矩陣論簡明教程4

1、第三章 矩陣分析§1 矩陣序列的極限 一、定義及運算律 定義 設(shè)有矩陣序列，其中 。若，則稱收斂于，記為或；如果中至少一個極限不存在，則稱發(fā)散。 可見一個矩陣序列的收斂相當于個數(shù)列極限的收斂。 定理 的充要條件是，其中是的任意矩陣范數(shù)。 證 因為 所以 。 證畢 推論 若，則。 證 由 即得。證畢 注 上述推論的相反結(jié)果不成立。如 =不收斂，但。 性質(zhì)1 設(shè)，其中同階，則 證 因為 所以 ，故。證畢性質(zhì)2 設(shè)，且有意義，則。證 因為 由推論知有界，從而，故。 證畢 性質(zhì)3 設(shè)，則。 性質(zhì)4 設(shè)，且均可逆，則。證 因為，兩邊取極限并利用性質(zhì)2，得，即。證畢 注 性質(zhì)4中要求的逆矩陣均存

2、在，否則可能發(fā)散，如= ，可知不可逆，而，即均可逆，可求得=， 它是發(fā)散的。 二、收斂矩陣 定義 設(shè)，若，則稱為收斂矩陣。 定理 為收斂矩陣的充要條件是。證 必要性 已知，則 ，即有，故。充分性 已知，則取使，存在矩陣范數(shù)使得 ，于是，即 ，故。證畢 推論 設(shè)，若對上的某一矩陣范數(shù)有，則為收斂矩陣。 證 法1. ，故。法2. ，當時，故。證畢 例 矩陣是否為收斂矩陣？為什么？解 (或)，所以是收斂矩陣。（可求得 ， ，。） 作為收斂矩陣的應(yīng)用，考慮求解線性方程組的迭代解法： 設(shè)是精確解，即，將方程組等價地變?yōu)椋@里等價的含義是。構(gòu)造迭代格式 取定初值，由迭代格式得到向量序列，希望，問應(yīng)滿足什么

3、條件？因為 可見 。常用的迭代格式是Jacobi迭代：將線性方程組 變形為 則Jacobi迭代格式為 。§2 矩陣級數(shù) 一、矩陣級數(shù) 定義 由中的矩陣序列構(gòu)成的無窮和稱為矩陣級數(shù)。 如果矩陣級數(shù)的部分和所構(gòu)成的矩陣序列收斂，且有極限，即，則稱該矩陣級數(shù)收斂，稱為和，記為=；如果發(fā)散，則稱矩陣級數(shù)發(fā)散。若記，則 =相當于 ，即矩陣級數(shù)收斂相當于個數(shù)項級數(shù)收斂。如果其中至少一個數(shù)項級數(shù)發(fā)散，則矩陣級數(shù)發(fā)散。 定義 設(shè)，如果個數(shù)項級數(shù)均絕對收斂，即 收斂，則稱矩陣級數(shù)絕對收斂。 性質(zhì)1 若，則 。 證 由 即得。證畢 性質(zhì)2 若，則。 性質(zhì)3 若矩陣級數(shù)絕對收斂，則它也一定收斂。 性質(zhì)4

4、絕對收斂矩陣級數(shù)不因改變項的位置而改變其和。 性質(zhì)5 矩陣級數(shù)絕對收斂的充要條件是級數(shù)收斂，其中是的任意矩陣范數(shù)。 證 先取-范數(shù)。若收斂，由于 由正項級數(shù)的比較判別法知 均收斂，即絕對收斂。反之，若絕對收斂，則均收斂，從而其部分和有界，即 。取，則，從而 =，故收斂。這表明 絕對收斂收斂由矩陣范數(shù)的等價性有： 根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知： 收斂收斂 證畢 性質(zhì)6 若收斂（或絕對收斂），則矩陣級數(shù)也收斂（或絕對收斂），且= 。 證 若收斂，令，則。從而 =若絕對收斂，則有 =，其中。因為收斂，由比較判別法知：收斂，即絕對收斂。證畢 性質(zhì)7 若和中的兩個矩陣級數(shù)和均絕對收斂，且其和分別為與，則它

5、們的柯西乘積 +（+）+（+）也絕對收斂，且其和為。 二、矩陣冪級數(shù) 1矩陣冪級數(shù) 定義 設(shè)，（）, 稱矩陣級數(shù)為矩陣的冪級數(shù)。 冪級數(shù)的理論：冪級數(shù) ()的收斂范圍是包含原點的一個區(qū)間，且冪級數(shù)在此區(qū)間內(nèi)絕對收斂，其中是收斂半徑，它由確定： 若，則；若，則；若，則=0。區(qū)間端點應(yīng)另外判別其收斂性。 對于復的冪級數(shù)，其收斂區(qū)域是復平面上包含原點的一個圓域，且在圓域內(nèi)，冪級數(shù)絕對收斂，其中收斂半徑仍由確定。定理 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，又，則 1）當時，矩陣冪級數(shù)絕對收斂； 2）當時，矩陣冪級數(shù)發(fā)散。 證 1） 因為，故存在，使。根據(jù)第二章的定理，存在上的矩陣范數(shù)使得，從而 由知，級數(shù)絕對收斂，從

6、而絕對收斂（因為收斂）。2） 由Schur定理，存在階酉矩陣，使得。于是收斂收斂，而的對角元素是（），若，則有某個特征值滿足=，從而發(fā)散，故發(fā)散，也即發(fā)散。證畢 推論1 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，又。若對上的某個矩陣范數(shù)有，則絕對收斂。 證 由即得。證畢 推論2 若的收斂半徑是，則對任意，矩陣冪級數(shù)絕對收斂。 例 判斷矩陣冪級數(shù)的斂散性。 解 法1. 令，取冪級數(shù)，因為 所以收斂半徑為=6?？汕蟮玫奶卣髦禐?，即，故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。法2. 取冪級數(shù)，。可求得，的特征值為。于是，故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。 2 Neumann級數(shù) 定理 設(shè)，則矩陣冪級數(shù)（稱為Neumann級數(shù)）收斂的充要條件是（即為收斂矩陣），并且在收斂時，其和為。證 （）已知收斂。記，則。由于 所以 即是收斂矩陣，故。（）已知。由于冪級數(shù)的收斂半徑為，所以，即收斂。由于，可找到使，從而存在矩陣范數(shù)，使，這表明可逆。于是由 得 取極限，并注意（），即得 =。證畢推論 設(shè)，如果對上的某個矩陣范數(shù)有，則=，且有