8年級競賽：梅涅勞斯定理塞瓦定理教師版(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第1講 梅涅勞斯定理 塞瓦定理知識點(diǎn)一、梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理 如果一條直線與的三邊、或其延長線交于、點(diǎn)，那么這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形證明如圖1-1，若一直線與的三邊、或其延長線交于、點(diǎn)求證： 證法一：如圖1-2，過作，證法二：如圖1-3，過作交的延長線于，三式相乘即得： 梅涅勞斯定理的逆定理 若、分別是的三邊、或其延長線的三點(diǎn)，如果 ，則、三點(diǎn)共線知識點(diǎn)二、塞瓦定理塞瓦定理 如果的三個(gè)頂點(diǎn)與一點(diǎn)的連線、交對邊或其延長線于、，如圖1-4，那么通常稱點(diǎn)為的塞瓦點(diǎn)證明直線、分別是、的梅氏線， ，兩式相乘即可得：塞瓦定理的逆定理 如果點(diǎn)、分別在的邊、上或其延長線

2、上，并且，那么、相交于一點(diǎn)（或平行）證明 若與相交于一點(diǎn)時(shí)，如圖1-5，作直線交于由塞瓦定理得：，又已知，與重合與重合、相交于一點(diǎn) 若與所在直線不相交，則，如圖1-6，又已知，即，【例 1】 已知中，為中線，過點(diǎn)任作一直線交于，交于，如圖1-7，求證：.【分析】直線FEC是的梅氏線， 而，即 【例 2】 （2003年深圳市中考題）如圖1-8，直線，則是 （ ）A5：2 B4：1 C2：1 D3：2 【分析】截的三邊、或其延長線于、三點(diǎn)，即【例 3】 如圖1-9，中，為中點(diǎn)，求證：【分析】直線是的梅氏線，直線是的梅氏線，【例 4】 如圖1-10-1，中，交于求 【分析】過作交于，交于，如圖1-1

3、0-2可得：，且直線是的梅氏線，【例 5】如圖1-11，平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，在的延長線上任取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn) 若，求的長【分析】截的三邊、或其延長線于、三點(diǎn)在平行四邊形中，即，即，【例 6】 如圖1-12，、分別為的、邊上的點(diǎn)，且，、交于，的延長線交于求的值【分析】為的塞瓦點(diǎn)，為的梅氏線，【例 7】 在梯形中，、交于，、的延長線交于，過作交于，交于，求證：、三線共點(diǎn)【分析】設(shè)直線交于，由已知可得，由為的塞瓦點(diǎn)可得：同理可得：，、三線共點(diǎn)【例 8】 已知：、為的高。求證：直線、三線共點(diǎn)若上述一點(diǎn)叫，當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)上下移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)的線段、也隨之運(yùn)動(dòng).求證：上述運(yùn)動(dòng)過程中與總相等【分析】 由，得，同理，三式相乘得，、三高所在直線共點(diǎn) 如圖1-14-2，過作交、延長線于、是的塞瓦點(diǎn)，= 1. 如圖，已知：，求證： 【分析】是的梅氏線，又 2. 如圖，中，為的中點(diǎn)，求 【分析】是的梅氏線，為的中點(diǎn)，是的梅氏線， 3. 經(jīng)過的重心的直線交、分別于、，交的延長線于求證： 【分析】作直線交于，同理，而 4. 如果梯形的兩腰、的延長線