百度文庫小學數(shù)學奧數(shù)方法講義40講(一)

1、A thesis submitted toin partial fulfillment 第一講 觀察法姚老師數(shù)學樂園廣安岳池 姚文國在解答數(shù)學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首要步驟。小學數(shù)學教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學生智力的第一步。觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關系，把題目解答出來的一種解題方法。觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規(guī)律。*例1（適于一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數(shù)學第二冊，第11頁中的一道

2、思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時兒童已經(jīng)學過20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實質上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。解：現(xiàn)在通過觀察、思考，看小方格中應填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。從豎右列7+2+=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應填入9（圖1-3）。&

3、#160;            從正方形對角線上的9+6+=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應填入3（圖1-4）。從正方形對角線上的7+6+=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應填入5（圖1-4）。                從橫上行3+7=18（圖1-4）會想到

4、，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應填入8（圖1-5）。又從橫下行5+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應填入4（圖1-5）。圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。例2 看每一行的前三個數(shù)，想一想接下去應該填什么數(shù)。（適于二年級程度）6、16、26、_、_、_、_。9、18、27、_、_、_、_。80、73、66、_、_、_、_。解：觀察6、16、26這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大10。觀察9、18、27這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即

5、后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大9。觀察80、73、66這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)小7。這樣可得到本題的答案是：6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。例3 將19這九個數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適于三年級程度）解：仔細觀察圖中不等號及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個方框中的數(shù)小于周圍的四個數(shù)，看來在中心的方框中應填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框和不等號，只有左下角的那個方框中的數(shù)大于相鄰的兩個

6、方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個比一個大，而且方框中的數(shù)是按順時針方向排列越來越小。所以，在左下角的那個方框中應填9，在它右鄰的方框中應填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。          例4 從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角？（適于三年級程度）解：此題不少學生不加思考就回答：“一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角?！蔽覀冋J真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么剪？都是什么情況？（1）從一個角的頂點向對角的頂點

7、剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。（2）從一個角的頂點向對邊上任意一點剪去一個角，剩下四個角（圖1-9）。（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，               剩下五個角（圖1-10）。例5 甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著一個三位數(shù)。這個三位數(shù)的每個數(shù)字都相同，并且兩人中一個人看到的這個數(shù)比另一個人看到的這個數(shù)大一半，這個數(shù)是多少？（適于三年級程度）解：首先要確定這個三位數(shù)一定是用阿拉伯數(shù)字表示的，不然就沒法考慮了。甲看到的數(shù)

8、與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯數(shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個三位數(shù)在正看、倒看時，表示的數(shù)值不同，顯然這個三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。如果這個數(shù)是666，當其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數(shù)是666，也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個數(shù)的總和是多少？（適于三年級程度）解：這道題可以有多種解法，把五個數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計算起來容易出錯。

9、如果仔細觀察這五個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)是1966，第二個數(shù)比它大10，第三個數(shù)比它大20，第四個數(shù)比它大30，第五個數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：1966+1976+1986+1996+2006=1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100=9930這五個數(shù)還有另一個特點：中間的數(shù)是1986，第一個數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計算：1966

10、+1976+1986+1996+2006=1986×5=9930例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數(shù)嗎？（適于四年級程度）解：我們仔細觀察一下算式：400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，

11、目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個相同的數(shù)（零除外），商不變”。進行這種變化的好處就是當除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。（1）600÷25                  （2）900÷25=（600×4）÷（25×4）    

12、0;  =（900×4）÷（25×4）=600×4÷100                   =900×4÷100=24                  &

13、#160;           =36（3）1400÷25                  （4）1800÷25=（1400×4）÷（25×4）      =（1800×4）÷（25×4）=1400

14、×4÷100                  =1800×4÷100=56                          &

15、#160;   =72（5）7250÷25=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100=290*例8 把11000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數(shù)，這六個數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數(shù)，豎著兩個數(shù)）框出的六個數(shù)的和是837，這六個數(shù)都是多少？（適于五年級程度）解：（1）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：第二個數(shù)比第一個數(shù)大1，第三個數(shù)比第一個數(shù)大2，第四個數(shù)比第一個數(shù)大7，第五個數(shù)比第一個數(shù)大8，第六個數(shù)比第一個數(shù)大9。假定不知道這幾個數(shù)，而知道上面觀察的結果，以及框內(nèi)六個數(shù)的和是87

16、，要求出這幾個數(shù)，就要先求出六個數(shù)中的第一個數(shù)：（87-1-2-7-8-9）÷660÷6=10求出第一個數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。因為用同樣的方法框出的六個數(shù)之和是837，這六個數(shù)之中后面的五個數(shù)也一定分別比第一個數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個數(shù)中的第一個數(shù)是：（837-1-2-7-8-9）÷6810÷6=135第二個數(shù)是：135+1=136第三個數(shù)是：135+2=137第四個數(shù)是：135+7=142第五個數(shù)是：135+8=143第六個數(shù)是：135+9=144答略。（2）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：上、下兩數(shù)之差都是7；方框中間堅行的11和18，

17、分別是上橫行與下橫行三個數(shù)的中間數(shù)。11=（10+11+12）÷318=（17+18+19）÷3所以上橫行與下橫行兩個中間數(shù)的和是：87÷329由此可得，和是837的六個數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數(shù)的和是：837÷3279因為上、下兩個數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，則下面的數(shù)是x+7。x+（x+7）=2792x+7=2792x=279-7=272x=272÷2=136x+7=136+7=143因為上一橫行中間的數(shù)是136，所以，第一個數(shù)是：136-1=135第三個數(shù)是：135+2=137因為下一橫行中間的數(shù)是143，所以，第四個數(shù)是

18、：143-1=142第六個數(shù)是：142+2=144答略。*例9 有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點？（適于五年級程度）解：（1）鋸去一個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點后，增加了三個頂點，所以，8-1+3=10即鋸去一個頂點后還有10個頂點。              （2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9（個）（圖1-13）。（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8（

19、個）（圖1-14）。              （4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7（個）（圖1-15）。例10 將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖1-16），求這個物體的表面積S。（適于六年級程度）解：我們知道，底面半徑為，高為h的圓柱體的表面積是22+2h。           &

20、#160;       本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積。（2×1.52+2×1.5×1）+（2×1×1）

21、+（2×0.5×1）=（4.5+3）+2+=7.5+3=10.5=10.5×3.14=32.97（平方米）答略。*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級程度）解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側面。圖1-18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細。求表面積的方法1：3.14×45×2+600+120×3.14=3.14×90+3.14×120+600=

22、3.14×（90+120）+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）求表面積的方法2：=3.14×210+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）鑄件的體積：=3.14×225×4=3.14×900=2826（立方厘米）答略。第二講 嘗試法解應用題時，按照自己認為可能的想法，通過嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。一般來說，在嘗試時可以提出假設、猜想，無論是假設或猜想，都要目的明確，盡可能恰當、合理，都要知道在假設、猜想和嘗試過程中得到的結果是什么，從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。

23、例1 把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅列三個數(shù)相加都等于14。（適于一年級程度）解：七八歲的兒童，觀察、總結、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認識解此題的關鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個數(shù)之和等于14來確定，剩下的兩個數(shù)自然應填入左右兩格了。中間一格應填什么數(shù)呢？先看一個日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，這樣反復試探幾次

24、，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個數(shù)相加都得14”的要求來逐個嘗試。                          如果中間的格中填3，則豎列下面的一格應填多少呢？因為14-5-3=6，所以豎列下面的一格中應填6（圖2-2）。下面

25、就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7三個數(shù)加起來，得14，合乎題目要求。如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。例2 把1、2、311各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級程度）解：圖2-5中有11個格，正好每一格填寫一個數(shù)。圖2-6中寫有A、B、C的三個格中的三個數(shù)，既要參加橫向的運算，又要參加縱向的運算，就是說這三個數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個數(shù)是解此題的關鍵。     

26、;                因為111之中中間的三個數(shù)是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開始嘗試（圖2-7）。以6為中心嘗試，看6上、下兩個格中應填什么數(shù)。因為18-6=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應是12?？紤]6已是111之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應是111之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填

27、1（圖2-8）。6+11+1=18看圖2-8。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數(shù)是2（圖2-9）。再看圖2-8。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數(shù)是10（圖2-9）?，F(xiàn)在111之中只剩下3、4、8、9這四個數(shù)，圖2-9中也只剩下四個空格。在5的上、下，在7的上、下都應填什么數(shù)呢？                     因為18-5=13，

28、所以5上、下兩格中數(shù)字的和應是13，3、4、8、9這四個數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應填9與4（圖2-10）。看圖2-10。因為6左鄰的數(shù)是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因為18-7-8=3，并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應填上3。圖2-10是填完數(shù)字的圖形。*例3 在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級程度）解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。

29、再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4 在下面的15個8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號，使得下面的算式成立。（適于三年級程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986解：先找一個接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個8經(jīng)過怎樣的運算得出一個等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個8經(jīng)過怎樣的運算等于2。8÷8+8÷8=2。把

30、上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986例5 三個連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個數(shù)。（適于四年級程度）解：假設這三個數(shù)是2、3、4，則：2×3×4=2424120，這三個數(shù)不是2、3、4；假設這三個數(shù)是3、4、5，則：3×4×56060120，這三個數(shù)不是3、4、5；假設這三個數(shù)是4、5、6，則：4×5×6=1204、5、6的積正好是120，這三個數(shù)是4、5、6。例6 在下面式子里的適當位置上加上括號，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、3

31、5。（適于四年級程度）（1）7×9+12÷3-247（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35解：本題按原式的計算順序是先做第二級運算，再做第一級運算，即先做乘除法而后做加減法，結果是：7×9+12÷3-2=63+4-2=65“加上括號”的目的在于改變原來的計算順序。由于此題加中括號還是加小括號均未限制，因此解本題的關鍵在于加寫括號的位置?？梢詮募訉懸粋€小括號想起，然后再考慮加寫中括號。如：（1）7×7=49，再減2就是47。這里的

32、第一個數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號前的數(shù)，所以下面應考慮能否把9+12÷3通過加括號后改成得7的算式。經(jīng)過加括號，（9+12）÷3=7，因此：7×（9+12）÷3-2=47因為一個數(shù)乘以兩個數(shù)的商，可以用這個數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫成：7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個數(shù)，要減去的2是等號前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12÷3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7&

33、#215;9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個數(shù)，所以只要把3-2用小括號括起來，使7×9+12之和除以1，問題就可解決。由此得到：（7×9+12）÷（3-2）=75因為（3-2）的差是1，所以根據(jù)“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以先把兩個加數(shù)分別除以這個數(shù)，然后把兩個商相加”這一運算規(guī)則，上面的算式又可以寫成：7×9+12÷（3-2）=75在上面的這個算式中，本應在7×9的后面寫上“÷（3-2）”，因為任何數(shù)除以1等于這個數(shù)本身，為了適應題目的要求，不在7×9的后寫出“÷（3-2）”。（3）2

34、5-2=23，這個算式中，只有2是原算式等號前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因為7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號括起來，就得到題中所求了。（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35， 7是原算式中的第一個數(shù)，原算式中的 9+12÷3-2能否改寫成得5的算式呢？因為 7-2=5，要是9+12÷3能改寫成得7的算式就好了。經(jīng)改寫為（9+12）÷3=7，因此問題得到解決。題中要求的算式是：7×（9+12）&#

35、247;3-2=35*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級程度）解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計算，一共剪的天數(shù)是：112÷14=8（天）因為王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：12×5+20×（8-5）=120（只）120112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：12×

36、6+20×（8-6）=112（只）所以按李平剪6天計算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。*例8 一名學生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁的速度，需要4天讀完?，F(xiàn)在要使每天讀的頁數(shù)跟能讀完這本書的天數(shù)相等，每天應該讀多少頁？（適于五年級程度）解：解這道題的關鍵是要求出一本書的總頁數(shù)。因為每天讀的頁數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書的總頁數(shù)，又因為每天讀的頁數(shù)與讀完此書的天數(shù)相等，所以知道了總頁數(shù)就可以解題了。根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認為總頁數(shù)就是 80×5=400（頁）呢？不能。因為5天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天

37、讀80頁，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了80×4=320（頁），最多不會超過：90×4=360（頁）根據(jù)以上分析，可知這本書的頁數(shù)在321360頁之間。知道總頁數(shù)在這個范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321360之間。因為17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。答：每天應該讀18頁。*例9 一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適

38、于六年級程度）解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：99、98、97、9611、10以上兩位數(shù)分解后，它的質因數(shù)只能是2、3、5、7，并且在它的質因數(shù)分解中2的個數(shù)不超過5，3的個數(shù)不超過3，5的個數(shù)不超過2，7的個數(shù)不超過1。經(jīng)嘗試，99不符合要求，因為它有質因數(shù)11；98的分解式中有兩個7，也不符合要求；質數(shù)97當然更不會符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。*例10 從一個油罐里要稱出6千克油來，但現(xiàn)在只有兩個桶，一個能容4千克，另一個能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級程度）解

39、：這道題單靠計算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設法倒出9千克油中的3千克，為達到這一目的，我們應使小桶中正好有1千克油。怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時油罐外，只有大桶里有1千克油。（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒?jié)M油。（8）從大桶里往有1千克油的小

40、桶里倒油，倒?jié)M。（9）大桶里剩下6千克油。第三講 列舉法解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級程度）解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、6

41、8、69，共10個。10+10=20（個）答：在排頁碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3 9137=1001425=把+、-、×、÷四種運算符號分別填在適當?shù)膱A圈中（每種運算符號只能用一次），并在長方形中填上適當?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是

42、幾？（適于四年級程度）解：把+、-、×、÷四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。先看第一個式子：9137=100如果在兩個圓圈內(nèi)填上“÷”號，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分數(shù)；如果在兩個圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個圓圈內(nèi)不能同時填“÷”號，也不能同時填“+”、“-”號。要是在等式的一個圓圈中填入“×”號，另一個圓圈中填入適當?shù)姆柧腿菀资沟仁接叶说贸?00。9×13-7=117-7=110，未湊

43、出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“×”號，就會湊出100了。9+13×7=100再看第二個式子：1425=上面已經(jīng)用過四個運算符號中的兩個，只剩下“÷”號和“-”號了。如果在第一個圓圈內(nèi)填上“÷”號， 14÷2得到整數(shù)，所以：14÷2-5=2即長方形中的數(shù)是2。*例4   印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁？（適于四年級程度）解：（1）數(shù)碼一共有10個：0、1、28、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為99

44、-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2×90=180（個）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個）（4）因為頁碼是三位數(shù)的頁，每頁用3個數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。1701÷3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）答略。*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級程度）解：要知道哪種方法所圍成

45、的面積最大，應將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應舍去。前三種圍法的長方形面積分別是：35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）答：當長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)

46、、兩位數(shù)、三位數(shù)。請將其中的質數(shù)都寫出來。（適于五年級程度）解：任意抽一張，可得到三個一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質數(shù)；三張卡片可排列成六個不同的三位數(shù)，但每個三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質數(shù)。綜上所說，所能得到的質數(shù)是2、3、13、23、31，共五個。*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個

47、糧站里，如果每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少（圖3-3）？（適于五年級程度）解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。（1）如果運到3號糧站，所用運費是：0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果運到4號糧站，所用運費是：0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30

48、×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700（元）（3）如果運到5號糧站，所用費用是：0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300=800（元）800700600答：集中到第三號糧站所用運費最少。*例8 小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達出來。（適于五年級程度）解：（1）只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+

49、1+1+1=1（角）全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）拿1枚1分，2枚2分，1枚5分

50、的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10種拿法。*例9 甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？（適于五年級程度）解：作表3-2。表3-2 甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格里都打上；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上；丁與甲賽的那一盤也打上。丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格

51、中都畫上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強賽了2盤。*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級程度）解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11 運輸隊有30輛汽車，按130的編號順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走？最后開走的是第幾號車？（適于五年級程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-

52、4從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號、16號、24號車。按題意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。*例12 在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級程度）解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38

53、=16（袋）；第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運走后，兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數(shù)的差，除以每次運出的袋數(shù)差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。（90-50）÷（12-4）=5（次）答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時，三組的人

54、數(shù)一樣多。問原來各組有多少個小朋友？（適于五年級程度）解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數(shù)相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時，第一組應是24÷2=12（人），第三組應是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應為36÷2=18（人），第二組應為（24+18）=42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應為42÷2=21（人），第一組人數(shù)應為12+21=33（人），第三

55、組應為18人。這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、 18人第四講 綜合法從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。 以綜合法解應用題時，先選擇兩個已知數(shù)量，并通過這兩個已知數(shù)量解出一個問題，然后將這個解出的問題作為一個新的已知條件，與其它已知條件配合，再解出一個問題一直到解出應用題所求解的未知數(shù)量。運用綜合法解應用題時，應明確通過兩個已知條件可以解決什么問題，然后才能從已知逐步推到未知，使問題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數(shù)量關

56、系比較簡單的應用題。例1 甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠，4天完成任務。甲隊每天挖40米，乙隊每天挖多少米？（適于三年級程度）解：根據(jù)“甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠”和“4天完成任務”這兩個已知條件，可以求出甲乙兩隊每天共挖水渠多少米（圖4-1）。300÷4=75（米）根據(jù)“甲、乙兩隊每天共挖水渠75米”和“甲隊每天挖40米”這兩個條件，可以求出乙隊每天挖多少米（圖4-1）。75-40=35（米）綜合算式：300÷4-40=75-40=35（米）答：乙隊每天挖35米。例2 兩個工人排一本39500字的書稿。甲每小時排3500字，乙每小時排3

57、000字，兩人合排5小時后，還有多少字沒有排？（適于四年級程度）解：根據(jù)甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，可求出兩人每小時排多少字（圖4-2）。3500+3000=6500（字）根據(jù)兩個人每小時排6500字，兩人合排5小時，可求出兩人5小時已排多少字（圖4-2）。6500×5=32500（字）根據(jù)書稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒有排（圖4-2）。39500-32500=7000（字）綜合算式：39500-（3500+3000）×5=39500-6500×5=39500-32500=7000（字）答略。例3 客車、貨車同時由甲、

58、乙兩地出發(fā)，相向而行。客車每小時行60千米，貨車每小時行40千米，5小時后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級程度）解：根據(jù)“客車每小時行60千米”和“貨車每小時行40千米”這兩個條件，可求出兩車一小時共行多少千米（圖4-3）。60+40=100（千米）根據(jù)“兩車一小時共行100千米”和兩車5小時后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米（圖4-3）。100×5=500（千米）綜合算式：（60+40）×5=100×5=500（千米）答：甲、乙兩地間的路程是500千米。例4 一個服裝廠計劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天

59、做完，問平均每天要做多少套？（適于四年級程度）解：根據(jù)“已經(jīng)做了5天，平均每天做75套”這兩個條件可求出已做了多少套（圖4-4）。75×5=375（套）根據(jù)“計劃做660套”和“已經(jīng)做了375套”這兩個條件，可以求出還剩下多少套（圖4-4）。660-375=285（套）再根據(jù)“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4）。285÷3=95（套）綜合算式：（660-75×5）÷3=285÷3=95（套）答略。例5 某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個零件。如果裝

60、一臺機器需要12個零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺機器？（適于四年級程度）解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個零件”這兩個條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。72×20=1440（個）根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個零件”這兩個條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。68×24=1632（個）根據(jù)甲、乙兩個班每天分別生產(chǎn)1440個、1632個零件，可以求出甲、乙兩個班一天共生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。1440+1632=3072（個）再根據(jù)兩個班一天共做零件3072個和裝一臺機器需要12個零件這兩條件，可求出兩個班一天生產(chǎn)的

61、零件可以裝多少臺機器。3072÷12=256（臺）綜合算式：（72×20+68×24）÷12=（1440+1632）÷12=3072÷12=256（臺）答略。例6 一個服裝廠計劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務？（適于四年級程度）解：根據(jù)每天加工100套，加工20天，可求出已經(jīng)加工多少套（圖4-6）。100×20=2000（套）根據(jù)計劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套（圖4-6）。2480-2000=480（套）根據(jù)原來每天

62、加工100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套（圖4-6）。100+20=120（套）根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖4-6）。48O÷120=4（天）綜合算式：（2480-100×20）÷（100+20）=480÷120=4（天）答略。剛開始學習以綜合法解應用題時，一定要畫思路圖，當對綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時，就可以不再畫思路圖，而直接解答應用題了。解：此題先后出現(xiàn)了兩個標準量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。=49.5（千克）答略。解：此題先后出現(xiàn)兩個標準量：“甲塊地產(chǎn)高粱的重量”和“乙塊地產(chǎn)

63、高粱的重量”。將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產(chǎn)高粱450千克，丙塊地比乙條件，可求出乙塊地產(chǎn)高粱是：（這里乙塊地的產(chǎn)量是標準量1）（這里甲塊地的產(chǎn)量是標準量1）綜合算式：=546（千克）答略。第五講 分析法從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個條件，依次推導，一直到問題得到解決的解題方法叫分析法。用分析法解應用題時，如果解題所需要的兩個條件，（或其中的一個條件）是未知的，就要分別求解找出這兩個（或一個）條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。分析法適于解答數(shù)量關系比較復雜的應用題。例1 玩具廠計劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過計劃多少件？（適于三年級程度）解：這道題是求平均每天超過計劃多少件。要求平均每天超過計劃多少件，必須具備兩個條件（圖5-1）：實際每天生產(chǎn)多少件；計劃每天生產(chǎn)多少件。計劃每天生產(chǎn)200件是已知條件。實際每天生產(chǎn)多少件，題中沒有直接告訴，需要求出來。要求實際每天生產(chǎn)多少件，必須具備兩個條件（圖5-1）：一共生產(chǎn)了多少件；已經(jīng)生產(chǎn)了多少天。這兩個條件都是已知的：一共生產(chǎn)了1260件；已經(jīng)生產(chǎn)了6天。分析到這里，問