第08章期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法

1、第八章 期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法在前面幾章中，我們得到了期權(quán)價(jià)值所滿足的偏微分方程，并且解出了一些精確的期權(quán)解析定價(jià)公式。但是在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價(jià)值的解析解，這時(shí)人們經(jīng)常采用數(shù)值方法（Numerical Procedures）為期權(quán)定價(jià)，其中包括二叉樹方法（Binomial Trees）、蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。當(dāng)期權(quán)收益依賴于標(biāo)的變量所遵循的歷史路徑時(shí)（如我們將在第九章看到的路徑依賴期權(quán)），或是期權(quán)價(jià)值取決于多個(gè)標(biāo)的變量的時(shí)候，可以用蒙特卡羅模擬為期權(quán)定價(jià)。而二叉樹圖和有限差分方法

2、則比較適用于有提前執(zhí)行可能性的期權(quán)。在這一章里，我們將介紹如何借助上述三種數(shù)值方法來為期權(quán)定價(jià)。為了便于表達(dá)，本章中統(tǒng)一假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為零時(shí)刻，表示為0。第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型二叉樹期權(quán)定價(jià)模型是由J. C. Cox、S. A. Ross和M. Rubinstein于1979年首先提出的，已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。二叉樹模型的優(yōu)點(diǎn)在于其比較簡單直觀，不需要太多的數(shù)學(xué)知識就可以加以應(yīng)用。一、二叉樹模型的基本方法我們從簡單的無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)開始講解二叉樹模型，之后再逐步加以擴(kuò)展。二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動的可

3、能：從開始的上升到原先的倍，即到達(dá)；下降到原先的倍，即。其中，如圖8.1所示。價(jià)格上升的概率假設(shè)為，下降的概率假設(shè)為。圖8.1 時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會有所不同，分別為和。注意，在較大的時(shí)間間隔內(nèi)，這種二值運(yùn)動的假設(shè)當(dāng)然不符合實(shí)際，但是當(dāng)時(shí)間間隔非常小的時(shí)候，比如在每個(gè)瞬間，資產(chǎn)價(jià)格只有這兩個(gè)運(yùn)動方向的假設(shè)是可以接受的。因此，二叉樹模型實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動。（一）單步二叉樹模型運(yùn)用單步二叉樹為期權(quán)定價(jià)，可以有兩種方法：無套利方法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法。1.無套利定價(jià)法由于期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)源是相同的，在如圖8.1的單步二叉樹中，我們可以構(gòu)造

4、一個(gè)證券組合，包括股資產(chǎn)多頭和一個(gè)看漲期權(quán)空頭。如果我們?nèi)∵m當(dāng)?shù)闹担箘t無論資產(chǎn)價(jià)格是上升還是下跌，這個(gè)組合的價(jià)值都是相等的。也就是說，當(dāng)時(shí)，無論股票價(jià)格上升還是下跌，該組合的價(jià)值都相等。顯然，該組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，因此我們可以用無風(fēng)險(xiǎn)利率對貼現(xiàn)來求該組合的現(xiàn)值。在無套利機(jī)會的假設(shè)下，該組合的收益現(xiàn)值應(yīng)等于構(gòu)造該組合的成本，即將代入上式就可得到：其中2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法在第六章中我們已經(jīng)探討過，期權(quán)定價(jià)可以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中進(jìn)行，同樣，我們也可以在二叉樹模型中應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，確定參數(shù)、和，從而為期權(quán)定價(jià)。這是二叉樹定價(jià)的一般方法。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：（1） 所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率

5、；（2） 未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此若期初的證券價(jià)格為，則在很短的時(shí)間間隔末的證券價(jià)格期望值應(yīng)為。因此，參數(shù)、和的值必須滿足這個(gè)要求，即： (8.1)二叉樹模型也假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動，根據(jù)第六章的討論，在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)證券價(jià)格變化的方差是。根據(jù)方差的定義，變量的方差等于，因此： (8.2)式（8.1）和(8.2)給出了計(jì)算、和的兩個(gè)條件。第三個(gè)條件的設(shè)定則可以有所不同， Cox、Ross和Rubinstein所用的條件 這是二叉樹模型中最常用的第三個(gè)條件，后文我們將會談到對第三個(gè)條件的其他設(shè)定方法。是： （8

6、.3）從以上三個(gè)條件求得，當(dāng)很小時(shí)： （8.4） （8.5） （8.6）從而比較以上兩種方法，我們可以看到，無套利定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法具有內(nèi)在一致性。在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過程中，我們無需考慮資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率，也就是說資產(chǎn)預(yù)期收益具有無關(guān)性，這正好符合風(fēng)險(xiǎn)中性的概念。但是在最后的期權(quán)公式中，兩種方法都包含了概率，這里的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率，參數(shù)、和實(shí)際上都隱含在給定條件中。一般來說，在運(yùn)用二叉樹方法時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是常用的方法，而無套利定價(jià)法則主要是提供了一種定價(jià)思想。（二）證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)應(yīng)用多步二叉樹模型來表示證券價(jià)格變化的完整樹型結(jié)構(gòu)如圖8.2所示。圖8.2 資產(chǎn)價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu)

7、當(dāng)時(shí)間為0時(shí)，證券價(jià)格為。時(shí)間為時(shí)，證券價(jià)格要么上漲到，要么下降到；時(shí)間為2時(shí)，證券價(jià)格就有三種可能：、（等于）和，以此類推。一般而言，在時(shí)刻，證券價(jià)格有種可能，它們可用符號表示為： 其中注意：由于，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡化了樹圖。（三）倒推定價(jià)法得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價(jià)法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。由于在到期時(shí)刻的預(yù)期期權(quán)價(jià)值是已知的，例如看漲期權(quán)價(jià)值為，看跌期權(quán)價(jià)值為，因此在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下在求解時(shí)刻的每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值時(shí)，都可通過將時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在時(shí)間長度內(nèi)以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)求出。同理，要求解時(shí)的每一結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)

8、值時(shí)，也可以將時(shí)的期權(quán)價(jià)值預(yù)期值在時(shí)間內(nèi)以無風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)求出。依此類推。采用這種倒推法，最終可以求出零時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的期權(quán)價(jià)值。以上是歐式期權(quán)的情況，如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。例8.1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場價(jià)為50元,波動率為每年40%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，該股票5個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，求該期權(quán)的價(jià)值。為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0.0833年）。根據(jù)式（8.4）到（8.6），可以算出：據(jù)此我們可以

9、畫出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹型圖，如圖8.3所示。在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處有兩個(gè)值，上面一個(gè)表示股票價(jià)格，下面一個(gè)表示期權(quán)價(jià)值。股價(jià)上漲概率總是等于0.5076，下降概率總是等于0.4924。在時(shí)刻，股票在第個(gè)結(jié)點(diǎn)（）的價(jià)格等于。例如，F(xiàn)結(jié)點(diǎn)（）的股價(jià)等于。在最后那些結(jié)點(diǎn)處，期權(quán)價(jià)值等于。例如，G結(jié)點(diǎn)（）的期權(quán)價(jià)格等于5035.36=14.64。圖8.3 不付紅利股票美式看跌期權(quán)二叉樹從最后一列結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值可以計(jì)算出倒數(shù)第二列結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。首先，我們假定在這些結(jié)點(diǎn)處期權(quán)沒被提前執(zhí)行。這意味著所計(jì)算的期權(quán)價(jià)值是時(shí)間內(nèi)期權(quán)價(jià)值期望值的現(xiàn)值。例如，E結(jié)點(diǎn)（）處的期權(quán)價(jià)值等于：而F結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值等于：然后

10、，我們要檢查提前執(zhí)行期權(quán)是否較有利。在E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行將使期權(quán)價(jià)值為0，因?yàn)楣善笔袃r(jià)和協(xié)議價(jià)格都等于50，顯然不應(yīng)提前執(zhí)行。因此E結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值應(yīng)為2.66元。而在F結(jié)點(diǎn)，如果提前執(zhí)行，期權(quán)價(jià)值等于50.0039.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股價(jià)到達(dá)F結(jié)點(diǎn)，就應(yīng)提前執(zhí)行期權(quán)，從而F結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值應(yīng)為10.31元，而不是9.90元。用相同的方法我們可以算出各結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值，并最終倒推算出初始結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值為4.48元。如果我們把期權(quán)有效期分成更多小時(shí)段，結(jié)點(diǎn)數(shù)會更多，計(jì)算會更復(fù)雜，但得出的期權(quán)價(jià)值會更精確。當(dāng)非常小時(shí)，期權(quán)價(jià)值將等于4.29元。（四）二叉樹方法的

11、一般定價(jià)過程下面我們給出用數(shù)學(xué)符號表示的二叉樹期權(quán)定價(jià)方法，仍然舉無收益證券的美式看跌期權(quán)為例。假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長度為的小區(qū)間，令表示在時(shí)間時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，我們將稱為結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。同時(shí)用表示結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格。由于美式看跌期權(quán)在到期時(shí)的價(jià)值是，所以有：，其中當(dāng)時(shí)間從變?yōu)闀r(shí)，從結(jié)點(diǎn)移動到結(jié)點(diǎn)的概率為，移動到的概率為。假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下：其中。如果考慮提前執(zhí)行的可能性的話，式中的必須與期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值比較，由此可得：按這種倒推法計(jì)算，當(dāng)時(shí)間區(qū)間的劃分趨于無窮大，或者說當(dāng)每一區(qū)間趨于0時(shí)，就可以求出美式看跌期權(quán)的準(zhǔn)確價(jià)值。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，一般將時(shí)間區(qū)

12、間分成30步就可得到較為理想的結(jié)果。二、基本二叉樹方法的擴(kuò)展（一）有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)1.支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為的紅利時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長率應(yīng)該為，因此式（8.1）就變?yōu)椋和瑫r(shí)，式（8.4）變?yōu)椋?（8.7）式（8.5）和（8.6）仍然適用。對于股價(jià)指數(shù)期權(quán)來說，為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說，為國外無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此式（8.5）至（8.7）可用于股價(jià)指數(shù)和外匯的美式期權(quán)定價(jià)。對于期貨期權(quán)，布萊克曾證明，在對期貨期權(quán)定價(jià)時(shí)，期貨可以看作支付連續(xù)紅利率的證券參見F.Black, “The Pricing of Commodity Contra

13、cts,” Journal of Financial Economics，3（March 1976），16779）。，即式（8.7）可以進(jìn)一步修正為： （8.8）這樣式（8.5）、（8.6）和（8.8）就可用于美式期貨期權(quán)的定價(jià)。2.支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定時(shí)間將支付已知紅利率（紅利與資產(chǎn)價(jià)格之比），我們只要調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格，就可算出期權(quán)價(jià)格。調(diào)整方法如下：如果時(shí)刻在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格仍為：如果時(shí)刻在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為： 對在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率的情況，也可進(jìn)行同樣處理。若為0時(shí)刻到時(shí)刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率，則

14、時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為：3. 已知紅利額若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定日期將支付一個(gè)確定數(shù)額的紅利而不是一個(gè)確定的比率，則除權(quán)后二叉樹的分支將不再重合，這意味著所要估算的結(jié)點(diǎn)的數(shù)量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數(shù)額紅利的情況將更為復(fù)雜（見圖8.4）。圖8.4 假設(shè)紅利數(shù)額已知且波動率為常數(shù)時(shí)的二叉樹圖為了簡化這個(gè)問題，我們可以把證券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日在到之間，則在時(shí)刻不確定部分的價(jià)值為： 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) （8.9）其中表示紅利。設(shè)為的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè)是常數(shù)，用代替式（8.4）到（8.6）中的就可計(jì)算

15、出參數(shù)、和，這樣就可用通常的方法構(gòu)造出的二叉樹了。通過應(yīng)用式（8.9），把未來收益現(xiàn)值加在每個(gè)結(jié)點(diǎn)的證券價(jià)格上，就會使的二叉樹圖轉(zhuǎn)化為的二叉樹。假設(shè)零時(shí)刻的值為，則在時(shí)刻：當(dāng)時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價(jià)格為： 當(dāng)時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價(jià)格為： 這種方法和我們曾經(jīng)分析過的在已知紅利數(shù)額的情況下應(yīng)用布萊克舒爾斯公式中所用的方法一致，通過這種分離，我們可以重新得到重合的分支，減少結(jié)點(diǎn)數(shù)量，簡化了定價(jià)過程。同時(shí)，這種方法還可以直接推廣到處理多個(gè)紅利的情況。（二）利率是時(shí)間依賴的情形在二叉樹的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過程中，無風(fēng)險(xiǎn)利率是非常重要的參數(shù)，通常我們假設(shè)其為常數(shù)。但是當(dāng)利率的期限結(jié)構(gòu)呈陡峭的上

16、升或下降趨勢的時(shí)候，這個(gè)假設(shè)顯然是不合理的。更合理的假設(shè)是，即在時(shí)刻的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于到時(shí)間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率（該遠(yuǎn)期利率是站在零時(shí)刻得出的）。由于和并不隨著的改變而改變，所以這一假設(shè)并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖：在定價(jià)過程中，貼現(xiàn)率也要相應(yīng)地改為遠(yuǎn)期利率，其他過程和普通的二叉樹方法相同。類似地，在為指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)定價(jià)時(shí)，可以對紅利率和外匯無風(fēng)險(xiǎn)收益率做類似的修正，使其成為時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而為這些期權(quán)定價(jià)。三、構(gòu)造樹圖的其他方法和思路（一）的二叉樹圖在式（8.1）到（8.3）中，前兩個(gè)式子是確定參數(shù)、和的固定條件，而

17、第三個(gè)條件是人為給定的，也是最常用的條件，但它并不是唯一的。我們也可以放棄這個(gè)假設(shè)，轉(zhuǎn)而令，當(dāng)?shù)母唠A小量可以忽略時(shí)，我們得到：這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于無論和如何變化，概率總是不變的，缺點(diǎn)在于二叉樹圖中的中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不會再和初始中心值相等。（二）三叉樹圖另一種替代二叉樹圖的方法是三叉樹圖法，該樹圖的形狀如圖8.5所示。在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動的可能：從開始的上升到原先的倍，即到達(dá)；保持不變，仍為；下降到原先的倍，即。、分別為每個(gè)結(jié)點(diǎn)價(jià)格上升、持平和下降的概率。當(dāng)?shù)母唠A小量可以忽略時(shí)，滿足資產(chǎn)價(jià)格變化均值和方差的參數(shù)分別為：三叉樹圖的計(jì)算過程與二叉樹圖的計(jì)算過程相似。可以證明：三叉

18、樹圖的方法與我們第三節(jié)將要介紹的顯性有限差分方法是一致的。圖8.5 資產(chǎn)價(jià)格的三叉樹圖（三）控制方差技術(shù)控制方差技術(shù)是數(shù)值方法的一個(gè)輔助技術(shù)，可以應(yīng)用在二叉樹模型、蒙特卡羅模擬和有限差分方法上。其基本原理為：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似（比如其他條件都相同的歐式期權(quán)和美式期權(quán)，以及在第九章中將談到的幾何平均亞式期權(quán)和算術(shù)平均亞式期權(quán)），我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。用代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值（解析解），表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值，和表示用同一個(gè)二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計(jì)值。這時(shí)，我們假設(shè)用數(shù)值方法計(jì)算出的期權(quán)B的誤差應(yīng)等于用數(shù)值方法計(jì)算

19、出的期權(quán)A的誤差： 進(jìn)而得到期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為：可以證明，當(dāng)和之間的協(xié)方差較大時(shí)，也就是說這個(gè)方法減少了對期權(quán)A的價(jià)值估計(jì)的方差，我們利用和的信息改進(jìn)了對期權(quán)A的價(jià)值的估計(jì)?？梢钥闯?，控制方差技術(shù)實(shí)際上是利用數(shù)值方法計(jì)算兩個(gè)類似期權(quán)之間的價(jià)格差異而不是計(jì)算期權(quán)價(jià)格本身。雖然從計(jì)算工作量來看，我們需要計(jì)算兩個(gè)估計(jì)值和，但是由于兩個(gè)期權(quán)的性質(zhì)相似或路徑相同，實(shí)際增加的工作量并不大。（四）適應(yīng)性網(wǎng)狀模型Figlewski和Gao S.Figlewski and B. Gao, “The Adaptive Mesh Model: A New Approach to Efficient Option

20、 Pricing,” Journal of Financial Economics, Forthcoming.提出了一種適應(yīng)性網(wǎng)狀模型（The Adaptive Mesh Model）來改進(jìn)數(shù)值估計(jì)方法的效率。他們的方法是：在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格接近執(zhí)行價(jià)格時(shí)和接近到期時(shí)，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個(gè)時(shí)間步長進(jìn)一步細(xì)分，如分為，每個(gè)小步長仍然采用相同的三叉樹定價(jià)過程，這樣使得樹圖更好地反映了實(shí)際情形，從而大大提高了定價(jià)的效率和精確程度。（五）隱含樹圖在第七章中，我們討論了隱含波動率問題。隱含波動率是在假設(shè)期權(quán)市場有效的

21、條件下，從期權(quán)的市場價(jià)格倒推出其中隱含的波動率信息。類似地，隱含樹圖方法 參見E. Derman and I. Kani, “The Volatility Smile and Its Implied Tree,” Quantitative Strategies Publications, Goldman Sachs, (January 1994); E. Derman and I. Kani, “Riding on a Smile,” RISK, (February 1994), 32-39; M. Rubinstein, “Implied Binomial Trees,” Journal o

22、f Finance, 49, 3 (July 1994), 771-818.（Implied Trees）通過構(gòu)建一個(gè)與目前市場上的期權(quán)價(jià)格信息相一致的資產(chǎn)價(jià)格樹圖，從而得到市場對標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來概率分布的看法。其具體方法是在二叉樹圖中，通過前一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格向前推出（注意不是倒推）下一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格和相應(yīng)概率：假設(shè)我們已知時(shí)刻各結(jié)點(diǎn)的值。在時(shí)刻應(yīng)有個(gè)結(jié)點(diǎn)。這時(shí)，我們要求個(gè)變量：1. 時(shí)刻個(gè)結(jié)點(diǎn)上的資產(chǎn)價(jià)格2. 在和之間個(gè)資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動的概率（向下運(yùn)動的概率可以用1減去向上運(yùn)動的概率得到）。為了求解這個(gè)變量，樹圖的構(gòu)造應(yīng)滿足：1. 在和之間使用遠(yuǎn)期利率而非一個(gè)常數(shù)利率，在時(shí)刻

23、各結(jié)點(diǎn)資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期收益率應(yīng)等于以上這個(gè)遠(yuǎn)期利率，這可以寫出個(gè)方程；2. 樹圖的構(gòu)造應(yīng)使得市場中在時(shí)刻到期的個(gè)歐式期權(quán)準(zhǔn)確定價(jià)，這些期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格等于時(shí)刻各結(jié)點(diǎn)上的資產(chǎn)價(jià)格，這可以再構(gòu)造出個(gè)方程；3. 應(yīng)保證樹圖的中心結(jié)點(diǎn)等于零時(shí)刻的初始資產(chǎn)價(jià)格。這樣，我們得到個(gè)方程，可以解出以上的個(gè)變量，從而把樹圖的構(gòu)造向前推進(jìn)了一個(gè)時(shí)間步長。以此類推，最后我們可以得到整個(gè)樹圖，了解市場對未來資產(chǎn)價(jià)格分布和波動率的看法。值得注意的是：由于這是從市場期權(quán)價(jià)值信息倒推出來的隱含樹圖，因此不存在統(tǒng)一的上升下降概率和上升下降幅度，即、和是各不相同的。這也導(dǎo)致了有時(shí)會出現(xiàn)負(fù)的概率，需要對那個(gè)導(dǎo)致負(fù)概率的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行替

24、換。隱含樹圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權(quán)中得到的關(guān)于波動率微笑和期限結(jié)構(gòu)的信息，來為奇異期權(quán)定價(jià)。該樹圖可以和當(dāng)天市場上的波動率矩陣相吻合，但是同時(shí)也隱含了未來的波動率微笑和期限結(jié)構(gòu)，它們可能與當(dāng)天市場上觀測到的這些值很不相同。當(dāng)一個(gè)期權(quán)的價(jià)值需要依賴于未來的某個(gè)波動率時(shí)，應(yīng)用隱含樹圖的時(shí)候需要非常謹(jǐn)慎。四、二叉樹定價(jià)模型的深入理解由上可見，二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)在于：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動是由大量的小幅度二值運(yùn)動構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動可能遵循的路徑。同時(shí)二叉樹模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動和向下運(yùn)動的實(shí)際

25、概率并沒有進(jìn)入二叉樹模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價(jià)。實(shí)際上，當(dāng)二叉樹模型相繼兩步之間的時(shí)間長度趨于零的時(shí)候，該模型將會收斂到連續(xù)的對數(shù)正態(tài)分布模型，即布萊克舒爾斯偏微分方程。取當(dāng)前時(shí)刻為（這是為了后面計(jì)算的方便，并不影響結(jié)論），在給定參數(shù)、和的條件下（注意這里并未限定求、和的第三個(gè)條件，而是一般適用的），當(dāng)時(shí)，二叉樹公式：可以在進(jìn)行泰勒展開，最終可以化簡為：的高階小量可以忽略，從而說明離散二叉樹模型和連續(xù)布萊克舒爾斯模型是十分相似的，在時(shí)，二叉樹模型收斂于布萊克舒爾斯偏微分方程。最后，二叉樹模型和布萊克舒爾斯模型的另一個(gè)相似點(diǎn)在于：它們都可以通過選取適當(dāng)?shù)闹担?/p>

26、構(gòu)造一個(gè)由份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和一份期權(quán)空頭組成的無套利組合。二叉樹模型中的值滿足；布萊克舒爾斯模型中的則滿足，之后兩者都可以利用這個(gè)無套利組合為期權(quán)定價(jià)。這里我們可以看到的極限就是，又一次驗(yàn)證了二叉樹模型和布萊克舒爾斯模型的一致性。但是，三叉樹模型則無法實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)無套利組合，需要運(yùn)用別的方法來構(gòu)造。第二節(jié)蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬是一種通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)運(yùn)動路徑得到期權(quán)價(jià)值期望值的數(shù)值方法，也是一種應(yīng)用十分廣泛的期權(quán)定價(jià)方法。一、蒙特卡羅模擬的基本過程蒙特卡羅模擬要用到風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，其基本思路是：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào)(payoff)的期望值的貼現(xiàn)，因此，盡

27、可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。以一個(gè)簡單的歐式期權(quán)（即只有兩個(gè)狀態(tài)變量資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間，且利率為常數(shù)）為例，我們可以說明蒙特卡羅模擬的基本方法： 1. 從初始時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格開始，直到到期為止，為取在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中跨越整個(gè)有效期的一條隨機(jī)路徑。這就給出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。2. 計(jì)算出這條路徑下期權(quán)的回報(bào)。3. 重復(fù)第一步和第二步，得到許多樣本結(jié)果，即風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期權(quán)回報(bào)的值。4. 計(jì)算這些樣本回報(bào)的均值，得到風(fēng)險(xiǎn)中性世界中預(yù)期的期權(quán)回報(bào)值。5. 用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得到這個(gè)期權(quán)的估計(jì)價(jià)值。二、蒙特卡

28、羅模擬的技術(shù)實(shí)現(xiàn)（一）隨機(jī)路徑我們已經(jīng)知道，風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變量所遵循的過程可以寫作 注意，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中和在現(xiàn)實(shí)世界中，資產(chǎn)的波動率是一樣的，改變的只是資產(chǎn)的預(yù)期收益率。 （8.10）也可以寫作 （8.11）為了模擬的路徑，我們把期權(quán)的有效期分為個(gè)長度為的時(shí)間段，則式（8.10）和（8.11）的近似方程分別為(8.12)（8.13）式（8.13）還可以寫為 （8.14）其中代表時(shí)刻的價(jià)值，是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本。因此，蒙特卡羅模擬就是離散地模擬資產(chǎn)價(jià)格的時(shí)間序列，這樣，只要得知初始時(shí)刻的值，隨機(jī)抽取一個(gè)，就能算出時(shí)刻的值；接著時(shí)的值又能從時(shí)的值計(jì)算得到。因此，通過

29、個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)取樣就可以組建一個(gè)資產(chǎn)價(jià)格路徑的蒙特卡羅模擬樣本，并得到相應(yīng)的回報(bào)值。重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報(bào)值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值，另外也可以順便得到所估計(jì)的期權(quán)價(jià)值的標(biāo)準(zhǔn)差。在以上兩中模擬路徑中，用比用本身更準(zhǔn)確。使用式（8.12）模擬會存在的高階小項(xiàng)的誤差，僅僅在時(shí)是完全正確的。但是式子（8.13）或（8.14）卻是精確的，因而對于所有的都是正確的。例8.1 假設(shè)無紅利的股票價(jià)格運(yùn)動服從式（8.12），年預(yù)期收益率為14，收益波動率為每年20，時(shí)間步長為0.01年，則根據(jù)式（8.12）有通過不斷從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本中抽取的值，代入上式，我們可以得到股票價(jià)格運(yùn)動

30、的一條路徑。表8.1顯示了模擬的一條特殊路徑。假設(shè)股票價(jià)格的初始值為20，的第一個(gè)樣本值為0.52，則第一個(gè)時(shí)間步長結(jié)束后，因此，第二步開始時(shí)的股票價(jià)格上升為20.236，這次抽到的為1.44，因此因此第三步開始時(shí)的股票價(jià)格變?yōu)?0.847，以此類推，最終可以得到股票價(jià)格的一條模擬路徑，其最后的價(jià)格21.124可以看成是10個(gè)時(shí)間步長或是年末股票價(jià)格分布中的一個(gè)隨機(jī)抽樣值。應(yīng)當(dāng)注意的是：表8.1僅僅表示了股票價(jià)格運(yùn)動的一種可能方式，不同的隨機(jī)取樣將會導(dǎo)致不同的結(jié)果。進(jìn)行這樣的模擬達(dá)到足夠多次，就可以得到年末股票價(jià)格的一個(gè)完整的概率分布。當(dāng)然，由于我們采用的是式（8.12），因此只有在時(shí)，這種模

31、擬過程才是完全正確的。（該表格中假設(shè)股票價(jià)格精確到0.001）表8.1 當(dāng)，時(shí)的股票價(jià)格模擬每步開始時(shí)的股票價(jià)格的隨機(jī)抽樣值該時(shí)間步長中的股票價(jià)值變化20.00020.23620.84720.51821.14620.88320.60320.71920.29220.61721.1240.521.440.861.460.690.740.211.100.731.162.560.2360.6110.3290.6280.2620.2800.1150.4270.3250.5071.111（二）單個(gè)變量和多個(gè)變量的蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬的優(yōu)點(diǎn)之一在于無論回報(bào)結(jié)果依賴于標(biāo)的變量S所遵循的路徑還是僅僅取決于的

32、最終價(jià)值，都可以使用這一方法。同時(shí)，這個(gè)過程也可以擴(kuò)展到那些回報(bào)取決于多個(gè)標(biāo)的市場變量的情況。1.當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí)的最終價(jià)值時(shí)我們前面給出的蒙特卡羅方法可以模擬資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動的整個(gè)路徑，從而為那些價(jià)值可能依賴于路徑發(fā)展過程的期權(quán)定價(jià)提供了便利，如我們將在后面看到的亞式期權(quán)（其期權(quán)價(jià)值依賴于有效期內(nèi)的資產(chǎn)價(jià)格平均值）。如果期權(quán)價(jià)值僅僅取決于到期時(shí)的最終價(jià)值，而與其中間發(fā)展路徑無關(guān)，比如最簡單的歐式期權(quán)，蒙特卡羅模擬則可以非常方便迅速地進(jìn)行處理。由于式（8.13）或（8.14）對所有的都是精確的，我們就可以直接用一個(gè)大步（）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期權(quán)價(jià)值：（8.

33、15）2.當(dāng)回報(bào)依賴于多個(gè)市場變量時(shí)當(dāng)存在多個(gè)標(biāo)的變量時(shí)，每次模擬運(yùn)算中對每個(gè)變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣，從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。假設(shè)期權(quán)依賴于個(gè)變量，。定義為的波動率，為在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長率，為和之間的瞬間相關(guān)系數(shù) 變量、不一定是常數(shù)，可能取決于。與在單變量情況下一樣，期權(quán)的有效期要分成個(gè)長度為的時(shí)間段，如果采用(9.12)的形式，的離散過程可以寫為：（8.16）其中是從多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一組隨機(jī)樣本，和之間的相關(guān)系數(shù)是，一次模擬運(yùn)算包括從多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中獲得個(gè)的樣本。把這些樣本值代入式（8.16）可以產(chǎn)生每個(gè)的模擬路徑，并由此計(jì)算出期權(quán)的一個(gè)樣本值。顯

34、然，如果各個(gè)變量在期權(quán)有效期內(nèi)的不同時(shí)刻到期，蒙特卡羅模擬也可以加以反映和處理，而且可以應(yīng)用于任何一種隨機(jī)過程（但是所有的隨機(jī)過程都必須是各變量在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中所遵循的過程），這正是蒙特卡羅模擬強(qiáng)大和適應(yīng)性廣泛的體現(xiàn)。（三）常數(shù)利率和隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬對于一般的股票期權(quán)、股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和商品期權(quán)等，我們大多假設(shè)利率是常數(shù)。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是，之后折現(xiàn)時(shí)使用的也是無風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)到期時(shí)期權(quán)的回報(bào)為，則期權(quán)價(jià)值可以用公式表示為（初始時(shí)刻設(shè)為0）：. 其中，表示風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望。以上是利率為常數(shù)的情況，如果期權(quán)模型中的變量之一本身就是短期無風(fēng)險(xiǎn)利率或是其他與有關(guān)

35、的變量，例如利率衍生產(chǎn)品，則蒙特卡羅模擬方法與前類似，只是要模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的路徑，每次模擬時(shí)既要計(jì)算到期時(shí)終值相應(yīng)帶來的期權(quán)回報(bào)，又要計(jì)算期權(quán)有效期內(nèi)的平均值。最后折現(xiàn)的時(shí)候使用的貼現(xiàn)率是這個(gè)平均值，用數(shù)學(xué)符號表示為：為有效期內(nèi)瞬間無風(fēng)險(xiǎn)利率的平均值。（四）隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定在介紹了蒙特卡羅模擬的主要過程和方法之后，下面我們來討論兩個(gè)細(xì)節(jié)問題：1. 的產(chǎn)生如前所述，是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。大多數(shù)程序語言都為抽取0到1之間的隨機(jī)數(shù)編制了程序。如果只有一個(gè)單變量，則可以通過下式獲得：其中是0到1的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。如果需要從二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取樣本，則可以用如下的方法

36、：和是用上述方法從單變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的獨(dú)立樣本，則其中是相關(guān)系數(shù)。如果從元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中取樣，同樣先從單變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取個(gè)獨(dú)立變量，則為了使有正確的方差，并使與之間有正確的相關(guān)系數(shù)，必須滿足且。令第一個(gè)樣本等于，就可以解出這些的方程，通過和計(jì)算出，再通過、和計(jì)算出，依次類推。2. 模擬運(yùn)算次數(shù)的確定蒙特卡羅過程是用隨機(jī)數(shù)序列實(shí)現(xiàn)有限次數(shù)的模擬，進(jìn)行模擬運(yùn)算的次數(shù)取決于所要求的精度。在模擬運(yùn)算得到期權(quán)價(jià)值均值的時(shí)候，我們也可以得到其標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)是如上所述進(jìn)行運(yùn)算的個(gè)數(shù)，為均值，是標(biāo)準(zhǔn)差，則期權(quán)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為。如果對估計(jì)值要求95的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)滿足可見，我們對期權(quán)價(jià)值的不確定

37、性與模擬運(yùn)算次數(shù)的平方根成反比，如果要將精確度提高為原來的10倍，則模擬運(yùn)算次數(shù)應(yīng)為原來的100倍。實(shí)際中常用的一個(gè)值是10萬次。三、減少方差的技巧如果蒙特卡羅模擬過程是按照我們上述的方法進(jìn)行，往往需要極大，才能使期權(quán)價(jià)值的估計(jì)值較為精確合理，從而使得計(jì)算效率很低，因此人們運(yùn)用了多種方法來降低估計(jì)的方差，以大大減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，加快收斂。其中最常用的是對偶變量技術(shù)和控制方差技術(shù)。（一）對偶變量技術(shù)對偶變量技術(shù)（Antithetic Variable Technique）是指在一次模擬運(yùn)算中，計(jì)算兩個(gè)期權(quán)價(jià)值：用通常方法計(jì)算得到，改變計(jì)算中所有的的符號得到，這條模擬路徑得到的期權(quán)價(jià)值是和的平均值，期

38、權(quán)的最終估計(jì)值則是有限個(gè)的均值。通過這種方法，當(dāng)一次模擬中的一個(gè)值高于真實(shí)值時(shí)，則另一個(gè)值必然偏低，反之亦然。人們發(fā)現(xiàn)，這種方法相當(dāng)有效。如果是的標(biāo)準(zhǔn)差，是模擬運(yùn)算的次數(shù)（每一次中包含計(jì)算兩個(gè)值），估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差就是，這通常大大小于運(yùn)算次得到的標(biāo)準(zhǔn)差。（二）控制方差技術(shù)蒙特卡羅模擬和二叉樹模型中的控制方差技術(shù)是相同的，只是在蒙特卡羅中，對于兩個(gè)類似的期權(quán)，必須使用相同的隨機(jī)數(shù)流和相同的平行地進(jìn)行兩次模擬。（三）重點(diǎn)抽樣法重點(diǎn)抽樣法（Importance Sampling）適合于那些大部分路徑對定價(jià)意義不大的情形，比如一個(gè)深度虛值的看漲期權(quán)，大部分路徑上的終值為零。這時(shí)我們只選取那些標(biāo)的資產(chǎn)的到

39、期日價(jià)值大于其執(zhí)行價(jià)格的路徑，即重要路徑為期權(quán)定價(jià)。這樣等于縮小了樣本空間，從而加速了收斂。運(yùn)用重點(diǎn)抽樣法進(jìn)行模擬時(shí)要注意，最后從重要路徑中獲得的貼現(xiàn)平均值還要再乘上（重要路徑出現(xiàn)的概率），才能獲得期權(quán)價(jià)值的最終估計(jì)值。（四）間隔抽樣法間隔抽樣法（Stratified Sampling）將市場變量在未來時(shí)刻的基本概率分布分為多個(gè)區(qū)間，并根據(jù)它的概率從每個(gè)間隔中抽樣。假設(shè)存在10個(gè)可能性基本相等的區(qū)間，那么我們的抽樣方案就可以設(shè)計(jì)為每個(gè)間隔中抽取的樣本各占10。如果樣本間隔的數(shù)量很多，我們就可以取每個(gè)區(qū)間內(nèi)的均值或是中位數(shù)作為該區(qū)間的代表樣本值。這樣也可以提高模擬運(yùn)算的效率。Curran和Mor

40、o的文章中介紹了間隔抽樣的兩種具體方法 參見M. Curran, “Strata Gems,” RISK, (March 1994), 70-71; B. Moro, “The Full Monte,” RISK, (February 1985), 57-58.。（五）樣本矩匹配法樣本矩匹配法（Moment Matching）是指對從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的樣本進(jìn)行調(diào)整，使其一階矩、二階矩甚至高階矩都匹配。假設(shè)我們?yōu)榱擞?jì)算特定時(shí)間內(nèi)某個(gè)特定變量的變化值而使用的正態(tài)分布樣本為，為了使前兩階矩相匹配，我們分別計(jì)算樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，之后定義調(diào)整后的樣本為經(jīng)調(diào)整后的樣本均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為1.0，其后所有

41、的運(yùn)算中都使用這個(gè)經(jīng)調(diào)整的樣本。樣本矩匹配法可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，但是由于所有的抽樣值都要保存到模擬運(yùn)算結(jié)束，存儲負(fù)擔(dān)很重。樣本矩匹配法有時(shí)也被叫做二次抽樣法（Quadratic Resampling），常常與對偶變量技術(shù)結(jié)合使用，因?yàn)楹笳呖梢宰詣拥仄ヅ淦鏀?shù)階矩，這樣樣本矩匹配法就只需要匹配二階矩，或者再加上四階矩。（六）準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法準(zhǔn)隨機(jī)序列（Quasi-Random Sequences）是指從一個(gè)概率分布中抽取的代表樣本組成的序列（它們在本質(zhì)上是確定性的），準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法類似于間隔抽樣，目的都是為了得到標(biāo)的變量的代表值。只是在間隔抽樣中我們假設(shè)已知需要抽取的樣本數(shù)，而在準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法中

42、，每次抽樣都試圖填補(bǔ)之前已存在的樣本之間的空缺，使得抽取的樣本值總是能大致均勻地分布在整個(gè)概率空間中，這使得模擬的收斂速度得到了改進(jìn)。由于數(shù)論中有一個(gè)差異（Discrepancy）的概念衡量的是點(diǎn)集分布的均勻性，因此準(zhǔn)隨機(jī)序列法又被稱為低差異序列法。通過這種方法，標(biāo)準(zhǔn)差能從降低為。（七）樹圖取樣法我們還可以通過一個(gè)樹圖來為資產(chǎn)價(jià)格路徑取樣，進(jìn)行蒙特卡羅模擬。這樣，在間隔抽樣中，我們就可以應(yīng)用樹圖而不是隨機(jī)地抽取代表路徑。如果一條路徑經(jīng)過任何給定結(jié)點(diǎn)的比例等于（或接近于）該結(jié)點(diǎn)被到達(dá)的概率，就被稱為代表路徑。Mintz(1997)最早介紹了這種方法。 具體方法參見D. Mintz, “Less

43、is more,” RISK, 10, 7 (July 1997), 42-45四、蒙特卡羅模擬的理解和應(yīng)用蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)運(yùn)動，預(yù)測期權(quán)的平均回報(bào)，并由此得到期權(quán)價(jià)格的一個(gè)概率解。蒙特卡羅模擬的主要優(yōu)點(diǎn)包括：1. 在大多數(shù)情況下，人們可以很直接地應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法，而無需對期權(quán)定價(jià)模型有深刻的理解，所用的數(shù)學(xué)知識也很基本；為了獲得更精確的答案，只需要進(jìn)行更多的模擬；無需太多工作就可以轉(zhuǎn)換模型。以上這些優(yōu)點(diǎn)使得蒙特卡羅方法成為一個(gè)相當(dāng)廣泛和強(qiáng)大的期權(quán)定價(jià)技術(shù)。2. 蒙特卡羅模擬的適用情形相當(dāng)廣泛，其中包括：（1）期權(quán)的回報(bào)僅僅取決于標(biāo)的變量的最終價(jià)值的情況；（2）期

44、權(quán)的回報(bào)依賴于標(biāo)的變量所遵循的路徑，即路徑依賴的情形；（3）期權(quán)的回報(bào)取決于多個(gè)標(biāo)的變量的情況，尤其當(dāng)隨機(jī)變量的數(shù)量增加時(shí)，蒙特卡羅模擬的運(yùn)算時(shí)間近似為線性增長而不象其他方法那樣以指數(shù)增長，因此該方法對依賴三種以上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的多變量期權(quán)模型很有競爭力。因此，蒙特卡羅模擬可以適用于復(fù)雜隨機(jī)過程和復(fù)雜終值的計(jì)算，比如將在第九章介紹的奇異期權(quán)和路徑依賴期權(quán)，同時(shí)，在運(yùn)算過程中蒙特卡羅模擬還能給出估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，這也是該方法的優(yōu)點(diǎn)之一。另一方面，蒙特卡羅模擬的缺點(diǎn)主要是：1. 只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處理提前執(zhí)行的情形。嘗試使用蒙特卡羅模擬技巧來為美式期權(quán)定價(jià)，成為近年來這個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展方向之一。2.

45、為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算。尤其在處理三個(gè)以下的變量時(shí)，蒙特卡羅模擬相對于其他方法來說偏慢，例如在第九章中處理一些路徑依賴期權(quán)時(shí)，人們常常用二叉樹模型等來取代蒙特卡羅模擬，就是因?yàn)槠浜馁M(fèi)的計(jì)算時(shí)間太多。而本節(jié)中那些減少方差的技巧，都是為了改進(jìn)計(jì)算的效率而提出的。第三節(jié)有限差分方法在應(yīng)用微分方程建模的學(xué)科和工程當(dāng)中，有限差分方法是最常用的數(shù)值求解方法。在金融界，這個(gè)方法也日益受到人們的重視，越來越多地用在期權(quán)定價(jià)當(dāng)中。其主要思想是：應(yīng)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，即用離散算子逼近、和各項(xiàng)，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。在坐標(biāo)圖上，有限差

46、分方法則體現(xiàn)為格點(diǎn)（Grids），如圖8.6所示。圖8.6 有限差分方法的格點(diǎn)圖具體地說，有限差分方法就是用有限的離散區(qū)域來替代連續(xù)的時(shí)間和資產(chǎn)價(jià)格：首先，把從零時(shí)刻（初始時(shí)刻設(shè)為零時(shí)刻）到到期日時(shí)刻之間的時(shí)間分為有限個(gè)等間隔的小時(shí)間段，設(shè)，就有共個(gè)時(shí)間段；其次，把資產(chǎn)價(jià)格的變化也分成個(gè)等間隔的小價(jià)格段，定義，就得到個(gè)資產(chǎn)價(jià)格 從數(shù)學(xué)意義上說，的范圍是無限的，但是在經(jīng)濟(jì)意義上，資產(chǎn)價(jià)格一般會有一個(gè)特定的合理變化邊界，超出這一邊界的價(jià)格是沒有意義的，因此只需考慮從0到價(jià)格上限之間的變化即可。這個(gè)上限也不需要太大，一般在執(zhí)行價(jià)格的三到四倍就足夠了。如果劃分合理，初始的資產(chǎn)價(jià)格會落在零時(shí)刻的一個(gè)格點(diǎn)

47、上。其中，和是相互獨(dú)立的。這樣，我們就構(gòu)造了一個(gè)共有個(gè)格點(diǎn)的圖，時(shí)間、資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)價(jià)值都僅僅在相應(yīng)的格點(diǎn)處離散計(jì)算。點(diǎn)對應(yīng)時(shí)刻和資產(chǎn)價(jià)格，則表示處的期權(quán)價(jià)值。應(yīng)用這些格點(diǎn)之間的關(guān)系和已知的邊界條件，我們可以把連續(xù)偏微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的差分方程，逐次求解，就可以得到零時(shí)刻初始資產(chǎn)價(jià)格所對應(yīng)格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。下面我們將具體介紹如何使用這些格點(diǎn)逼近微分，求出期權(quán)價(jià)值。這可以用多種方法實(shí)現(xiàn)，其中包括隱性有限差分法、顯性有限差分法和其他的一些方法。為了方便說明，我們使用一個(gè)無紅利股票的美式看跌期權(quán)作為例子。實(shí)際上有限差分方法不僅適用于布萊克舒爾斯公式，也適用于其他類似的問題，如隨機(jī)利率的情形等。一、隱

48、性有限差分法為了將偏微分方程化為差分方程，需要應(yīng)用離散算子分別逼近、和。其中的一種近似方法是隱性有限差分法（Implicit Finite Difference Method）。（一）、和的差分近似1. 的近似對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn)，期權(quán)價(jià)值對資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示：、和這三種逼近方法分別稱為前向差分近似（Forward Difference Approximation）、后向差分近似（Backward Difference Approximation）和中心差分近似（Central Difference Approximation）?？梢钥吹剑@三種方法是針對時(shí)刻進(jìn)行的差分近似

49、，只是的取值方向不同，中心差分實(shí)際上是前兩者的平均值。應(yīng)用泰勒展開式考察這三種近似方法的精確度，可以發(fā)現(xiàn)前向和后向差分近似的誤差均為的高階小項(xiàng)，而中心差分的誤差則為，精確度更高。這是因?yàn)檫@一近似方法關(guān)于對稱，使得一些誤差項(xiàng)可以相互抵消。因此，大多數(shù)時(shí)候人們采用中心差分法來逼近，但有時(shí)也根據(jù)需要使用單向差分方法。2. 的近似對于點(diǎn)處的，我們則采取前向差分近似以使時(shí)刻的值和時(shí)刻的值相關(guān)聯(lián)：這一近似的誤差是，可以進(jìn)一步改進(jìn)。但是在這里，這樣的精確度已經(jīng)足夠了。3. 的近似點(diǎn)處的的后向差分近似為，因此點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值對標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階差分為這個(gè)二階差分也是中心差分，其誤差為。從以上三個(gè)近似我們可以發(fā)現(xiàn)，

50、除了對時(shí)間的差分涉及時(shí)刻和時(shí)刻的期權(quán)值，對資產(chǎn)價(jià)格S的一階和二階差分都只使用了時(shí)刻的不同期權(quán)值。（二）差分方程把以上三個(gè)近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到： （8.17）其中， , 由于和使用中心差分，整個(gè)方程的誤差為。這個(gè)差分方程的思想可以在圖8.7中得到體現(xiàn)。也就是說，根據(jù)這個(gè)方程，可以從時(shí)刻的三個(gè)相鄰格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值（其對應(yīng)的資產(chǎn)價(jià)格分別為、和）求出時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為時(shí)的期權(quán)價(jià)值。因此隱性有限差分法可以理解為從格點(diǎn)圖內(nèi)部向外推知外部格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。圖8.7隱性有限差分方法 圖8.8顯性有限差分方法（三）邊界條件1.從到期時(shí)刻的期權(quán)回報(bào)值可以得到邊界上所有格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。時(shí)刻看跌期權(quán)的價(jià)值

51、為其中 2. 當(dāng)股票價(jià)格為零時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值為，由此可以得到下方邊界上所有格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值： 3. 當(dāng)股票價(jià)格趨于無窮時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值趨于零?？梢越普J(rèn)為上方邊界上 （四）求解期權(quán)價(jià)值已知差分方程（8.17）和三個(gè)邊界條件之后，我們的目的是求出格點(diǎn)圖左邊界的價(jià)值，其中的一個(gè)格點(diǎn)就是我們要求的期權(quán)價(jià)值。利用方程（8.17）和邊界條件，我們可以寫出時(shí)刻的個(gè)聯(lián)立方程： 和時(shí)，時(shí)，由此，可以解出每個(gè)的期權(quán)價(jià)值，然后再與每個(gè)格點(diǎn)的期權(quán)內(nèi)在價(jià)值進(jìn)行比較，判斷是否要提前執(zhí)行，從而得到時(shí)刻每個(gè)格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。依此類推，最后可以計(jì)算出，當(dāng)?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對應(yīng)的就是我們要求的期權(quán)價(jià)值。例8.2 用隱性

52、有限差分方法解例8.1中的期權(quán)價(jià)值。其中,?？梢詮谋砀?.2中看到，無紅利股票美式看跌期權(quán)的價(jià)格為4.07元。股票價(jià)格到期時(shí)間（月）54.543.532.521.510.501000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00950.020.020.010.010.000.000.000.000.000.000.00900.050.040.030.020.010.010.000.000.000.000.00850.090.070.050.030.020.010.010.000.000.000.00800.160.120.090.070.040.030.

53、020.010.000.000.00750.270.220.170.130.090.060.030.020.010.000.00700.470.390.320.250.180.130.080.040.020.000.00650.820.710.600.490.380.280.190.110.050.020.00601.421.271.110.950.780.620.450.300.160.050.00552.432.242.051.831.611.361.090.810.510.220.00504.073.883.673.453.192.912.572.171.660.990.00456.586.446.296.135.965.775.575.365.175.025.004010.1510.1010.0510.0110.0010.0010.0010.0010.0010.0010.003515.0015.0015.0015.0015.0015.0015.0015.0015.0015.0015.003020.0020.0020.0020.0020.0020.002