課題181勾股定理

1、課題：181勾股定理教材：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)（人民教育出版社）說課教師：四川省南充市第七中學(xué) 汪 敏教學(xué)任務(wù)教 學(xué) 目 標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)理解并掌握勾股定理及其證明.過程與方法目標(biāo)在學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗(yàn)證”勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想.情感與態(tài)度目標(biāo)通過對(duì)勾股定理歷史的了解,感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神.重點(diǎn)探索和證明勾股定理.難點(diǎn)用拼圖方法證明勾股定理.教學(xué)準(zhǔn)備教具多媒體課件.學(xué)具剪刀和邊長分別為a、b的兩個(gè)連體正方形紙片.教學(xué)流程安排活動(dòng)流程圖活動(dòng)內(nèi)容和目的活動(dòng)1 創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣

2、通過對(duì)趙爽弦圖的了解，激發(fā)起學(xué)生對(duì)勾股定理的探索興趣.活動(dòng)2 觀察特例發(fā)現(xiàn)新知通過問題激發(fā)學(xué)生好奇、探究和主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望.活動(dòng)3 深入探究交流歸納觀察分析方格圖，得出直角三角形的性質(zhì)勾股定理，發(fā)展學(xué)生分析問題的能力.活動(dòng)4 拼圖驗(yàn)證加深理解通過剪拼趙爽弦圖證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)探索精神.活動(dòng)5 實(shí)踐應(yīng)用拓展提高初步應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，加深理解.活動(dòng)6 回顧小結(jié)整體感知回顧、反思、交流.活動(dòng)7 布置作業(yè)鞏固加深鞏固、發(fā)展提高.教學(xué)過程設(shè)計(jì)問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)1 創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧

3、運(yùn)會(huì)”.這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案. 它象一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，揮舞著手臂，歡迎來自世界各國的數(shù)學(xué)家們.（1）你見過這個(gè)圖案嗎？（2）你聽說過“勾股定理”嗎？會(huì)徽教師出示照片及圖片.學(xué)生觀察圖片發(fā)表見解.教師作補(bǔ)充說明：這個(gè)圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的“趙爽弦圖”加工而來，展現(xiàn)了我國古代對(duì)勾股定理的研究成果，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生對(duì)“趙爽弦圖”及勾股定理的歷史是否感興趣；（2）學(xué)生對(duì)勾股定理的了解程度.通過欣賞圖片，了解歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，自然引出本節(jié)課的課題.活動(dòng)2 觀察特例發(fā)現(xiàn)新知畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家.相傳在250

4、0年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系.（1）同學(xué)們，請(qǐng)你也來觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？ 地面 圖18.1-1（2）你能找出圖18.1-1中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？（3）圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系?教師展示圖片，提出問題.學(xué)生獨(dú)立觀察圖形，分析思考其中隱藏的規(guī)律.學(xué)生通過直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，或者用割補(bǔ)的方法將正方形A、B中小等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形得到：正方形A、B的面積之和等于大正方形C的面積.教師引導(dǎo)學(xué)生，由正方形的面積等于邊長的平方歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方

5、和等于斜邊的平方.通過講傳說故事來進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài). “問題是思維的起點(diǎn)”，通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知.問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)3 深入探究交流歸納（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？圖18.1-2如圖18.1-2，每個(gè)小方格的面積均為1，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，有一個(gè)直角邊分別是2、3的直角三角形.仿照上一活動(dòng)，我們以這個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正方形.（2）想一想，怎樣利用小方格計(jì)算正方形A、B、C面積？（3）正方形A、B、C面積之間的關(guān)系是什么？（4）直角三角形三邊之間的關(guān)

6、系用命題形式怎樣表述？教師出示圖表.學(xué)生獨(dú)立觀察并計(jì)算各圖中正方形A、B、C的面積并完成填表.教師參與小組活動(dòng)，指導(dǎo)、傾聽學(xué)生交流.針對(duì)不同認(rèn)識(shí)水平的學(xué)生，引導(dǎo)其用不同的方法得出大正方形的面積.學(xué)生分組交流，展示求面積的不同方法，如：在正方形C周圍補(bǔ)出四個(gè)全等的直角三角形而得到一個(gè)大正方形，通過圖形面積的和差，得到正方形C的面積.或者，將正方形C分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，求得正方形C面積.學(xué)生利用表格有條理地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，歸納得到：正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積.在上一活動(dòng)“探究等腰直角三角形三邊關(guān)系” 的基礎(chǔ)上，學(xué)生類比遷移，得到：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 師生

7、共同討論、交流、逐步完善，得到命題1:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c ，那么a+ b=c.教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否主動(dòng)參與探究活動(dòng)，在討論中發(fā)表自己的見解，傾聽他人的意見，對(duì)不同的觀點(diǎn)進(jìn)行質(zhì)疑，從中獲益.滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學(xué)生在相互欣賞、爭辯、互助中得到提高.問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)4 拼圖驗(yàn)證加深理解（弦圖驗(yàn)證）（1）觀察趙爽弦圖，思考：如何利用此圖的面積表示式驗(yàn)證命題1 ？BabcCAb-a趙爽弦圖（拼圖驗(yàn)證）（2）仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將邊長為a

8、、b的兩個(gè)連體正方形，拼成一個(gè)新的正方形？bbaab-acMNP圖18.1-3（1）圖18.1-3（2）圖18.1-3（3）問題與情境教師展示圖片，提出問題.學(xué)生觀察圖形可得：大正方形面積=四個(gè)全等直角三角形面積+中間小正方形面積. 再由代數(shù)恒等變形能得到a+ b c，即驗(yàn)證了命題1.教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材73頁，了解趙爽是如何利用拼圖的方法來證明命題1的.學(xué)生在弦圖驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，參照教科書74頁圖18.13開展拼圖，以小組為單位，合作探究.有的學(xué)生會(huì)盲目動(dòng)手，如沿正方形對(duì)角線分割等.讓學(xué)生自己思考、總結(jié)、更正，在不斷的摸索中找到解決問題的正確方法.引導(dǎo)學(xué)生拼圖的關(guān)鍵是：構(gòu)造以a、b為直角邊的直

9、角三角形.結(jié)合紙片，即在線段MN上確定一點(diǎn)P，使分得的新線段與已有邊長a、b構(gòu)成需要的直角三角形.通過小組討論，學(xué)生可能出現(xiàn)以下方法確定點(diǎn)P ： 情況1，在線段MN上截取MP = a,得到NP = b，從而確定點(diǎn)P；情況2，通過折疊，得到邊長為a - b的正方形，它實(shí)際上是趙爽弦圖的黃實(shí)，延長小正方形的一邊與線段MN相交于點(diǎn)P. 得到教科書74頁圖18.13圖1，構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，令斜邊為c，沿直角三角形的斜邊分割從而拼得邊長為c的正方形，完成拼圖.鼓勵(lì)學(xué)生代表作示范演示，展示分割、拼接的過程.師生行為讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過程, 親身體驗(yàn)勾股定理的探索與驗(yàn)證，使學(xué)

10、生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力. 由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒?yàn)的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)變.設(shè)計(jì)意圖（3）怎樣根據(jù)拼圖活動(dòng)的結(jié)果證明勾股定理呢？（定理命名）結(jié)合本節(jié)內(nèi)容給出定理的概念.向?qū)W生對(duì)比介紹古今中外對(duì)勾股定理的研究成果，指出我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一，據(jù)周髀算經(jīng)記載：公元前1100年人們已經(jīng)知道“勾廣三，股修四，徑隅五”. 把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦. 將此定理命名為勾股定理.再利用多媒體動(dòng)畫演示.學(xué)生容易想到：未剪之前，圖形面積是a+ b，在拼圖過程中，構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，得到斜邊為c.拼接之后新的正方形邊長是c ，面積

11、為c.從而得到直角三角形三邊的關(guān)系：a+ b c.再次驗(yàn)證命題1.教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生能否進(jìn)行合理的分割，對(duì)不同層次的學(xué)生有針對(duì)性地給予分析、幫助；（2）學(xué)生能否用語言準(zhǔn)確地表達(dá)自己的觀點(diǎn).對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感.活動(dòng)5 實(shí)踐應(yīng)用拓展提高1.求出下列直角三角形中未知邊的長度.AB815C2. 試一試：剪四個(gè)與圖1完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖2所示的圖形.大正方形的面積可以表示為_,又可以表示為_.對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論.B10CA6問題與情境練習(xí)1是求直角三角形中未知邊的長度，提示學(xué)生分清直角邊和斜邊，再將值代入a+ b=c求解.

12、 歸納出： 已知直角三角形任意兩邊，能求第三邊. 練習(xí)2 與前面的弦圖驗(yàn)證相呼應(yīng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，了解勾股定理證法的多樣性.師生行為補(bǔ)充課堂練習(xí)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行最基本的運(yùn)用，為下節(jié)課勾股定理的應(yīng)用做好鋪墊.設(shè)計(jì)意圖3.如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？練習(xí)3是在練習(xí)1的基礎(chǔ)上運(yùn)用勾股定理解決簡單實(shí)際問題.活動(dòng)6：回顧小結(jié)整體感知過程小結(jié)，知識(shí)小結(jié).學(xué)生談體會(huì).教師進(jìn)行補(bǔ)充.教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否能從不同方面談感受.學(xué)生通過對(duì)學(xué)習(xí)過程的小結(jié)，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法；通過梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概

13、括能力.活動(dòng)7：布置作業(yè)鞏固加深1.必做題：課本第77頁，習(xí)題18.1 第1, 7題.2.選做題：（根據(jù)自己的情況選擇完成）（1）課本第80頁“閱讀與思考”了解勾股定理的多種證法.（2）課本第86頁“活動(dòng)”上網(wǎng)查閱下列網(wǎng)址：針對(duì)學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次的作業(yè)題，既使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，又使學(xué)有余力的學(xué)生獲得最佳發(fā)展.板書設(shè)計(jì)： 18.1勾股定理（一）一、了解歷史 ：趙爽弦圖 四、反饋練習(xí)二、圖形探究猜想證明 1.三、勾股定理： 2. 如果直角三角形兩直角邊長 3. 分別是a,b,斜邊是c,那么 五、小結(jié)： a+ b=c 六、作業(yè)：勾勒出教學(xué)的主線，呈現(xiàn)完整知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.并用彩色增加信息的

14、強(qiáng)度，突出重點(diǎn).教學(xué)設(shè)計(jì)說明勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)幾個(gè)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，既是直角三角形性質(zhì)的拓展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)“解直角三角形”的基礎(chǔ).它緊密聯(lián)系了數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的量數(shù)與形，能夠把形的特征（三角形中一個(gè)角是直角）轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系（三邊之間滿足a+ b= c）堪稱數(shù)形結(jié)合的典范，在理論上占有重要地位. 八年級(jí)學(xué)生已具備一定的分析與歸納能力，初步掌握了探索圖形性質(zhì)的基本方法 . 但是學(xué)生對(duì)用割補(bǔ)方法和面積計(jì)算證明幾何命題的意識(shí)和能力存在障礙，對(duì)于如何將圖形與數(shù)有機(jī)的結(jié)合起來還很陌生.為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自我發(fā)現(xiàn)勾股定理，本節(jié)課從探究等腰直角三角形三邊的關(guān)系入手，再自然過渡到探究一般直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、思考、探索、發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而得到勾股定理學(xué)生再通過小組合作，討論交流，驗(yàn)證勾股定理.從而經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，提高學(xué)生的思維能力.荷蘭數(shù)學(xué)教育家賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造.也就是由學(xué)生本人把要學(xué)習(xí)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生