，且，所以 于是由均值不等式可知 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立 從而故的最小值為此時 22在直三棱柱中，分別以、所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,是的中點(diǎn)， （1）， 設(shè)平面的法向量，則，即，取，平面的法向量， 而，直線與平面所成角的正弦值為； （2），設(shè)平面的法向量，則，即，取，