計算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)數(shù)值分析部分輔導(dǎo)(2)

1、 計算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)數(shù)值分析部分輔導(dǎo)(2) 中央電大 馮 泰第10章 線性方程組的數(shù)值解法一、重點(diǎn)內(nèi)容1. 高斯順序消去法解線性方程組AXb,對增廣矩陣Ab順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解.要求作初等行變換消元過程中，.注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性.2.高斯列主元消去法在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元，(k=1,2,3,n-1)把第r行作為主方程，做第k次消元.把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解.3. 雅可比迭代法(簡單迭代法)解線性方程組AXb的雅可比迭代法公式為 (k=0,1,2,)4. 高斯&

2、#190;¾賽德爾迭代法解線性方程組AXb的高斯¾¾賽德爾迭代法公式為 (i=1,2,n k=0,1,2,)5. 超松弛迭代法 迭代公式任給 6解的收斂性定理【定理1】 高斯消去法消元過程能進(jìn)行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0. 【定理4】(迭代法基本定理)設(shè)線性方程組XBXf對于任意初始向量X(0)及任意f，對應(yīng)此方程組的迭代公式 X(k+1)B(k)X+f收斂的充分必要條件是其中為迭代矩陣B的特征根. 當(dāng)li為復(fù)數(shù)時，½li½表示li的模. 【定理6】(迭

3、代法收斂的充分條件)設(shè)線性方程組AXb，(1) 若A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯¾¾賽德爾迭代法收斂；(2) 若A為對稱正定矩陣，則高斯¾¾賽德爾迭代法收斂.注：設(shè)矩陣A，若則稱矩陣A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.二、實例例1 用順序消去法解線性方程組解 順序消元 于是有同解方程組回代得解x3=1, x2=1,x1=1,原線性方程組的解為X(1,1,1)T.例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解 建立迭代格式(k=1,2,3,)第1次迭代, k=0X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,第2次迭代，k=1X(2)

4、(5,3,3)T第3次迭代，k=2 X(3)(1,1,1)T第4次迭代，k=31. X(4)(1,1,1)T例3 用超松弛迭代法求解線性方程組 取初始向量X(0）(1,1,1,1)T，松弛因子w1.46, 求三次迭代值.解 建立迭代格式第1次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T 第2次迭代，k=1, X(1)=(1,1,1.73,0.8029)T 第3次迭代，k=2, X(2)=(1,1.5329,1.6393,0.8274)T X(3)=(1.3890,1.5055,1.6790,0.8531)注：本題的精確解為(1.2,1.4,1.6,0.8)例4 填空選擇題： 1. 用高斯列主

5、元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2，3個方程分別為 .解 選a21=2為主元，作行互換，第1個方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3，消元得到是應(yīng)填寫的內(nèi)容.2. 用選主元的方法解線性方程組AXb，是為了( )(A) 提高計算速度 (B) 減少舍入誤差 (C) 減少相對誤差 (D) 方便計算答案：選擇(B)3.用高斯賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中 (k=0,1,2,)答案：解答：高斯賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時應(yīng)該用x1的新值.4. 當(dāng)a ( )時，線性方程組 的迭代解一定收斂.(A) >6 (B) =6 (C) <6 (D) >½

6、6½答案：(D)解答：當(dāng)½a½>6時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，由教材第10章定理6，迭代解一定收斂.三、練習(xí)題1.用高斯列主元消去法解線性方程組2. 用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組取初始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值.3. 證明線性方程組的迭代解收斂.4. 用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進(jìn)行到底的充分必要條件是 .5. 用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( ) .(A) 3 (B)4 (C) 4 (D)9四、練習(xí)題答案 1.X(4，1，2)T 2.(4.666 19,7.618 97,9.074 5

7、2)T3.提示：系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣. 4. 線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0. 5. (C)附錄：教材中練習(xí)與習(xí)題答案練習(xí)10.1 (A)1. (2,1,-1)T, 2. (1,2,3)T, 3. (1,-1,2)T,4. (B)1. C 2. 系數(shù)矩陣的各階主子式均不為0. 3. B 4. 矩陣A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 5. 見教材第10章公式(1.6) 6. 見教材第10章公式(1.8)練習(xí)10.2 (A)1.(1,2,-1,3)T, 2. 3. Y=(14,-10,-72)T,X=(1,2,3)T. 4. Y=(2.4493,11.247,85.254)T,X=(1,0,

8、23)T.5. X=(5,4,3,2)T. 6. X=(2,2,1)T.7. Y=(3,0.5,-1)T,X=(2,1,-1)T. (B)1. 初等矩陣 上(下) 2.單位下三角形 上三角形3. A* 4.D 5. 三對角線矩陣6. ，7.C 8. 對稱正定矩陣練習(xí)10.3(A)1. 2. 精確解(1,2,3) 雅可比迭代法：X(9)=(0.9998, 1.9998, 2.9998)T 高斯¾¾賽德爾迭代法：X(5)=(0.9997, 1.9999, 2.9999)T3. 精確解(-3,3,1) (B)1.X=B0X+f X(k+1)=B0X(k)+f k=0,1,2, 2.¹0 3.B 4.B D5.A 6.D習(xí)題101. 順序消去法X(1.000015,1.00001,1.000006,0.9999858)T 列主元消去法X(1.000000,1.00000,1.00000,1,0000000)T2. X(1.9272,-0.69841,0.90038)T3. Y(3.77,-3.06,4. 66,4.22)T X(-0.329,0.322,2.37,1