【2019-2020】中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)22勾股定理含解析

1、1 / 18 教學(xué)資料參考范本 【2019-2020】中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn) 22 勾股定理含解 析 2 / 18 一.選擇題（共 7 小題） 1. （ 2018?賓州）在直角三角形中，若勾為 3,股為 4,則弦為（ ） A. 5 B . 6 C . 7 D . 8 【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可. 【解答】解：T在直角三角形中，勾為 3,股為 4, 二弦為=5. :;- 故選：A. 2. （2018?棗莊）如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CDLAB 垂足 為D, AF 平分/ CAB 交 CD 于點(diǎn) E,交 CB 于點(diǎn) F.若 AC=3 AB=5 則 3 時(shí)間： _ 3

2、 / 18 CE 的長(zhǎng)為（ ） 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出/ CAF+/ CFA=90 , / FAD 丄 AED=90，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出/ CEF2 CFE 即 可得出EC=FC 再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案. 【解答】解：過(guò)點(diǎn) F 作 FGL AB 于點(diǎn) G, vZ ACB=90 , CDL AB, / CDA=90 , Z CAFZ CFA=90 , Z FADZ AED=90 , v AF 平分/ CAB / CAFW FAD / CFAW AEDM CEF CE=CF v AF 平分/ CAB / ACF2 AGF=90 , FC=FG vZ B=Z B,

3、/ FGBW ACB=90 , BFGA BAC v AC=3 AB=5 Z ACB=90 , A. B. C. D. 4 / 18 BC=4 v FC=FG =, 因回 解得：FC= 即 CE 的長(zhǎng)為. 故選：A. 1 3. （ 2018?瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理, 是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直 角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直 角邊長(zhǎng)為 a,較短直角邊長(zhǎng)為 b.若 ab=8,大正方形的面積為 25,則 小正方形的邊長(zhǎng)為（ ） 【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為： a-b,根據(jù)勾股定理 以及題目給出的

4、已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng). 【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為： a- b, T每一個(gè)直角三角形的面積為： ab= x 8=4, 二 4xab+ （a- b） 2=25, (a- b) 2=25- 16=9, 4 D . 5 / 18 a - b=3, 故選：D. 4. （ 2018?溫州）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角 三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到 一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如 圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若 a=3, b=4,貝卩該矩形的面積 為（ ）6 / 18 【分析】欲求矩形的面積，貝

5、 S 求出小正方形的邊長(zhǎng)即可，由此可設(shè)小 正方形的邊長(zhǎng)為 X,在直角三角形 ACB 中，利用勾股定理可建立關(guān)于 x 的方程，解方程求出 x 的值，進(jìn)而可求出該矩形的面積. 【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 X, T a=3, b=4, AB=3+4=7 在 Rt ABC 中，AC2+BC2二二AB2 即（3+X）2+ （x+4） 2=72, 整理得，x2+7x - 12=0, 該矩形的面積二二（+3） 解得 x二二或 x= （舍去） ， （+4） =24,7 / 18 8 / 18 5. （ 2018?婁底）如圖，由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的 面積是 169,小正方形的面積為 49,則

6、 sin a - cos a =（ ） 【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)，再利用勾股定理列式 求出AC 然后根據(jù)正弦和余弦的定義即可求 sin a和 cos a的值，進(jìn) 而可求出 sin a - cos a的值. 【解答】解：小正方形面積為 49,大正方形面積為 169, 二小正方形的邊長(zhǎng)是 7,大正方形的邊長(zhǎng)是 13, 在 Rt ABC 中，AC2+BC2二二AB2 即 AC2+（ 7+AC 2=132, 整理得，AC2+7AG 60=0, 解得 AC=5 AC二二-12 （舍去）， BC=12 因 D 9 / 18 Sin a - cos a =-=-, 二 sin a =, co

7、s a =, 10 / 18 6. （ 2018?長(zhǎng)沙）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作數(shù)書(shū)九章里 記載有這樣一道題：“問(wèn)有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜 十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角 形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為 5 里，12 里，13 里，問(wèn)這塊沙田面積有多大? 題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1 里=500 米，則該沙田的面積為 （ ） A. 7.5 平方千米 B . 15 平方千米 C. 75 平方千米 D. 750 平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得 出答案. 【解答】解：T 52+122=132 三條邊長(zhǎng)分別為 5 里

8、，12 里，13 里，構(gòu)成了直角三角形， 二這塊沙田面積為：X 5X 500X 12X 500=7500000 （平方米）=7.5 （平 方千米）. 故選：A. 7. （ 2018?東營(yíng)）如圖所示，圓柱的高 AB=3 底面直徑 BC=3 現(xiàn)在有 一只螞蟻想要從 A 處沿圓柱表面爬到對(duì)角 C 處捕食，則它爬行的最短 D. 1 兇 丨回兇 _ 11 / 18 【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線 段最短，然后利用勾股定理即可求解. 【解答】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如右圖所示，點(diǎn) A、C 的最短距 離為線段 AC 的長(zhǎng). 在 Rt ADC 中，/ ADC=90 , CD=A

9、B=3 AD 為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=1.5n, 所以 AC=兇 故選：C. 二.填空題（共 8 小題） 8（ 2018?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， A （4, 0）, B （0, 3）,以點(diǎn) A 為圓心， AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧， 交 x 軸的負(fù)半軸于點(diǎn) C,貝卩點(diǎn) C 坐標(biāo)為 （-1, 0） . 1 【分析】求出 OA OB 根據(jù)勾股定理求出 AB 即可得出 AC,求出 0C 長(zhǎng)即可. 【解答】解：T點(diǎn) A, B 的坐標(biāo)分別為（4 , 0）, （ 0 , 3）, OA=4 OB=312 / 18 在 Rt AOB 中，由勾股定理得: /. AC=AB=5 二 OC=5- 4=1, 點(diǎn) C

10、的坐標(biāo)為（-1, 0）, 故答案為：（-1, 0）, 9. （2018?玉林）如圖，在四邊形 ABCD 中，/ B二二/ D=90 ,Z A=60 , AB=4 則 AD 的取值范圍是 2v AD 8 . 【分析】如圖，延長(zhǎng) BC 交 AD 的延長(zhǎng)線于 E,作 BF 丄 AD 于 F.解直角 三角形求出 AE AF 即可判斷； 【解答】解：如圖，延長(zhǎng) BC 交 AD 的延長(zhǎng)線于 E,作 BF 丄 AD 于 F. 在 Rt ABE 中，T/ E=30 , AB=4 AE=2AB=8 在 Rt ABF 中，AF=AB=2 AD 的取值范圍為 2v AD 8, AB=5 岡 13 / 18 故答案為

11、 2vAD 1 解得：x=, AF=間 冋- 故答案為：.二 14. （ 2018?湘潭）九章算術(shù)是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一， 在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末 折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？ ”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示， ABC 中，/ ACB=90 , AC+AB=10BC=3 求 AC 的長(zhǎng)，如果設(shè) AC=x 則可列方程為 x2+32= （10-x） 2 . 18 / 18 【分析】設(shè) AC=x 可知 AB=10- x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論. 【解答】解：設(shè) AC=x / AC+AB=10 AB=10- x. 在 Rt ABC 中，/ ACB=9

12、0 , AC2+BC2=AB2 即 x2+32= (10- x) 2. 故答案為：x2+32= (10-x) 2. 15. （2018?黃岡） 如圖， 圓柱形玻璃杯高為 14cm 底面周長(zhǎng)為 32cm 在杯內(nèi)壁離杯底 5cm 的點(diǎn) B 處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外 壁，離杯上沿 3cm 與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A 處，則螞蟻從外壁 A 處到內(nèi)壁 B 處的最短距離為 20 cm （杯壁厚度不計(jì)）. 1 【分析】將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立 A 關(guān)于 EF 的對(duì)稱點(diǎn) A,根據(jù)兩點(diǎn)之 間線段最短可知 AB 的長(zhǎng)度即為所求. 【解答】解：如圖： 19 / 18 1 I 將杯子側(cè)面展開(kāi)，作 A 關(guān)于 EF 的對(duì)

13、稱點(diǎn)A , 連接A B,則 AB 即為最短距離，A B=20（ cm） . |討 因 故答案為 20. 三.解答題（共 2 小題） 16. （2018?杭州）如圖，在 ABC 中，/ ACB=90，以點(diǎn) B 為圓心， BC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段 AB 于點(diǎn) D;以點(diǎn) A 為圓心，AD 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧, 交線段AC 于點(diǎn) E,連結(jié) CD （1）若/ A=28 ,求/ ACD 勺度數(shù). (2)設(shè) BC=a AC=b 線段 AD 的長(zhǎng)是方程 x2+2ax - b2=0 的一個(gè)根嗎？說(shuō)明理由. 若 AD=EC 求的值.Q 1 【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ B,根據(jù)等腰三角形的性 質(zhì)求出/ B

14、CD 計(jì)算即可； (2)根據(jù)勾股定理求出 AD,利用求根公式解方程，比較即可； 根據(jù)勾股定理列出算式，計(jì)算即可. 20 / 18 【解答】解：(1)vZ ACB=90，/ A=28, :丄 B=62 , v BD=BC / BCDh BDC=59 , / ACD=90 -Z BCD=31 ; (2)由勾股定理得，AB= |兇 | HI AD=- a, |因 解方程 x2+2ax - b2=0 得，x= - a,兇 回 線段 AD 的長(zhǎng)是方程 x2+2ax -b2=0 的一個(gè)根； v AD=AE AE=EC= 由勾股定理得，a2+b2= (b+a) 2,21 / 18 整理得，二二.Pl1 17. （ 2018?臺(tái)灣）嘉嘉參加機(jī)器人設(shè)計(jì)活動(dòng)，需操控機(jī)器人在 5X5 的方格棋盤上從 A 點(diǎn)行走至 B 點(diǎn)，且每個(gè)小方格皆為正方形，主辦單 位規(guī)定了三條行走路徑 R1, R2, R3,其行經(jīng)位置如圖與表所示: 路徑 編號(hào) 圖例 行徑位置 第一條路徑 R AT CT DTB 第二條路徑 F2 AT ET DT FTB 第三條路徑 F3 AT GB 已知A B CD E、F、G